在一台机器上规划任务

你有 \(n\) 个任务，要求你找到一个代价最小的的顺序执行他们。第 \(i\) 个任务花费的时间是 \(t_i\)，而第 \(i\) 个任务等待 \(t\) 的时间会花费 \(f_i(t)\) 的代价。

形式化地说，给出 \(n\) 个函数 \(f_i\) 和 \(n\) 个数 \(t_i\)，求一个排列 \(p\)，最小化

\[ F(p)=\sum_{i=1}^nf_{p_i}\left(\sum_{j=1}^{i-1}t_{p_j}\right) \]

特殊的代价函数

线性代价函数

首先我们考虑所有的函数是线性的函数，即 \(f_i(x)=c_ix+d_i\)，其中 \(c_i\) 是非负整数。显然我们可以事先把常数项加起来，因此函数就转化为了 \(f_i(x)=c_ix\) 的形式。

考虑两个排列 \(p\) 和 \(p'\)，其中 \(p'\) 是把 \(p\) 的第 \(i\) 个位置上的数和 \(i+1\) 个位置上的数交换得到的排列。则

\[ \begin{aligned} F(p')-F(p)&=c_{p'_i}\sum_{j=1}^{i-1}t_{p'_j}+c_{p'_{i+1}}\sum_{j=1}^{i}t_{p'_j} -\left(c_{p_i}\sum_{j=1}^{i-1}t_{p_j}+c_{p_{i+1}}\sum_{j=1}^{i}t_{p_j}\right)\\ &=c_{p_i}t_{p_{i+1}}-c_{p_{i+1}}t_{p_i} \end{aligned} \]

于是我们使用如果 \(c_{p_i}t_{p_{i+1}}-c_{p_{i+1}}t_{p_i}>0\) 就交换的策略做一下排序就可以了。写成 \(\dfrac{c_{p_i}}{t_{p_i}}>\dfrac{c_{p_{i+1}}}{t_{p_{i+1}}}\) 的形式，就可以理解为将排列按 \(\dfrac{c_i}{t_i}\) 升序排序。

处理这个问题，我们的思路是考虑微扰后的变换情况，贪心地选取最优解。

指数代价函数

考虑代价函数的形式为 \(f_i(x)=c_i\mathrm{e}^{ax}\)，其中 \(c_i\ge 0,a>0\)。

我们沿用之前的思路，考虑将 \(i\) 和 \(i+1\) 的位置上的数交换引起的代价变化。最终得到的算法是将排列按照 \(\dfrac{1-\mathrm{e}^{at_i}}{c_i}\) 升序排序。

相同的单增函数

我们考虑所有的 \(f_i(x)\) 是同一个单增函数。那么显然我们将排列按照 \(t_i\) 升序排序即可。

Livshits-Kladov 定理

Livshits-Kladov 定理成立，当且仅当代价函数是以下三种情况：

线性函数：\(f_i(t) = c_it + d_i\)，其中 \(c_i\ge 0\)；
指数函数：\(f_i(t) = c_i \mathrm{e}^{a t} + d_i\)，其中 \(c_i,a>0\)；
相同的单增函数：\(f_i(t) = \phi(t)\)，其中 \(\phi(t)\) 是一个单增函数。

定理是在假设代价函数足够平滑（存在三阶导数）的条件下证明的。在这三种情况下，问题的最优解可以通过简单的排序在 \(O(n\log n)\) 的时间内解决。

本页面主要译自博文 Задача Джонсона с одним станком 与其英文翻译版 Scheduling jobs on one machine。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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