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字符串匹配

本页面将简述字符串匹配问题以及它的解法。

字符串匹配问题

定义

又称模式匹配（pattern matching）。该问题可以概括为「给定字符串 \(S\) 和 \(T\)，在主串 \(S\) 中寻找子串 \(T\)」。字符 \(T\) 称为模式串 (pattern)。

类型

  • 单串匹配：给定一个模式串和一个待匹配串，找出前者在后者中的所有位置。
  • 多串匹配：给定多个模式串和一个待匹配串，找出这些模式串在后者中的所有位置。
    • 出现多个待匹配串时，将它们直接连起来便可作为一个待匹配串处理。
    • 可以直接当做单串匹配，但是效率不够高。
  • 其他类型：例如匹配一个串的任意后缀，匹配多个串的任意后缀……

暴力做法

简称 BF (Brute Force) 算法。该算法的基本思想是从主串 \(S\) 的第一个字符开始和模式串 \(T\) 的第一个字符进行比较，若相等，则继续比较二者的后续字符；否则，模式串 \(T\) 回退到第一个字符，重新和主串 \(S\) 的第二个字符进行比较。如此往复，直到 \(S\) 或 \(T\) 中所有字符比较完毕。

实现

C++
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/*
 * s：待匹配的主串
 * t：模式串
 * n：主串的长度
 * m：模式串的长度
 */
std::vector<int> match(char *s, char *t, int n, int m) {
  std::vector<int> ans;
  int i, j;
  for (i = 0; i < n - m + 1; i++) {
    for (j = 0; j < m; j++) {
      if (s[i + j] != t[j]) break;
    }
    if (j == m) ans.push_back(i);
  }
  return ans;
}
Python
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def match(s, t, n, m):
    if m < 1:
        return []

    ans = []
    for i in range(0, n - m + 1):
        for j in range(0, m):
            if s[i + j] != t[j]:
                break
        else:
            ans.append(i)
    return ans

时间复杂度

设 \(n\) 为主串的长度，\(m\) 为模式串的长度。默认 \(m\ll n\)。

BF 算法匹配成功时，在最好情况下，只有一趟匹配成功，此趟比较次数为 \(m\)，而其余每趟不成功的匹配都发生在模式串的第一个字符，还需要 \(n-m\) 次比较，总比较次数为 \(n\)，故时间复杂度为 \(O(n)\)；在最坏情况下，匹配成功的趟数为 \(n-m+1\)，每趟比较次数为 \(m\)，总比较次数为 \(m(n-m+1)\)，故时间复杂度为 \(O(mn)\)。

BF 算法匹配失败时，在最好情况下，每趟不成功的匹配都发生在模式串的第一个字符，BF 算法要执行 \(n-m+1\) 次比较，时间复杂度为 \(O(n)\)；在最坏情况下，每趟不成功的匹配都发生在模式串的最后一个字符，BF 算法要执行 \(m(n-m+1)\) 次比较，时间复杂度为 \(O(mn)\)。

如果模式串有至少两个不同的字符，则 BF 算法的平均时间复杂度为 \(O(n)\)。但是在 OI 题目中，给出的字符串一般都不是纯随机的。

Hash 的方法

参见：字符串哈希

KMP 算法

参见：前缀函数与 KMP 算法

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