快速傅里叶变换

前置知识：复数。

本文将介绍一种算法，它支持在 \(O(n\log n)\) 的时间内计算两个 \(n\) 度的多项式的乘法，比朴素的 \(O(n^2)\) 算法更高效。由于两个整数的乘法也可以被当作多项式乘法，因此这个算法也可以用来加速大整数的乘法计算。

引入

我们现在引入两个多项式 \(A\) 和 \(B\)：

\[ \begin{aligned} A ={}& 5x^2 + 3x + 7 \\ B ={}& 7x^2 + 2x + 1 \\ \end{aligned} \]

两个多项式相乘的积 \(C = A \times B\)，我们可以在 \(O(n^2)\) 的时间复杂度中解得（这里 \(n\) 为 \(A\) 或者 \(B\) 多项式的度）：

\[ \begin{aligned} C ={}& A \times B \\ ={}& 35x^4 + 31x^3 + 60x^2 + 17x + 7 \end{aligned} \]

很明显，多项式 \(C\) 的系数 \(c_i\) 满足 \(c_i = \sum_{j = 0}^i a_j b_{i - j}\)。而对于这种朴素算法而言，计算每一项的时间复杂度都为 \(O(n)\)，一共有 \(O(n)\) 项，那么时间复杂度为 \(O(n^2)\)。

能否加速使得它的时间复杂度降低呢？如果使用快速傅里叶变换的话，那么我们可以使得其复杂度降低到 \(O(n \log n)\)。

傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier Transform）是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

设 \(f(t)\) 是关于时间 \(t\) 的函数，则傅里叶变换可以检测频率 \(\omega\) 的周期在 \(f(t)\) 出现的程度：

\[ F(\omega)=\mathbb{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i{\omega}t}dt \]

它的逆变换是

\[ f(t)=\mathbb{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{i{\omega}t}d\omega \]

逆变换的形式与正变换非常类似，分母 \(2\pi\) 恰好是指数函数的周期。

傅里叶变换相当于将时域的函数与周期为 \(2\pi\) 的复指数函数进行连续的内积。逆变换仍旧为一个内积。

傅里叶变换有相应的卷积定理，可以将时域的卷积转化为频域的乘积，也可以将频域的卷积转化为时域的乘积。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其 DTFT 的频域采样。

傅里叶变换是积分形式的连续的函数内积，离散傅里叶变换是求和形式的内积。

设 \(\{x_n\}_{n=0}^{N-1}\) 是某一满足有限性条件的序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为：

\[ X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\mathrm{e}^{-i\frac{2\pi}{N}kn} \]

其中 \(\mathrm{e}\) 是自然对数的底数，\(i\) 是虚数单位。通常以符号 \(\mathcal {F}\) 表示这一变换，即

\[ \hat{x}=\mathcal{F}x \]

类似于积分形式，它的 逆离散傅里叶变换（IDFT）为：

\[ x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{N}kn} \]

可以记为：

\[ x=\mathcal{F}^{-1}\hat{x} \]

实际上，DFT 和 IDFT 变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT 和 IDFT 前的系数分别为 \(1\) 和 \(\frac {1}{N}\)。有时我们会将这两个系数都改 \(\frac{1}{{\sqrt{N}}}\)。

离散傅里叶变换仍旧是时域到频域的变换。由于求和形式的特殊性，可以有其他的解释方法。

如果把序列 \(x_n\) 看作多项式 \(f(x)\) 的 \(x^n\) 项系数，则计算得到的 \(X_k\) 恰好是多项式 \(f(x)\) 代入单位根 \(\mathrm{e}^{\frac{-2\pi ik}{N}}\) 的点值 \(f(\mathrm{e}^{\frac{-2\pi ik}{N}})\)。

这便构成了卷积定理的另一种解释办法，即对多项式进行特殊的插值操作。离散傅里叶变换恰好是多项式在单位根处进行插值。

例如计算：

\[ C_n^{3}+C_n^{7}+C_n^{11}+C_n^{15}+\ldots \]

定义函数 \(f(x)\) 为：

\[ f(x)={(1+x)}^n=C_n^{0}x^0+C_n^{1}x^1+C_n^{2}x^2+C_n^{3}x^3+\ldots \]

