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表达式求值

表达式求值要解决的问题一般是输入一个字符串表示的表达式，要求输出它的值。当然也有变种比如表达式中是否包含括号，指数运算，含多少变量，判断多个表达式是否等价，等等。

表达式一般需要先进行语法分析（grammer parsing）再求值，也可以边分析边求值，语法分析的作用是检查输入的字符串是否是一个合法的表达式，一般使用语法分析器（parser）解决。

表达式包含两类字符：运算数和运算符。对于长度为 \(n\) 的表达式，借助合适的分析方法，可以在 \(O(n)\) 的时间复杂度内完成分析与求值。

表达式树与逆波兰表达式

一种递归分析表达式的方法是，将表达式当成普通的语法规则进行分析，分析后拆分成如图所示的表达式树，然后在树结构上自底向上进行运算。

表达式树上进行 树的遍历 可以得到不同类型的表达式。算术表达式分为三种，分别是前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式。中缀表达式是日常生活中最常用的表达式；后缀表达式是计算机容易理解的表达式。

  • 前序遍历对应前缀表达式（波兰式）
  • 中序遍历对应中缀表达式
  • 后序遍历对应后缀表达式（逆波兰式）

逆波兰表达式（后缀表达式）是书写数学表达式的一种形式，其中运算符位于其操作数之后。例如，以下表达式：

\[ a+b*c*d+(e-f)*(g*h+i) \]

可以用逆波兰表达式书写：

\[ abc*d*+ef-gh*i+*+ \]

因此，逆波兰表达式与表达式树一一对应。逆波兰表达式不需要括号表示，它的运算顺序是唯一确定的。

逆波兰表达式的方便之处在于很容易在线性时间内计算。举个例子：在逆波兰表达式 \(3~2~*~1~-\) 中，首先计算 \(3 \times 2 = 6\)（使用最后一个运算符，即栈顶运算符），然后计算 \(6 - 1 = 5\)。可以看到：对于一个逆波兰表达式，只需要 维护一个数字栈，每次遇到一个运算符，就取出两个栈顶元素，将运算结果重新压入栈中。最后，栈中唯一一个元素就是该逆波兰表达式的运算结果。该算法拥有 \(O(n)\) 的时间复杂度。

采用递归的办法分析表达式是否成功，依赖于语法规则的设计是否合理，即，是否能够成功地得到指定的表达式树。例如：

\[ a+b*c \]

根据加号与乘号的运算优先级不同，该中缀表达式可能转化为两种不同的表达式树。可见，语法规则的设计高度依赖于运算符的优先级。借助运算符的优先级设计相应递归的语法规则，事实上是一件不容易的事情。

下文介绍的办法将运算符与它的优先级视为一个整体，采用非递归的办法，直接根据运算符的优先级来分析与计算表达式。

只含左结合的二元运算符的含括号表达式

考虑简化的问题。假设所有运算符都是二元的：所有运算符都有两个参数。并且所有运算符都是左结合的：如果运算符的优先级相等，则从左到右执行。允许使用括号。

对于这种类型的中缀表达式的计算，可以将其转化为后缀表达式再进行计算。定义两个 栈 来分别存储运算符和运算数，每当遇到一个数直接放进运算数栈。每个运算符块对应于一对括号，运算符栈只对于运算符块的内部单调。每当遇到一个操作符时，要查找运算符栈中最顶部运算符块中的元素，在运算符块的内部保持运算符按照优先级降序进行适当的弹出操作，弹出的同时求出对应的子表达式的值。

以下部分用「输出」表示输出到后缀表达式，即将该数字放在运算数栈上，或者弹出运算符和两个操作数，运算后再将结果压回运算数栈上。从左到右扫描该中缀表达式：

  1. 如果遇到数字，直接输出该数字。
  2. 如果遇到左括号，那么将其放在运算符栈上。
  3. 如果遇到右括号，不断输出栈顶元素，直至遇到左括号，左括号出栈。换句话说，执行一对括号内的所有运算符。
  4. 如果遇到其他运算符，不断输出所有运算优先级大于等于当前运算符的运算符。最后，新的运算符入运算符栈。
  5. 在处理完整个字符串之后，一些运算符可能仍然在堆栈中，因此把栈中剩下的符号依次输出，表达式转换结束。

以下是四个运算符 \(+\)、\(-\)、\(*\)、\(/\) 的此方法的实现：

示例代码
C++
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bool delim(char c) { return c == ' '; }

bool is_op(char c) { return c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/'; }

int priority(char op) {
  if (op == '+' || op == '-') return 1;
  if (op == '*' || op == '/') return 2;
  return -1;
}

void process_op(stack<int>& st, char op) {  // 也可以用于计算后缀表达式
  int r = st.top();                         // 取出栈顶元素，注意顺序
  st.pop();
  int l = st.top();
  st.pop();
  switch (op) {
    case '+':
      st.push(l + r);
      break;
    case '-':
      st.push(l - r);
      break;
    case '*':
      st.push(l * r);
      break;
    case '/':
      st.push(l / r);
      break;
  }
}

int evaluate(string& s) {  // 也可以改造为中缀表达式转换后缀表达式
  stack<int> st;
  stack<char> op;
  for (int i = 0; i < (int)s.size(); i++) {
    if (delim(s[i])) continue;

    if (s[i] == '(') {
      op.push('(');  // 2. 如果遇到左括号，那么将其放在运算符栈上
    } else if (s[i] == ')') {  // 3. 如果遇到右括号，执行一对括号内的所有运算符
      while (op.top() != '(') {
        process_op(st, op.top());
        op.pop();  // 不断输出栈顶元素，直至遇到左括号
      }
      op.pop();                // 左括号出栈
    } else if (is_op(s[i])) {  // 4. 如果遇到其他运算符
      char cur_op = s[i];
      while (!op.empty() && priority(op.top()) >= priority(cur_op)) {
        process_op(st, op.top());
        op.pop();  // 不断输出所有运算优先级大于等于当前运算符的运算符
      }
      op.push(cur_op);  // 新的运算符入运算符栈
    } else {            // 1. 如果遇到数字，直接输出该数字
      int number = 0;
      while (i < (int)s.size() && isalnum(s[i]))
        number = number * 10 + s[i++] - '0';
      --i;
      st.push(number);
    }
  }

  while (!op.empty()) {
    process_op(st, op.top());
    op.pop();
  }
  return st.top();
}

