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格雷码

格雷码是一个二进制数系，其中两个相邻数的二进制位只有一位不同。举个例子，\(3\) 位二进制数的格雷码序列为

\[ 000,001,011,010,110,111,101,100 \]

注意序列的下标我们以 \(0\) 为起点，也就是说 \(G(0)=000,G(4)=110\)。

格雷码由贝尔实验室的 Frank Gray 于 1940 年代提出，并于 1953 年获得专利。

构造格雷码（变换）

格雷码的构造方法很多。我们首先介绍手动构造方法，然后会给出构造的代码以及正确性证明。

手动构造

\(k\) 位的格雷码可以通过以下方法构造。我们从全 \(0\) 格雷码开始，按照下面策略：

  1. 翻转最低位得到下一个格雷码，（例如 \(000\to 001\)）；
  2. 把最右边的 \(1\) 的左边的位翻转得到下一个格雷码，（例如 \(001\to 011\)）；

交替按照上述策略生成 \(2^{k-1}\) 次，可得到 \(k\) 位的格雷码序列。

镜像构造

\(k\) 位的格雷码可以从 \(k-1\) 位的格雷码以上下镜射后加上新位的方式快速得到，如下图：

\[ \begin{matrix} k=1\\ 0\\ 1\\\\\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix}\\ \color{Red}0\\\color{Red}1\\\color{Blue}1\\\color{Blue}0\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix} k=2\\ {\color{Red}0}0\\{\color{Red}0}1\\{\color{Blue}1}1\\{\color{Blue}1}0\\\\\\\\\\ \end{matrix} \to \begin{matrix}\\ \color{Red}00\\\color{Red}01\\\color{Red}11\\\color{Red}10\\\color{Blue}10\\\color{Blue}11\\\color{Blue}01\\\color{Blue}00 \end{matrix} \to \begin{matrix} k=3\\ {\color{Red}0}00\\{\color{Red}0}01\\{\color{Red}0}11\\{\color{Red}0}10\\{\color{Blue}1}10\\{\color{Blue}1}11\\{\color{Blue}1}01\\{\color{Blue}1}00 \end{matrix} \]

计算方法

我们观察一下 \(n\) 的二进制和 \(G(n)\)。可以发现，如果 \(G(n)\) 的二进制第 \(i\) 位为 \(1\)，仅当 \(n\) 的二进制第 \(i\) 位为 \(1\)，第 \(i+1\) 位为 \(0\) 或者第 \(i\) 位为 \(0\)，第 \(i+1\) 位为 \(1\)。于是我们可以当成一个异或的运算，即

\[ G(n)=n\oplus \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor \]
C++
1
int g(int n) { return n ^ (n >> 1); }

正确性证明

接下来我们证明一下，按照上述公式生成的格雷码序列，相邻两个格雷码的二进制位有且仅有一位不同。

我们考虑 \(n\) 和 \(n+1\) 的区别。把 \(n\) 加 \(1\)，相当于把 \(n\) 的二进制下末位的连续的 \(1\) 全部变成取反，然后把最低位的 \(0\) 变成 \(1\)。我们这样表示 \(n\) 和 \(n+1\) 的二进制位：

\[ \begin{array}{rll} (n)_2&=&\cdots0\underbrace{11\cdots11}_{k\text{个}}\\ (n+1)_2&=&\cdots1\underbrace{00\cdots00}_{k\text{个}} \end{array} \]

于是我们在计算 \(g(n)\) 和 \(g(n+1)\) 的时侯，后 \(k\) 位都会变成 \(\displaystyle\underbrace{100\cdots00}_{k\text{个}}\) 的形式，而第 \(k+1\) 位是不同的，因为 \(n\) 和 \(n+1\) 除了后 \(k+1\) 位，其他位都是相同的。因此第 \(k+1\) 位要么同时异或 \(1\)，要么同时异或 \(0\)。两种情况，第 \(k+1\) 位都是不同的。而除了后 \(k+1\) 位以外的二进制位也是做相同的异或运算，结果是相同的。

证毕。

通过格雷码构造原数（逆变换）

接下来我们考虑格雷码的逆变换，即给你一个格雷码 \(g\)，要求你找到原数 \(n\)。我们考虑从二进制最高位遍历到最低位（最低位下标为 \(1\)，即个位；最高位下标为 \(k\)）。则 \(n\) 的二进制第 \(i\) 位与 \(g\) 的二进制第 \(i\) 位 \(g_i\) 的关系如下：

\[ \begin{array}{rll} n_k &= g_k \\ n_{k-1} &= g_{k-1} \oplus n_k &= g_k \oplus g_{k-1} \\ n_{k-2} &= g_{k-2} \oplus n_{k-1} &= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \\ n_{k-3} &= g_{k-3} \oplus n_{k-2} &= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \oplus g_{k-3} \\ &\vdots\\ n_{k-i} &=\displaystyle\bigoplus_{j=0}^ig_{k-j} \end{array} \]
C++
1
2
3
4
5
int rev_g(int g) {
  int n = 0;
  for (; g; g >>= 1) n ^= g;
  return n;
}

实际应用

格雷码有一些十分有用的应用，有些应用让人意想不到：

  • \(k\) 位二进制数的格雷码序列可以当作 \(k\) 维空间中的一个超立方体（二维里的正方形，一维里的单位向量）顶点的哈密尔顿回路，其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标。

  • 格雷码被用于最小化数字模拟转换器（比如传感器）的信号传输中出现的错误，因为它每次只改变一个位。

  • 格雷码可以用来解决汉诺塔的问题。

    设盘的数量为 \(n\)。我们从 \(n\) 位全 \(0\) 的格雷码 \(G(0)\) 开始，依次移向下一个格雷码（\(G(i)\) 移向 \(G(i+1)\)）。当前格雷码的二进制第 \(i\) 位表示从小到大第 \(i\) 个盘子。

    由于每一次只有一个二进制位会改变，因此当第 \(i\) 位改变时，我们移动第 \(i\) 个盘子。在移动盘子的过程中，除了最小的盘子，其他任意一个盘子在移动的时侯，只能有一个放置选择。在移动第一个盘子的时侯，我们总是有两个放置选择。于是我们的策略如下：

    如果 \(n\) 是一个奇数，那么盘子的移动路径为 \(f\to t\to r\to f\to t\to r\to\cdots\)，其中 \(f\) 是最开始的柱子，\(t\) 是最终我们把所有盘子放到的柱子，\(r\) 是中间的柱子。

    如果 \(n\) 是偶数：\(f \to r \to t \to f \to r \to t \to \cdots\)

  • 格雷码也在遗传算法理论中得到应用。

习题

本页面部分内容译自博文 Код Грея 与其英文翻译版 Gray code。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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