然后可以发现，代入四次单位根 \(f(i)\) 得到这样的序列：

\[ f(i)={(1+i)}^n=C_n^{0}+C_n^{1}i-C_n^{2}-C_n^{3}i+\ldots \]

于是下面的求和恰好可以把其余各项消掉：

\[ f(1)+if(i)-f(-1)-if(-i)=4C_n^{3}+4C_n^{7}+4C_n^{11}+4C_n^{15}+\ldots \]

因此这道数学题的答案为：

\[ C_n^{3}+C_n^{7}+C_n^{11}+C_n^{15}+\ldots=\frac{2^n+i(1+i)^n-i(1-i)^n}{4} \]

这道数学题在单位根处插值，恰好构成离散傅里叶变换。

矩阵公式

由于离散傅立叶变换是一个线性算子，所以它可以用矩阵乘法来描述。在矩阵表示法中，离散傅立叶变换表示如下：

\[ \begin{bmatrix} X_{0} \\ X_{1} \\ X_{2} \\ \vdots \\ X_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^{2} & \cdots & \alpha^{n-1} \\ 1 & \alpha^{2} & \alpha^{4} & \cdots & \alpha^{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha^{n-1} & \alpha^{2(n-1)} & \cdots & \alpha^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n-1} \end{bmatrix} \]

其中 \(\alpha = \mathrm{e}^{-i\frac{2\pi}{N}n}\)。

快速傅里叶变换

FFT 是一种高效实现 DFT 的算法，称为快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。它对傅里叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。快速数论变换（NTT）是快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现。

在 1965 年，Cooley 和 Tukey 发表了快速傅里叶变换算法。事实上 FFT 早在这之前就被发现过了，但是在当时现代计算机并未问世，人们没有意识到 FFT 的重要性。一些调查者认为 FFT 是由 Runge 和 König 在 1924 年发现的。但事实上高斯早在 1805 年就发明了这个算法，但一直没有发表。

分治法实现

FFT 算法的基本思想是分治。就 DFT 来说，它分治地来求当 \(x=\omega_n^k\) 的时候 \(f(x)\) 的值。基 - 2 FFT 的分治思想体现在将多项式分为奇次项和偶次项处理。

举个例子，对于一共 \(8\) 项的多项式：

\[ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6+a_7x^7 \]

按照次数的奇偶来分成两组，然后右边提出来一个 \(x\)：

\[ \begin{aligned} f(x) &= (a_0+a_2x^2+a_4x^4+a_6x^6) + (a_1x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7)\\ &= (a_0+a_2x^2+a_4x^4+a_6x^6) + x(a_1+a_3x^2+a_5x^4+a_7x^6) \end{aligned} \]

分别用奇偶次次项数建立新的函数：

\[ \begin{aligned} G(x) &= a_0+a_2x+a_4x^2+a_6x^3\\ H(x) &= a_1+a_3x+a_5x^2+a_7x^3 \end{aligned} \]

那么原来的 \(f(x)\) 用新函数表示为：

\[ f(x)=G\left(x^2\right) + x \times H\left(x^2\right) \]

利用偶数次单位根的性质 \(\omega^i_n = -\omega^{i + n/2}_n\)，和 \(G\left(x^2\right)\) 和 \(H\left(x^2\right)\) 是偶函数，我们知道在复平面上 \(\omega^i_n\) 和 \(\omega^{i+n/2}_n\) 的 \(G(x^2)\) 的 \(H(x^2)\) 对应的值相同。得到：

\[ \begin{aligned} f(\omega_n^k) &= G((\omega_n^k)^2) + \omega_n^k \times H((\omega_n^k)^2) \\ &= G(\omega_n^{2k}) + \omega_n^k \times H(\omega_n^{2k}) \\ &= G(\omega_{n/2}^k) + \omega_n^k \times H(\omega_{n/2}^k) \end{aligned} \]

和：

\[ \begin{aligned} f(\omega_n^{k+n/2}) &= G(\omega_n^{2k+n}) + \omega_n^{k+n/2} \times H(\omega_n^{2k+n}) \\ &= G(\omega_n^{2k}) - \omega_n^k \times H(\omega_n^{2k}) \\ &= G(\omega_{n/2}^k) - \omega_n^k \times H(\omega_{n/2}^k) \end{aligned} \]

