珂朵莉树/颜色段均摊

名称简介

珂朵莉树（Chtholly Tree），又名老司机树 ODT（Old Driver Tree）。起源自 CF896C。

注意，这种想法的本质是基于数据随机的「颜色段均摊」，而不是一种数据结构，下文介绍的操作是这种想法的具体实现方法。

前置知识

会用 STL 的 set 就行。

核心思想

把值相同的区间合并成一个结点保存在 set 里面。

用处

骗分。只要是有区间赋值操作的数据结构题都可以用来骗分。在数据随机的情况下一般效率较高，但在不保证数据随机的场合下，会被精心构造的特殊数据卡到超时。

如果要保证复杂度正确，必须保证数据随机。详见 Codeforces 上关于珂朵莉树的复杂度的证明。

更详细的严格证明见 珂朵莉树的复杂度分析。对于 add，assign 和 sum 操作，用 set 实现的珂朵莉树的复杂度为 \(O(n \log \log n)\)，而用链表实现的复杂度为 \(O(n \log n)\)。

正文

首先，结点的保存方式：

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struct Node_t {
  int l, r;
  mutable int v;

  Node_t(const int &il, const int &ir, const int &iv) : l(il), r(ir), v(iv) {}

  inline bool operator<(const Node_t &o) const { return l < o.l; }
};

其中，int v 是你自己指定的附加数据。

然后，我们定义一个 set<Node_t> odt; 来维护这些结点。为简化代码，可以 typedef set<Node_t>::iterator iter，当然在题目支持 C++11 时也可以使用 auto。

split

split 是最核心的操作之一，它用于将原本包含点 \(x\) 的区间（设为 \([l, r]\)）分裂为两个区间 \([l, x)\) 和 \([x, r]\) 并返回指向后者的迭代器。 参考代码如下：

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auto split(int x) {
  if (x > n) return odt.end();
  auto it = --odt.upper_bound(Node_t{x, 0, 0});
  if (it->l == x) return it;
  int l = it->l, r = it->r, v = it->v;
  odt.erase(it);
  odt.insert(Node_t(l, x - 1, v));
  return odt.insert(Node_t(x, r, v)).first;
}

这段代码有什么用呢？ 任何对于 \([l,r]\) 的区间操作，都可以转换成 set 上 \([split(l),split(r + 1))\) 的操作。

assign

另外一个重要的操作 assign 用于对一段区间进行赋值。 对于 ODT 来说，区间操作只有这个比较特殊，也是保证复杂度的关键。 如果 ODT 里全是长度为 \(1\) 的区间，就成了暴力，但是有了 assign，可以使 ODT 的大小下降。 参考代码如下：

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void assign(int l, int r, int v) {
  auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
  odt.erase(itl, itr);
  odt.insert(Node_t(l, r, v));
}

其他操作

套模板就好了，参考代码如下：

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void performance(int l, int r) {
  auto itr = split(r + 1), itl = split(l);
  for (; itl != itr; ++itl) {
    // Perform Operations here
  }
}

注：珂朵莉树在进行求取区间左右端点操作时，必须先 split 右端点，再 split 左端点。若先 split 左端点，返回的迭代器可能在 split 右端点的时候失效，可能会导致 RE。

习题

• 「SCOI2010」序列操作（该题目来源已添加 Hack 数据）
• 「SHOI2015」脑洞治疗仪
• 「Luogu 4979」矿洞：坍塌
• 「Luogu 8146」risrqnis

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