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快速沃尔什变换

(本文转载自 桃酱的算法笔记,原文戳 链接,已获得作者授权)

简介

沃尔什转换(Walsh Transform)是在频谱分析上作为离散傅立叶变换的替代方案的一种方法。——维基百科

其实这个变换在信号处理中应用很广泛,fft 是 double 类型的,但是 walsh 把信号在不同震荡频率方波下拆解,因此所有的系数都是绝对值大小相同的整数,这使得不需要作浮点数的乘法运算,提高了运算速度。

所以,FWT 和 FFT 的核心思想应该是相同的,都是对数组的变换。我们记对数组 \(A\) 进行快速沃尔什变换后得到的结果为 \(FWT[A]\)

那么 FWT 核心思想就是:

我们需要一个新序列 \(C\),由序列 \(A\) 和序列 \(B\) 经过某运算规则得到,即 \(C = A \cdot B\)

我们先正向得到 \(FWT[A], FWT[B]\),再根据 \(FWT[C]=FWT[A] \cdot FWT[B]\)\(O(n)\) 的时间复杂度内求出 \(FWT[C]\)

然后逆向运算得到原序列 \(C\)。时间复杂度为 \(O(n \log{n})\)

在算法竞赛中,FWT 是用于解决对下标进行位运算卷积问题的方法。

公式:\(C_{i} = \sum_{i=j \bigoplus k}A_{j} B_{k}\)

(其中 \(\bigoplus\) 是二元位运算中的某一种,\(*\) 是普通乘法)

FWT 的运算

FWT 之与(&)运算和或(|)运算

与运算和或运算的本质是差不多的,所以这里讲一下或运算,与运算也是可以自己根据公式 yy 出来的。

或运算

如果有 \(k=i|j\),那么 \(i\) 的二进制位为 \(1\) 的位置和 \(j\) 的二进制位为 \(1\) 的位置肯定是 \(k\) 的二进制位为 \(1\) 的位置的子集。

现在要得到 \(FWT[C] = FWT[A] * FWT[B]\),我们就要构造这个 fwt 的规则。

我们按照定义,显然可以构造 \(FWT[A] = A' = \sum_{i=i|j}A_{j}\),来表示 \(j\) 满足二进制中 \(1\)\(i\) 的子集。

那么显然会有 \(C_{i} = \sum_{i=j|k}A_{j}*B_{k} \Rightarrow FWT[C] = FWT[A] * FWT[B]\)

那么我们接下来看 \(FWT[A]\) 怎么求。

首先肯定不能枚举了,复杂度为 \(O(n^2)\)。既然不能整体枚举,我们就考虑分治。

我们把整个区间二分,其实二分区间之后,下标写成二进制形式是有规律可循的。

我们令 \(A_0\) 表示 \(A\) 的前一半,\(A_1\) 表示区间的后一半,那么 \(A_0\) 就是 A 下标最大值的最高位为 \(0\),他的子集就是他本身的子集(因为最高位为 \(0\) 了),但是 \(A_1\) 的最高位是 \(1\),他满足条件的子集不仅仅是他本身,还包最高位为 \(0\) 的子集,即

\[ FWT[A] = merge(FWT[A_0], FWT[A_0] + FWT[A_1]) \]

其中 merge 表示像字符串拼接一样把它们拼起来,\(+\) 就是普通加法,表示对应二进制位相加。

这样我们就通过二分能在 \(O(\log{n})\) 的时间复杂度内完成拼接,每次拼接的时候要完成一次运算,也就是说在 \(O(n\log{n})\) 的时间复杂度得到了 \(FWT[A]\)

接下来就是反演了,其实反演是很简单的,既然知道了 \(A_0\) 的本身的子集是他自己 (\(A_0 = FWT[A_0]\)),\(A_1\) 的子集是 \(FWT[A_0] + FWT[A_1](A_1 = A_0' + A_1'\)),那就很简单的得出反演的递推式了:

\[ UFWT[A'] = merge(UFWT[A_0'], UFWT[A_1'] - UFWT[A_0']) \]

与运算

与运算类比或运算可以得到类似结论

\[ FWT[A] = merge(FWT[A_0] + FWT[A_1], FWT[A_1]) \]
\[ UFWT[A'] = merge(UFWT[A_0'] - UFWT[A_1'], UFWT[A_1']) \]

异或运算

最常考的异或运算。

异或的卷积是基于如下原理:

若我们令 \(i\And j\)\(1\) 数量的奇偶性为 \(i\)\(j\) 的奇偶性,那么 \(i\)\(k\) 的奇偶性异或 \(j\)\(k\) 的奇偶性等于 \(i \operatorname{xor} j\)\(k\) 的奇偶性。

对于 \(FWT[A]\) 的运算其实也很好得到。

公式如下:

\(A_{i} = \sum_{C_1}A_{j} - \sum_{C_2}A_{j}\)(\(C_1\) 表示 \(i \And j\) 奇偶性为 \(0\)\(C_2\) 表示 \(i \And j\) 的奇偶性为 \(1\))

结论:

\[ FWT[A] = merge(FWT[A_0] + FWT[A_1], FWT[A_0] - FWT[A_1]) \]
\[ UFWT[A'] = merge(\frac{UFWT[A_0'] + UFWT[A_1']}{2}, \frac{UFWT[A_0'] - UFWT[A_1']}{2}) \]

同或运算

类比异或运算给出公式:

\(A_{i} = \sum_{C_1}A_{j} - \sum_{C_2}A_{j}\)(\(C_1\) 表示 \(i|j\) 奇偶性为 \(0\)\(C_2\) 表示 \(i|j\) 的奇偶性为 \(1\))

\[ FWT[A] = merge(FWT[A_1] - FWT[A_0], FWT[A_1] + FWT[A_0]) \]
\[ UFWT[A'] = merge(\frac{UFWT[A_1'] - UFWT[A_0']}{2}, \frac{UFWT[A_1'] + UFWT[A_0']}{2}) \]

例题

【CF103329F】【XXII Opencup, Grand Prix of XiAn】The Struggle

给出一个椭圆 \(E\),其中所有整点的坐标均在 \([1,4 \cdot 10^6]\) 之间。求 \(\sum_{(x,y) \in E} (x \oplus y)^{33}x^{-2}y^{-1} \mod 10^9+7\) 的值。

题解

这是一道比较不裸的题,出题人提供了详细的英文题解,具体请见 此链接