因此我们求出了 \(G(\omega_{n/2}^k)\) 和 \(H(\omega_{n/2}^k)\) 后，就可以同时求出 \(f(\omega_n^k)\) 和 \(f(\omega_n^{k+n/2})\)。于是对 \(G\) 和 \(H\) 分别递归 DFT 即可。

考虑到分治 DFT 能处理的多项式长度只能是 \(2^m(m \in \mathbf{N}^ \ast )\)，否则在分治的时候左右不一样长，右边就取不到系数了。所以要在第一次 DFT 之前就把序列向上补成长度为 \(2^m(m \in \mathbf{N}^\ast )\)（高次系数补 \(0\)）、最高项次数为 \(2^m-1\) 的多项式。

在代入值的时候，因为要代入 \(n\) 个不同值，所以我们代入 \(\omega_n^0,\omega_n^1,\omega_n^2,\cdots, \omega_n^{n-1} (n=2^m(m \in \mathbf{N}^ \ast ))\) 一共 \(2^m\) 个不同值。

代码实现方面，STL 提供了复数的模板，当然也可以手动实现。两者区别在于，使用 STL 的 complex 可以调用 exp 函数求出 \(\omega_n\)。但事实上使用欧拉公式得到的虚数来求 \(\omega_n\) 也是等价的。

以上就是 FFT 算法中 DFT 的介绍，它将一个多项式从系数表示法变成了点值表示法。

值的注意的是，因为是单位复根，所以说我们需要令 \(n\) 项式的高位补为零，使得 \(n = 2 ^ k, k \in \mathbf{N}^ \ast\)。

递归版 FFT

C++
#include <cmath>
#include <complex>

typedef std::complex<double> Comp;  // STL complex

const Comp I(0, 1);  // i
const int MAX_N = 1 << 20;

Comp tmp[MAX_N];

// rev=1,DFT; rev=-1,IDFT
void DFT(Comp* f, int n, int rev) {
  if (n == 1) return;
  for (int i = 0; i < n; ++i) tmp[i] = f[i];
  // 偶数放左边，奇数放右边
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (i & 1)
      f[n / 2 + i / 2] = tmp[i];
    else
      f[i / 2] = tmp[i];
  }
  Comp *g = f, *h = f + n / 2;
  // 递归 DFT
  DFT(g, n / 2, rev), DFT(h, n / 2, rev);
  // cur 是当前单位复根，对于 k = 0 而言，它对应的单位复根 omega^0_n = 1。
  // step 是两个单位复根的差，即满足 omega^k_n = step*omega^{k-1}*n，
  // 定义等价于 exp(I*(2*M_PI/n*rev))
  Comp cur(1, 0), step(cos(2 * M_PI / n), sin(2 * M_PI * rev / n));
  for (int k = 0; k < n / 2;
       ++k) {  // F(omega^k_n) = G(omega^k*{n/2}) + omega^k*n\*H(omega^k*{n/2})
    tmp[k] = g[k] + cur * h[k];
    // F(omega^{k+n/2}*n) = G(omega^k*{n/2}) - omega^k_n*H(omega^k\_{n/2})
    tmp[k + n / 2] = g[k] - cur * h[k];
    cur *= step;
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) f[i] = tmp[i];
}

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

倍增法实现

这个算法还可以从「分治」的角度继续优化。对于基 - 2 FFT，我们每一次都会把整个多项式的奇数次项和偶数次项系数分开，一直分到只剩下一个系数。但是，这个递归的过程需要更多的内存。因此，我们可以先「模仿递归」把这些系数在原数组中「拆分」，然后再「倍增」地去合并这些算出来的值。

对于「拆分」，可以使用位逆序置换实现。

对于「合并」，使用蝶形运算优化可以做到只用 \(O(1)\) 的额外空间来完成。

位逆序置换

以 \(8\) 项多项式为例，模拟拆分的过程：

初始序列为 \(\{x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\}\)
一次二分之后 \(\{x_0, x_2, x_4, x_6\},\{x_1, x_3, x_5, x_7 \}\)
两次二分之后 \(\{x_0,x_4\} \{x_2, x_6\},\{x_1, x_5\},\{x_3, x_7 \}\)
三次二分之后 \(\{x_0\}\{x_4\}\{x_2\}\{x_6\}\{x_1\}\{x_5\}\{x_3\}\{x_7 \}\)

