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主元素问题

概述

给一个有 \(n\) 个元素的数列，保证有一个数 \(a\) 出现的次数 超过 \(\dfrac n 2\)，求这个数。

做法

桶计数做法

桶计数做法是出现一个数，就把这个数出现次数 \(+1\)，很好懂：

C++
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for (int i = 0; i < n; i++) {
  cin >> t;
  ans[t]++;
}
for (int i = 0; i < m; i++) {  // m 为桶的大小
  if (ans[i] > n / 2) {
    cout << i;
    break;
  }
}

时间复杂度 \(O(n+m)\)。

但是这个做法很浪费空间，我们不推荐使用。

排序做法

显然，若一个数列存在主元素，那么这个主元素在排序后一定位于 \(\dfrac{n}{2}\) 的位置。

那么我们又有想法了：

C++
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sort(a, a + n);
cout << a[n / 2 - 1];  // 因为这里数组从 0 开始使用，所以需要 -1

看起来不错！\(O(n\log n)\) 的复杂度可还行？

下面介绍本问题的 \(O(n)\) 解法。

主元素数列的特性

由于主元素的出现的次数超过 \(\dfrac n 2\)，那么在不断的消掉两个不同的元素之后，最后一定剩下主元素。

输入时判断与上一次保存的输入是否相同，如不同则删除两数，这里用栈来实现。

C++
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while (n--) {
  scanf("%d", &a);
  q[top++] = a;
  top = (top > 1 && (q[top - 1] != q[top - 2])) ? (top - 2) : top;
}
printf("%d", q[top - 1]);

再进行优化后，空间复杂度也可以降至 \(O(1)\)。

C++
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int val = -1, cnt = 0;
while (n--) {
  scanf("%d", &a);
  if (a != val) {
    if (--cnt <= 0) {
      val = a, cnt = 1;
    }
  } else {
    ++cnt;
  }
}
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