条件概率与独立性

概述

当某事件已经发生时，一些随机事件的概率会因为已知信息的增加发生变化。例如在手游抽卡时，我们可能会认为单次抽卡出六星与不出六星是等概率的，但随着我们连抽 \(50\) 发一个六星都没有，再固执地认为「出六星与不出六星等概率」就显得不是那么明智。

总之，研究在某些已知条件下事件发生的概率是必要的。

条件概率

定义

若已知事件 \(A\) 发生，在此条件下事件 \(B\) 发生的概率称为 条件概率，记作 \(P(B|A)\)。

在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 中，若事件 \(A \in \mathcal{F}\) 满足 \(P(A) > 0\)，则条件概率 \(P(\cdot|A)\) 定义为

\[ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \quad \forall B \in \mathcal{F} \]

可以验证根据上式定义出的 \(P(\cdot|A)\) 是 \((\Omega, \mathcal{F})\) 上的概率函数。

根据条件概率的定义可以直接推出下面两个等式：

概率乘法公式：在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 中，若 \(P(A) > 0\)，则对任意事件 \(B\) 都有

\[ P(AB) = P(A)P(B|A) \]

全概率公式：在概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 中，若一组事件 \(A_1, \cdots, A_n\) 两两不交且和为 \(\Omega\)，则对任意事件 \(B\) 都有

\[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i) \]

Bayes 公式

一般来说，设可能导致事件 \(B\) 发生的原因为 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\)，则在 \(P(A_i)\) 和 \(P(B|A_i)\) 已知时可以通过全概率公式计算事件 \(B\) 发生的概率。但在很多情况下，我们需要根据「事件 \(B\) 发生」这一结果反推其各个原因事件的发生概率。于是有

\[ P(A_i|B) = \frac{P(A_iB)}{P(B)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B|A_j)} \]

上式即 Bayes 公式。

事件的独立性

在研究条件概率的过程中，可能会出现 \(P(B|A) = P(B)\) 的情况。从直观上讲就是事件 \(B\) 是否发生并不会告诉我们关于事件 \(A\) 的任何信息，即事件 \(B\) 与事件 \(A\)「无关」。于是我们就有了下面的定义

定义

若同一概率空间中的事件 \(A\),\(B\) 满足

\[ P(AB) = P(A)P(B) \]

则称 \(A\),\(B\) 独立。对于多个事件 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\)，我们称其独立，当且仅当对任意一组事件 \(\{ A_{i_k} : 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n \}\) 都有

\[ P( A_{i_1}A_{i_2} \cdots A_{i_r} ) = \prod_{k=1}^{r} P(A_{i_k}) \]

多个事件的独立性

对于多个事件，一般不能从两两独立推出这些事件独立。考虑以下反例：

有一个正四面体骰子，其中三面被分别涂成红色、绿色、蓝色，另一面则三色皆有。现在扔一次该骰子，令事件 \(A\),\(B\),\(C\) 分别表示与桌面接触的一面包含红色、绿色、蓝色。

不难计算 \(P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2}\)，而 \(P(AB) = P(BC) = P(CA) = P(ABC) = \frac{1}{4}\)。

显然 \(A, B, C\) 两两独立，但由于 \(P(ABC) \neq P(A)P(B)P(C)\)，故 \(A, B, C\) 不独立。

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