规律：其实就是原来的那个序列，每个数用二进制表示，然后把二进制翻转对称一下，就是最终那个位置的下标。比如 \(x_1\) 是 001，翻转是 100，也就是 4，而且最后那个位置确实是 4。我们称这个变换为位逆序置换（bit-reversal permutation），证明留给读者自证。

根据它的定义，我们可以在 \(O(n\log n)\) 的时间内求出每个数变换后的结果：

位逆序置换实现（\(O(n\log n)\)）

C++
/*
 * 进行 FFT 和 IFFT 前的反置变换
 * 位置 i 和 i 的二进制反转后的位置互换
 * len 必须为 2 的幂
 */
void change(Complex y[], int len) {
  // 一开始 i 是 0...01，而 j 是 10...0，在二进制下相反对称。
  // 之后 i 逐渐加一，而 j 依然维持着和 i 相反对称，一直到 i = 1...11。
  for (int i = 1, j = len / 2, k; i < len - 1; i++) {
    // 交换互为小标反转的元素，i < j 保证交换一次
    if (i < j) swap(y[i], y[j]);
    // i 做正常的 + 1，j 做反转类型的 + 1，始终保持 i 和 j 是反转的。
    // 这里 k 代表了 0 出现的最高位。j 先减去高位的全为 1 的数字，知道遇到了
    // 0，之后再加上即可。
    k = len / 2;
    while (j >= k) {
      j = j - k;
      k = k / 2;
    }
    if (j < k) j += k;
  }
}

实际上，位逆序置换可以 \(O(n)\) 从小到大递推实现，设 \(len=2^k\)，其中 \(k\) 表示二进制数的长度，设 \(R(x)\) 表示长度为 \(k\) 的二进制数 \(x\) 翻转后的数（高位补 \(0\)）。我们要求的是 \(R(0),R(1),\cdots,R(n-1)\)。

首先 \(R(0)=0\)。

我们从小到大求 \(R(x)\)。因此在求 \(R(x)\) 时，\(R\left(\left\lfloor \dfrac{x}{2} \right\rfloor\right)\) 的值是已知的。因此我们把 \(x\) 右移一位（除以 \(2\)），然后翻转，再右移一位，就得到了 \(x\) 除了（二进制）个位 之外其它位的翻转结果。

考虑个位的翻转结果：如果个位是 \(0\)，翻转之后最高位就是 \(0\)。如果个位是 \(1\)，则翻转后最高位是 \(1\)，因此还要加上 \(\dfrac{len}{2}=2^{k-1}\)。综上

\[ R(x)=\left\lfloor \frac{R\left(\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor\right)}{2} \right\rfloor + (x\bmod 2)\times \frac{len}{2} \]

举个例子：设 \(k=5\)，\(len=(100000)_2\)。为了翻转 \((11001)_2\)：

考虑 \((1100)_2\)，我们知道 \(R((1100)_2)=R((01100)_2)=(00110)_2\)，再右移一位就得到了 \((00011)_2\)。
考虑个位，如果是 \(1\)，它就要翻转到数的最高位，即翻转数加上 \((10000)_2=2^{k-1}\)，如果是 \(0\) 则不用更改。

位逆序置换实现（\(O(n)\)）

C++
// 同样需要保证 len 是 2 的幂
// 记 rev[i] 为 i 翻转后的值
void change(Complex y[], int len) {
  for (int i = 0; i < len; ++i) {
    rev[i] = rev[i >> 1] >> 1;
    if (i & 1) {  // 如果最后一位是 1，则翻转成 len/2
      rev[i] |= len >> 1;
    }
  }
  for (int i = 0; i < len; ++i) {
    if (i < rev[i]) {  // 保证每对数只翻转一次
      swap(y[i], y[rev[i]]);
    }
  }
  return;
}

蝶形运算优化

已知 \(G(\omega_{n/2}^k)\) 和 \(H(\omega_{n/2}^k)\) 后，需要使用下面两个式子求出 \(f(\omega_n^k)\) 和 \(f(\omega_n^{k+n/2})\)：

\[ \begin{aligned} f(\omega_n^k) & = G(\omega_{n/2}^k) + \omega_n^k \times H(\omega_{n/2}^k) \\ f(\omega_n^{k+n/2}) & = G(\omega_{n/2}^k) - \omega_n^k \times H(\omega_{n/2}^k) \end{aligned} \]

