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Z 函数（扩展 KMP）

约定：字符串下标以 \(0\) 为起点。

定义

对于个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)。定义函数 \(z[i]\) 表示 \(s\) 和 \(s[i,n-1]\)（即以 \(s[i]\) 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度。\(z\) 被称为 \(s\) 的 Z 函数。特别地，\(z[0] = 0\)。

国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为 扩展 KMP。

这篇文章介绍在 \(O(n)\) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。

解释

下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数：

  • \(z(\mathtt{aaaaa}) = [0, 4, 3, 2, 1]\)
  • \(z(\mathtt{aaabaab}) = [0, 2, 1, 0, 2, 1, 0]\)
  • \(z(\mathtt{abacaba}) = [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1]\)

朴素算法

Z 函数的朴素算法复杂度为 \(O(n^2)\)：

实现
C++
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vector<int> z_function_trivial(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1; i < n; ++i)
    while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
  return z;
}
Python
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def z_function_trivial(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    for i in range(1, n):
        while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
            z[i] += 1
    return z

线性算法

如同大多数字符串主题所介绍的算法，其关键在于，运用自动机的思想寻找限制条件下的状态转移函数，使得可以借助之前的状态来加速计算新的状态。

在该算法中，我们从 \(1\) 到 \(n-1\) 顺次计算 \(z[i]\) 的值（\(z[0]=0\)）。在计算 \(z[i]\) 的过程中，我们会利用已经计算好的 \(z[0],\ldots,z[i-1]\)。

对于 \(i\)，我们称区间 \([i,i+z[i]-1]\) 是 \(i\) 的 匹配段，也可以叫 Z-box。

算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段。为了方便，记作 \([l,r]\)。根据定义，\(s[l,r]\) 是 \(s\) 的前缀。在计算 \(z[i]\) 时我们保证 \(l\le i\)。初始时 \(l=r=0\)。

在计算 \(z[i]\) 的过程中：

  • 如果 \(i\le r\)，那么根据 \([l,r]\) 的定义有 \(s[i,r] = s[i-l,r-l]\)，因此 \(z[i]\ge \min(z[i-l],r-i+1)\)。这时：
    • 若 \(z[i-l] < r-i+1\)，则 \(z[i] = z[i-l]\)。
    • 否则 \(z[i-l]\ge r-i+1\)，这时我们令 \(z[i] = r-i+1\)，然后暴力枚举下一个字符扩展 \(z[i]\) 直到不能扩展为止。
  • 如果 \(i>r\)，那么我们直接按照朴素算法，从 \(s[i]\) 开始比较，暴力求出 \(z[i]\)。
  • 在求出 \(z[i]\) 后，如果 \(i+z[i]-1>r\)，我们就需要更新 \([l,r]\)，即令 \(l=i, r=i+z[i]-1\)。

可以访问 这个网站 来看 Z 函数的模拟过程。

实现

C++
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vector<int> z_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < n; ++i) {
    if (i <= r && z[i - l] < r - i + 1) {
      z[i] = z[i - l];
    } else {
      z[i] = max(0, r - i + 1);
      while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
    }
    if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
  }
  return z;
}
Python
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def z_function(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    l, r = 0, 0
    for i in range(1, n):
        if i <= r and z[i - l] < r - i + 1:
            z[i] = z[i - l]
        else:
            z[i] = max(0, r - i + 1)
            while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
                z[i] += 1
        if i + z[i] - 1 > r:
            l = i
            r = i + z[i] - 1
    return z

复杂度分析

对于内层 while 循环，每次执行都会使得 \(r\) 向后移至少 \(1\) 位，而 \(r< n-1\)，所以总共只会执行 \(n\) 次。

对于外层循环，只有一遍线性遍历。

总复杂度为 \(O(n)\)。

应用

我们现在来考虑在若干具体情况下 Z 函数的应用。

这些应用在很大程度上同 前缀函数 的应用类似。

匹配所有子串

为了避免混淆，我们将 \(t\) 称作 文本，将 \(p\) 称作 模式。所给出的问题是：寻找在文本 \(t\) 中模式 \(p\) 的所有出现（occurrence）。

为了解决该问题，我们构造一个新的字符串 \(s = p + \diamond + t\)，也即我们将 \(p\) 和 \(t\) 连接在一起，但是在中间放置了一个分割字符 \(\diamond\)（我们将如此选取 \(\diamond\) 使得其必定不出现在 \(p\) 和 \(t\) 中）。

首先计算 \(s\) 的 Z 函数。接下来，对于在区间 \([0,|t| - 1]\) 中的任意 \(i\)，我们考虑以 \(t[i]\) 为开头的后缀在 \(s\) 中的 Z 函数值 \(k = z[i + |p| + 1]\)。如果 \(k = |p|\)，那么我们知道有一个 \(p\) 的出现位于 \(t\) 的第 \(i\) 个位置，否则没有 \(p\) 的出现位于 \(t\) 的第 \(i\) 个位置。

其时间复杂度（同时也是其空间复杂度）为 \(O(|t| + |p|)\)。

本质不同子串数

给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，计算 \(s\) 的本质不同子串的数目。

考虑计算增量，即在知道当前 \(s\) 的本质不同子串数的情况下，计算出在 \(s\) 末尾添加一个字符后的本质不同子串数。

令 \(k\) 为当前 \(s\) 的本质不同子串数。我们添加一个新的字符 \(c\) 至 \(s\) 的末尾。显然，会出现一些以 \(c\) 结尾的新的子串（以 \(c\) 结尾且之前未出现过的子串）。

设串 \(t\) 是 \(s + c\) 的反串（反串指将原字符串的字符倒序排列形成的字符串）。我们的任务是计算有多少 \(t\) 的前缀未在 \(t\) 的其他地方出现。考虑计算 \(t\) 的 Z 函数并找到其最大值 \(z_{\max}\)。则 \(t\) 的长度小于等于 \(z_{\max}\) 的前缀的反串在 \(s\) 中是已经出现过的以 \(c\) 结尾的子串。

所以，将字符 \(c\) 添加至 \(s\) 后新出现的子串数目为 \(|t| - z_{\max}\)。

算法时间复杂度为 \(O(n^2)\)。

值得注意的是，我们可以用同样的方法在 \(O(n)\) 时间内，重新计算在端点处添加一个字符或者删除一个字符（从尾或者头）后的本质不同子串数目。

字符串整周期

给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，找到其最短的整周期，即寻找一个最短的字符串 \(t\)，使得 \(s\) 可以被若干个 \(t\) 拼接而成的字符串表示。

考虑计算 \(s\) 的 Z 函数，则其整周期的长度为最小的 \(n\) 的因数 \(i\)，满足 \(i+z[i]=n\)。

该事实的证明同应用 前缀函数 的证明一样。

练习题目

本页面主要译自博文 Z-функция строки и её вычисление 与其英文翻译版 Z-function and its calculation。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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