随机变量
相关概念
随机变量
给定概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)，定义在样本空间 \(\Omega\) 上的函数 \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) 若满足：对任意 \(t \in \mathbb{R}\) 都有
则称 \(X\) 为 随机变量。
示性函数
对于样本空间 \(\Omega\) 上的事件 \(A\)，定义随机变量
称 \(I_A\) 是事件 \(A\) 的 示性函数。
分布函数
对于随机变量 \(X\)，称函数
为随机变量 \(X\) 的 分布函数。记作 \(X \sim F(x)\)。
分布函数具有以下性质：
- 右连续性：\(F(x) = F(x + 0)\)
- 单调性：在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增（非严格）
- \(F(-\infty) = 0\),\(F(+\infty) = 1\)
同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。因此，分布函数与随机变量之间一一对应。
随机变量的分类
随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为 离散型 和 连续型 两种。
离散型随机变量
设 \(X\) 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 \(x_1, x_2, \cdots\)，则我们可以用一系列形如 \(P\{ X = x_i \} = p_i\) 的等式来描述 \(X\)。这就是我们在高中课本中学过的 分布列。
连续型随机变量
设 \(X\) 为连续型随机变量，考察 \(P\{ X = x \}\) 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 \(0\)）。
为什么说概率「很可能」是 \(0\)
考虑这样的随机变量 \(X\)：它以 \(\frac{1}{2}\) 的概率取 \(0\)，以 \(\frac{1}{2}\) 的概率服从开区间 \((0, 1)\) 上的均匀分布。显然 \(X\) 满足连续型随机变量的定义。
对任何实数 \(r \in (0, 1)\)，不难得到 \(P\{ X = r \} = 0\)，但同时有 \(P\{ X = 0 \} = \frac{1}{2}\)。
另一方面，设 \(X \sim F(x)\)，则
一个自然的想法是用极限 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{F(l + \Delta x) - F(l)}{\Delta x}\) 来描述 \(X\) 取值为 \(l\) 的可能性。
这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 \(f(x)\) 使得
若这样的 \(f(x)\) 存在，则称之为 \(X\) 的 密度函数。
随机变量的独立性
前面讨论了随机事件的独立性。由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。
定义
若随机变量 \(X, Y\) 满足对任意的 \(x, y \in \mathbb{R}\) 都有
则称随机变量 \(X, Y\) 独立。
Note
有些同学也许会注意到，中学课本中对随机变量独立性的定义是用形如 \(P(X = \alpha)\) 的概率定义的，但由于连续性随机变量取特定值的概率通常是 \(0\)，故在更一般的情形下借助分布函数定义才是更加明智的选择。
性质
若随机变量 \(X\),\(Y\) 相互独立，则对于任意函数 \(f, g\)，随机变量 \(f(X)\) 与 \(g(Y)\) 相互独立。
Warning
有时候我们会研究相互独立的随机变量 \(X\),\(Y\) 的某一函数 \(f(X, Y)\)（如 \(XY^2\)）的分布。
尽管 \(X\) 与 \(Y\) 是独立的，但不能想当然地认为对 \(Y\) 的某一取值 \(y\)，\(f(X, y)\) 与 \(f(X, Y)\) 服从同样的分布。
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