使用位逆序置换后，对于给定的 \(n, k\)：

\(G(\omega_{n/2}^k)\) 的值存储在数组下标为 \(k\) 的位置，\(H(\omega_{n/2}^k)\) 的值存储在数组下标为 \(k + \dfrac{n}{2}\) 的位置。
\(f(\omega_n^k)\) 的值将存储在数组下标为 \(k\) 的位置，\(f(\omega_n^{k+n/2})\) 的值将存储在数组下标为 \(k + \dfrac{n}{2}\) 的位置。

因此可以直接在数组下标为 \(k\) 和 \(k + \frac{n}{2}\) 的位置进行覆写，而不用开额外的数组保存值。此方法即称为 蝶形运算，或更准确的，基 - 2 蝶形运算。

再详细说明一下如何借助蝶形运算完成所有段长度为 \(\frac{n}{2}\) 的合并操作：

令段长度为 \(s = \frac{n}{2}\)；
同时枚举序列 \(\{G(\omega_{n/2}^k)\}\) 的左端点 \(l_g = 0, 2s, 4s, \cdots, N-2s\) 和序列 \(\{H(\omega_{n/2}^k)\}\) 的左端点 \(l_h = s, 3s, 5s, \cdots, N-s\)；
合并两个段时，枚举 \(k = 0, 1, 2, \cdots, s-1\)，此时 \(G(\omega_{n/2}^k)\) 存储在数组下标为 \(l_g + k\) 的位置，\(H(\omega_{n/2}^k)\) 存储在数组下标为 \(l_h + k\) 的位置；
使用蝶形运算求出 \(f(\omega_n^k)\) 和 \(f(\omega_n^{k+n/2})\)，然后直接在原位置覆写。

快速傅里叶逆变换

傅里叶逆变换可以用傅里叶变换表示。对此我们有两种理解方式。

线性代数角度

IDFT（傅里叶反变换）的作用，是把目标多项式的点值形式转换成系数形式。而 DFT 本身是个线性变换，可以理解为将目标多项式当作向量，左乘一个矩阵得到变换后的向量，以模拟把单位复根代入多项式的过程：

\[ \begin{bmatrix}y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \omega_n^3 & \cdots & \omega_n^{n-1} \\ 1 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \omega_n^6 & \cdots & \omega_n^{2(n-1)} \\ 1 & \omega_n^3 & \omega_n^6 & \omega_n^9 & \cdots & \omega_n^{3(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} & \omega_n^{3(n-1)} & \cdots & \omega_n^{(n-1)^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix} \]

现在我们已经得到最左边的结果了，中间的 \(x\) 值在目标多项式的点值表示中也是一一对应的，所以，根据矩阵的基础知识，我们只要在式子两边左乘中间那个大矩阵的逆矩阵就行了。

由于这个矩阵的元素非常特殊，它的逆矩阵也有特殊的性质，就是每一项 取倒数，再 除以变换的长度 \(n\)，就能得到它的逆矩阵。

注意：傅里叶变换的长度，并不是多项式的长度，变换的长度应比乘积多项式的长度长。待相乘的多项式不够长，需要在高次项处补 \(0\)。

为了使计算的结果为原来的倒数，根据欧拉公式，可以得到

\[ \frac{1}{\omega_k}=\omega_k^{-1}=\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i}{k}}=\cos\left(\frac{2\pi}{k}\right)+i\cdot \sin\left(-\frac{2\pi}{k}\right) \]

因此我们可以尝试着把单位根 \(\omega_k\) 取成 \(\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i}{k}}\)，这样我们的计算结果就会变成原来的倒数，之后唯一多的操作就只有再 除以它的长度 \(n\)，而其它的操作过程与 DFT 是完全相同的。我们可以定义一个函数，在里面加一个参数 \(1\) 或者是 \(-1\)，然后把它乘到 \(\pi\) 上。传入 \(1\) 就是 DFT，传入 \(-1\) 就是 IDFT。

单位复根周期性

利用单位复根的周期性同样可以理解 IDFT 与 DFT 之间的关系。

考虑原本的多项式是 \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\)。而 IDFT 就是把你的点值表示还原为系数表示。