这种隐式使用逆波兰表达式计算表达式的值的算法的时间复杂度为 \(O(n)\)。通过稍微修改上述实现，还可以以显式形式获得逆波兰表达式。

一元运算符与右结合的运算符

现在假设表达式还包含一元运算符，即只有一个参数的运算符。一元加号和一元减号是一元运算符的常见示例。

这种情况的一个区别是，需要确定当前运算符是一元运算符还是二元运算符。

注意到，在一元运算符之前一般有另一个运算符或开括号，如果一元运算符位于表达式的最开头则没有。在二元运算符之前，总是有一个运算数或右括号。因此，可以标记下一个运算符是否一元运算符。

此外，需要以不同的方式执行一元运算符和二元运算符，让一元运算符的优先级高于所有二元运算符。应注意，一些一元运算符，例如一元加号和一元减号，实际上是右结合的。

右结合意味着，每当优先级相等时，必须从右到左计算运算符。

如上所述，一元运算符通常是右结合的。右结合运算符的另一个示例是求幂运算符。对于 \(a \wedge b \wedge c\)，通常被视为 \(a^{b^c}\)，而不是 \((a^b)^c\)。

为了正确地处理这类运算符，相应的改动是，如果优先级相等，将推迟运算符的出栈操作。

需要改动的代码如下。将：

C++
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while (!op.empty() && priority(op.top()) >= priority(cur_op))

换成

C++
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while (!op.empty() &&
       ((left_assoc(cur_op) && priority(op.top()) >= priority(cur_op)) ||
        (!left_assoc(cur_op) && priority(op.top()) > priority(cur_op))))

其中 left_assoc 是一个函数，它决定运算符是否为左结合的。

这里是二进制运算符 \(+\)、\(-\)、\(*\)、\(/\) 和一元运算符 \(+\) 和 \(-\) 的实现：

示例代码
C++
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bool delim(char c) { return c == ' '; }

bool is_op(char c) { return c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/'; }

bool is_unary(char c) { return c == '+' || c == '-'; }

int priority(char op) {
  if (op < 0)  // unary operator
    return 3;
  if (op == '+' || op == '-') return 1;
  if (op == '*' || op == '/') return 2;
  return -1;
}

void process_op(stack<int>& st, char op) {
  if (op < 0) {
    int l = st.top();
    st.pop();
    switch (-op) {
      case '+':
        st.push(l);
        break;
      case '-':
        st.push(-l);
        break;
    }
  } else {  // 取出栈顶元素，注意顺序
    int r = st.top();
    st.pop();
    int l = st.top();
    st.pop();
    switch (op) {
      case '+':
        st.push(l + r);
        break;
      case '-':
        st.push(l - r);
        break;
      case '*':
        st.push(l * r);
        break;
      case '/':
        st.push(l / r);
        break;
    }
  }
}

int evaluate(string& s) {
  stack<int> st;
  stack<char> op;
  bool may_be_unary = true;
  for (int i = 0; i < (int)s.size(); i++) {
    if (delim(s[i])) continue;

    if (s[i] == '(') {
      op.push('(');  // 2. 如果遇到左括号，那么将其放在运算符栈上
      may_be_unary = true;
    } else if (s[i] == ')') {  // 3. 如果遇到右括号，执行一对括号内的所有运算符
      while (op.top() != '(') {
        process_op(st, op.top());
        op.pop();  // 不断输出栈顶元素，直至遇到左括号
      }
      op.pop();  // 左括号出栈
      may_be_unary = false;
    } else if (is_op(s[i])) {  // 4. 如果遇到其他运算符
      char cur_op = s[i];
      if (may_be_unary && is_unary(cur_op)) cur_op = -cur_op;
      while (!op.empty() &&
             ((cur_op >= 0 && priority(op.top()) >= priority(cur_op)) ||
              (cur_op < 0 && priority(op.top()) > priority(cur_op)))) {
        process_op(st, op.top());
        op.pop();  // 不断输出所有运算优先级大于等于当前运算符的运算符
      }
      op.push(cur_op);  // 新的运算符入运算符栈
      may_be_unary = true;
    } else {  // 1. 如果遇到数字，直接输出该数字
      int number = 0;
      while (i < (int)s.size() && isalnum(s[i]))
        number = number * 10 + s[i++] - '0';
      --i;
      st.push(number);
      may_be_unary = false;
    }
  }

  while (!op.empty()) {
    process_op(st, op.top());
    op.pop();
  }
  return st.top();
}

参考资料

本页面主要译自博文 Разбор выражений. Обратная польская нотация 与其英文翻译版 Expression parsing。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

延申阅读

  1. Operator-precedence_parser
  2. Shunting yard algorithm

习题

  1. 表达式求值（NOIP2013）
  2. 后缀表达式
  3. Transform the Expression
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