括号序列

定义一个合法括号序列（balanced bracket sequence）为仅由 \((\) 和 \()\) 构成的字符串且：

空串 \(\varepsilon\) 是一个合法括号序列。
如果 \(s\) 是合法括号序列，那么 \((s)\) 也是合法括号序列。
如果 \(s,t\) 都是合法括号序列，那么 \(st\) 也是合法括号序列。

例如 \((())()\) 是合法括号序列，而 \()()\) 不是。

有时候会有多种不同的括号，如 \([()]\{\}\)。这样的变种括号序列与朴素括号序列有相似的定义。

本文将会介绍与括号序列相关的经典问题。

注：英语中一般称左括号为 opening bracket，而右括号是 closing bracket。

判断是否合法

判断 \(s\) 是否为合法括号序列的经典方法是贪心思想。该算法同样适用于变种括号序列。

我们维护一个栈，对于 \(i=1,2,\ldots,|s|\) 依次考虑：

如果 \(s_i\) 是右括号且栈非空且栈顶元素是 \(s_i\) 对应的左括号，就弹出栈顶元素。
若不满足上述条件，则将 \(s_i\) 压入栈中。

在遍历整个 \(s\) 后，若栈是空的，那么 \(s\) 就是合法括号序列，否则就不是。时间复杂度 \(O(n)\)。

合法括号序列计数

考虑求出长度为 \(2n\) 的合法括号序列 \(s\) 的个数 \(f_n\)。不妨枚举与 \(s_1\) 匹配的括号的位置，假设是 \(2i+2\)。它将整个序列又分成了两个更短的合法括号序列。因此

\[ f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-i-1} \]

这同样是卡特兰数的递推式。也就是说 \(f_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\)。

当然，对于变种合法括号序列的计数，方法是类似的。假设有 \(k\) 种不同类型的括号，那么有 \(f'_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}k^n\)。

字典序后继

给出合法的括号序列 \(s\)，我们要求出按字典序升序排序的长度为 \(|s|\) 的所有合法括号序列中，序列 \(s\) 的下一个合法括号序列。在本问题中，我们认为左括号的字典序小于右括号，且不考虑变种括号序列。

我们需要找到一个最大的 \(i\) 使得 \(s_i\) 是左括号。然后，将其变成右括号，并将 \(s[i+1,|s|]\) 这部分重构一下。另外，\(i\) 必须满足：\(s[1,i-1]\) 中左括号的数量大于右括号的数量。

不妨设当 \(s_i\) 变成右括号后，\(s[1,i]\) 中左括号比右括号多了 \(k\) 个。那么我们就让 \(s\) 的最后 \(k\) 个字符变成右括号，而 \(s[i+1,|s|-k]\) 则用 \(((\dots(())\dots))\) 的形式填充即可，因为这样填充的字典序最小。

该算法的时间复杂度是 \(O(n)\)。

参考实现

C++
bool next_balanced_sequence(string& s) {
  int n = s.size();
  int depth = 0;
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    if (s[i] == '(')
      depth--;
    else
      depth++;

    if (s[i] == '(' && depth > 0) {
      depth--;
      int open = (n - i - 1 - depth) / 2;
      int close = n - i - 1 - open;
      string next =
          s.substr(0, i) + ')' + string(open, '(') + string(close, ')');
      s.swap(next);
      return true;
    }
  }
  return false;
}

字典序计算

给出合法的括号序列 \(s\)，我们要求出它的字典序排名。

考虑求出字典序比 \(s\) 小的括号序列 \(p\) 的个数。

不妨设 \(p_i<s_i\) 且 \(\forall 1\le j<i,p_j=s_i\)。显然 \(p_i\) 是左括号而 \(s_i\) 是右括号。枚举 \(i\)（满足 \(s_i\) 为右括号），假设 \(p[1,i]\) 中左括号比右括号多 \(k\) 个，那么相当于我们要统计长度为 \(|s|-i\) 且存在 \(k\) 个未匹配的右括号且不存在未匹配的左括号的括号序列的个数。

不妨设 \(f(i,j)\) 表示长度为 \(i\) 且存在 \(j\) 个未匹配的右括号且不存在未匹配的左括号的括号序列的个数。

通过枚举括号序列第一个字符是什么，可以得到 \(f\) 的转移：\(f(i,j) = f(i-1,j-1)+f(i-1,j+1)\)。初始时 \(f(0,0)=1\)。其实 \(f\) 是 OEIS - A053121。

这样我们就可以 \(O(|s|^2)\) 计算字典序了。

对于变种括号序列，方法是类似的，只不过我们需要对每个 \(s_i\) 考虑比它小的那些字符进行计算（在上述算法中因为不存在比左括号小的字符，所以我们只考虑了 \(s_i\) 为右括号的情况）。

另外，利用 \(f\) 数组，我们同样可以求出字典序排名为 \(k\) 的合法括号序列。

本页面主要译自博文 http://e-maxx.ru/algo/bracket_sequences 与其英文翻译版 Balanced bracket sequences。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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