考虑 构造法。我们已知 \(y_i=f\left( \omega_n^i \right),i\in\{0,1,\cdots,n-1\}\)，求 \(\{a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\}\)。构造多项式如下

\[ A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}y_ix^i \]

相当于把 \(\{y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{n-1}\}\) 当做多项式 \(A\) 的系数表示法。

这时我们有两种推导方式，这对应了两种实现方法。

方法一

设 \(b_i=\omega_n^{-i}\)，则多项式 \(A\) 在 \(x=b_0,b_1,\cdots,b_{n-1}\) 处的点值表示法为 \(\left\{ A(b_0),A(b_1),\cdots,A(b_{n-1}) \right\}\)。

对 \(A(x)\) 的定义式做一下变换，可以将 \(A(b_k)\) 表示为

\[ \begin{aligned} A(b_k)&=\sum_{i=0}^{n-1}f(\omega_n^i)\omega_n^{-ik}=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{-ik}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^i)^{j}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j\omega_n^{i(j-k)}=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\sum_{i=0}^{n-1}\left(\omega_n^{j-k}\right)^i\\ \end{aligned} \]

记 \(S\left(\omega_n^a\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\omega_n^a\right)^i\)。

当 \(a=0 \pmod{n}\) 时，\(S\left(\omega_n^a\right)=n\)。

当 \(a\neq 0 \pmod{n}\) 时，我们错位相减

\[ \begin{aligned} S\left(\omega_n^a\right)&=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\omega_n^a\right)^i\\ \omega_n^a S\left(\omega_n^a\right)&=\sum_{i=1}^{n}\left(\omega_n^a\right)^i\\ S\left(\omega_n^a\right)&=\frac{\left(\omega_n^a\right)^n-\left(\omega_n^a\right)^0}{\omega_n^a-1}=0\\ \end{aligned} \]

也就是说

\[ S\left(\omega_n^a\right)= \begin{cases} n,&a=0\\ 0,&a\neq 0 \end{cases} \]

那么代回原式

\[ A(b_k)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jS\left(\omega_n^{j-k}\right)=a_k\cdot n \]

也就是说给定点 \(b_i=\omega_n^{-i}\)，则 \(A\) 的点值表示法为

\[ \begin{aligned} &\left\{ (b_0,A(b_0)),(b_1,A(b_1)),\cdots,(b_{n-1},A(b_{n-1})) \right\}\\ =&\left\{ (b_0,a_0\cdot n),(b_1,a_1\cdot n),\cdots,(b_{n-1},a_{n-1}\cdot n) \right\} \end{aligned} \]

综上所述，我们取单位根为其倒数，对 \(\{y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{n-1}\}\) 跑一遍 FFT，然后除以 \(n\) 即可得到 \(f(x)\) 的系数表示。

方法二

我们直接将 \(\omega_n^i\) 代入 \(A(x)\)。

推导的过程与方法一大同小异，最终我们得到 \(A(\omega_n^k) = \sum_{j=0}^{n-1}a_jS\left(\omega_n^{j+k}\right)\)。

当且仅当 \(j+k=0 \pmod{n}\) 时有 \(S\left(\omega_n^{j+k}\right) = n\)，否则为 \(0\)。因此 \(A(\omega_n^k) = a_{n-k}\cdot n\)。

这意味着我们将 \(\{y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{n-1}\}\) 做 DFT 变换后除以 \(n\)，再反转后 \(n - 1\) 个元素，同样可以还原 \(f(x)\) 的系数表示。

代码实现

所以我们 FFT 函数可以集 DFT 和 IDFT 于一身。代码实现如下：

非递归版 FFT（对应方法一）

C++
/*
 * 做 FFT
 * len 必须是 2^k 形式
 * on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
 */
void fft(Complex y[], int len, int on) {
  // 位逆序置换
  change(y, len);
  // 模拟合并过程，一开始，从长度为一合并到长度为二，一直合并到长度为 len。
  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
    // wn：当前单位复根的间隔：w^1_h
    Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(on * 2 * PI / h));
    // 合并，共 len / h 次。
    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      // 计算当前单位复根，一开始是 1 = w^0_n，之后是以 wn 为间隔递增： w^1_n
      // ...
      Complex w(1, 0);
      for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
        // 左侧部分和右侧是子问题的解
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        // 这就是把两部分分治的结果加起来
        y[k] = u + t;
        y[k + h / 2] = u - t;
        // 后半个 「step」 中的ω一定和 「前半个」 中的成相反数
        // 「红圈」上的点转一整圈「转回来」，转半圈正好转成相反数
        // 一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等
        w = w * wn;
      }
    }
  }
  // 如果是 IDFT，它的逆矩阵的每一个元素不只是原元素取倒数，还要除以长度 len。
  if (on == -1) {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      y[i].x /= len;
    }
  }
}

