快速沃尔什变换

（本文转载自 桃酱的算法笔记，原文戳 链接，已获得作者授权）

简介

沃尔什转换（Walsh Transform）是在频谱分析上作为离散傅立叶变换的替代方案的一种方法。——维基百科

其实这个变换在信号处理中应用很广泛，fft 是 double 类型的，但是 walsh 把信号在不同震荡频率方波下拆解，因此所有的系数都是绝对值大小相同的整数，这使得不需要作浮点数的乘法运算，提高了运算速度。

所以，FWT 和 FFT 的核心思想应该是相同的，都是对数组的变换。我们记对数组 \(A\) 进行快速沃尔什变换后得到的结果为 \(FWT[A]\)。

那么 FWT 核心思想就是：

我们需要一个新序列 \(C\)，由序列 \(A\) 和序列 \(B\) 经过某运算规则得到，即 \(C = A \cdot B\)；

我们先正向得到 \(FWT[A], FWT[B]\)，再根据 \(FWT[C]=FWT[A] \cdot FWT[B]\) 在 \(O(n)\) 的时间复杂度内求出 \(FWT[C]\)；

然后逆向运算得到原序列 \(C\)。时间复杂度为 \(O(n \log{n})\)。

在算法竞赛中，FWT 是用于解决对下标进行位运算卷积问题的方法。

公式：\(C_{i} = \sum_{i=j \bigoplus k}A_{j} B_{k}\)

（其中 \(\bigoplus\) 是二元位运算中的某一种，\(*\) 是普通乘法）

FWT 的运算

FWT 之与（&）运算和或（|）运算

与运算和或运算的本质是差不多的，所以这里讲一下或运算，与运算也是可以自己根据公式 yy 出来的。

或运算

如果有 \(k=i|j\)，那么 \(i\) 的二进制位为 \(1\) 的位置和 \(j\) 的二进制位为 \(1\) 的位置肯定是 \(k\) 的二进制位为 \(1\) 的位置的子集。

现在要得到 \(FWT[C] = FWT[A] * FWT[B]\)，我们就要构造这个 fwt 的规则。

我们按照定义，显然可以构造 \(FWT[A] = A' = \sum_{i=i|j}A_{j}\)，来表示 \(j\) 满足二进制中 \(1\) 为 \(i\) 的子集。

那么显然会有 \(C_{i} = \sum_{i=j|k}A_{j}*B_{k} \Rightarrow FWT[C] = FWT[A] * FWT[B]\)

那么我们接下来看 \(FWT[A]\) 怎么求。

首先肯定不能枚举了，复杂度为 \(O(n^2)\)。既然不能整体枚举，我们就考虑分治。

我们把整个区间二分，其实二分区间之后，下标写成二进制形式是有规律可循的。

我们令 \(A_0\) 表示 \(A\) 的前一半，\(A_1\) 表示区间的后一半，那么 \(A_0\) 就是 A 下标最大值的最高位为 \(0\)，他的子集就是他本身的子集（因为最高位为 \(0\) 了），但是 \(A_1\) 的最高位是 \(1\)，他满足条件的子集不仅仅是他本身，还包最高位为 \(0\) 的子集，即

其中 merge 表示像字符串拼接一样把它们拼起来，\(+\) 就是普通加法，表示对应二进制位相加。

这样我们就通过二分能在 \(O(\log{n})\) 的时间复杂度内完成拼接，每次拼接的时候要完成一次运算，也就是说在 \(O(n\log{n})\) 的时间复杂度得到了 \(FWT[A]\)。

接下来就是反演了，其实反演是很简单的，既然知道了 \(A_0\) 的本身的子集是他自己 (\(A_0 = FWT[A_0]\))，\(A_1\) 的子集是 \(FWT[A_0] + FWT[A_1]（A_1 = A_0' + A_1'\)），那就很简单的得出反演的递推式了：

与运算

与运算类比或运算可以得到类似结论

异或运算

最常考的异或运算。

异或的卷积是基于如下原理：

若我们令 \(i\And j\) 中 \(1\) 数量的奇偶性为 \(i\) 与 \(j\) 的奇偶性，那么 \(i\) 与 \(k\) 的奇偶性异或 \(j\) 与 \(k\) 的奇偶性等于 \(i \operatorname{xor} j\) 与 \(k\) 的奇偶性。

对于 \(FWT[A]\) 的运算其实也很好得到。

公式如下：

\(A_{i} = \sum_{C_1}A_{j} - \sum_{C_2}A_{j}\)(\(C_1\) 表示 \(i \And j\) 奇偶性为 \(0\)，\(C_2\) 表示 \(i \And j\) 的奇偶性为 \(1\))

结论：

同或运算

类比异或运算给出公式：

\(A_{i} = \sum_{C_1}A_{j} - \sum_{C_2}A_{j}\)(\(C_1\) 表示 \(i|j\) 奇偶性为 \(0\)，\(C_2\) 表示 \(i|j\) 的奇偶性为 \(1\))

例题

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