非递归版 FFT（对应方法二）

C++
/*
 * 做 FFT
 * len 必须是 2^k 形式
 * on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
 */
void fft(Complex y[], int len, int on) {
  change(y, len);
  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {             // 模拟合并过程
    Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(2 * PI / h));  // 计算当前单位复根
    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      Complex w(1, 0);  // 计算当前单位复根
      for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        y[k] = u + t;  // 这就是把两部分分治的结果加起来
        y[k + h / 2] = u - t;
        // 后半个 「step」 中的ω一定和 「前半个」 中的成相反数
        // 「红圈」上的点转一整圈「转回来」，转半圈正好转成相反数
        // 一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等
        w = w * wn;
      }
    }
  }
  if (on == -1) {
    reverse(y + 1, y + len);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      y[i].x /= len;
    }
  }
}

FFT 模板（HDU 1402 - A * B Problem Plus）

C++
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

const double PI = acos(-1.0);

struct Complex {
  double x, y;

  Complex(double _x = 0.0, double _y = 0.0) {
    x = _x;
    y = _y;
  }

  Complex operator-(const Complex &b) const {
    return Complex(x - b.x, y - b.y);
  }

  Complex operator+(const Complex &b) const {
    return Complex(x + b.x, y + b.y);
  }

  Complex operator*(const Complex &b) const {
    return Complex(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x);
  }
};

/*
 * 进行 FFT 和 IFFT 前的反置变换
 * 位置 i 和 i 的二进制反转后的位置互换
 *len 必须为 2 的幂
 */
void change(Complex y[], int len) {
  int i, j, k;

  for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {
    if (i < j) std::swap(y[i], y[j]);

    // 交换互为小标反转的元素，i<j 保证交换一次
    // i 做正常的 + 1，j 做反转类型的 + 1，始终保持 i 和 j 是反转的
    k = len / 2;

    while (j >= k) {
      j = j - k;
      k = k / 2;
    }

    if (j < k) j += k;
  }
}

/*
 * 做 FFT
 *len 必须是 2^k 形式
 *on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
 */
void fft(Complex y[], int len, int on) {
  change(y, len);

  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
    Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(on * 2 * PI / h));

    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      Complex w(1, 0);

      for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        y[k] = u + t;
        y[k + h / 2] = u - t;
        w = w * wn;
      }
    }
  }

  if (on == -1) {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      y[i].x /= len;
    }
  }
}

const int MAXN = 200020;
Complex x1[MAXN], x2[MAXN];
char str1[MAXN / 2], str2[MAXN / 2];
int sum[MAXN];

int main() {
  while (scanf("%s%s", str1, str2) == 2) {
    int len1 = strlen(str1);
    int len2 = strlen(str2);
    int len = 1;

    while (len < len1 * 2 || len < len2 * 2) len <<= 1;

    for (int i = 0; i < len1; i++) x1[i] = Complex(str1[len1 - 1 - i] - '0', 0);

    for (int i = len1; i < len; i++) x1[i] = Complex(0, 0);

    for (int i = 0; i < len2; i++) x2[i] = Complex(str2[len2 - 1 - i] - '0', 0);

    for (int i = len2; i < len; i++) x2[i] = Complex(0, 0);

    fft(x1, len, 1);
    fft(x2, len, 1);

    for (int i = 0; i < len; i++) x1[i] = x1[i] * x2[i];

    fft(x1, len, -1);

    for (int i = 0; i < len; i++) sum[i] = int(x1[i].x + 0.5);

    for (int i = 0; i < len; i++) {
      sum[i + 1] += sum[i] / 10;
      sum[i] %= 10;
    }

    len = len1 + len2 - 1;

    while (sum[len] == 0 && len > 0) len--;

    for (int i = len; i >= 0; i--) printf("%c", sum[i] + '0');

    printf("\n");
  }

  return 0;
}

参考文献

桃酱的算法笔记.

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