狄利克雷生成函数

记 \(\mathcal{P}\) 表示素数集合。

狄利克雷生成函数

对于无穷序列 \(f_1, f_2, \ldots\)，定义其狄利克雷生成函数（Dirichlet series generating function，DGF）¹为：

\[ \tilde{F}(x) = \sum_{i\ge 1}\frac{f_i}{i^x} \]

如果序列 \(f\) 满足积性（是积性函数）：\(\forall i\perp j, \; f_{ij} = f_i f_j\)，那么其 DGF 可以由质数幂处的取值表示：

\[ \tilde{F}(x) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \left(1 + \frac{f_p}{p^x} + \frac{f_{p^2}}{p^{2x}} + \frac{f_{p^3}}{p^{3x}} + \cdots \right) \]

对于两个序列 \(f, g\)，其 DGF 之积对应的是两者的狄利克雷卷积序列的 DGF：

\[ \tilde{F}(x)\tilde{G}(x) = \sum_{i} \sum_{j}\frac{f_i g_j}{(ij)^x} = \sum_{i} \frac{1}{i^x}\sum_{d | i} f_d g_{\frac{i}{d}} \]

常见积性函数的 DGF

DGF 最适合用于研究与积性函数的狄利克雷卷积相关的问题。因此首先我们要了解常见积性函数的 DGF。

黎曼函数

序列 \([1, 1, 1, \ldots]\) 的 DGF 是 \(\sum_{i\ge 1}\frac{1}{i^x} = \zeta(x)\)。\(\zeta\) 是黎曼函数。

由于其满足积性，因此我们可以得到 \([1, 1, 1, \ldots]\) 的 DGF 的另一种形式：

\[ \zeta(x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{1}{p^x} + \frac{1}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{-x}} \]

莫比乌斯函数

对于莫比乌斯函数 \(\mu\)，它的 DGF 定义为

\[ \tilde{M} (x) = \prod_{p\in \mathcal{P}}\left(1 - \frac{1}{p^x}\right) = \prod_{p\in \mathcal{P}}(1-p^{-x}) \]

容易发现 \(\zeta(x) \tilde{M}(x) = 1\)，也就是说 \(\tilde{M}(x) = \frac{1}{\zeta(x)}\)。

欧拉函数

对于欧拉函数 \(\varphi\)，它的 DGF 定义为

\[ \tilde{\Phi}(x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{p-1}{p^x} + \frac{p(p-1)}{p^{2x}} + \frac{p^2(p-1)}{p^{3x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}}\frac{1-p^{-x}}{1-p^{1-x}} \]

因此有 \(\tilde{\Phi}(x) = \frac{\zeta(x-1)}{\zeta(x)}\)。

幂函数

对于函数 \(I_k (n) = n^k\)，它的 DGF 定义为

\[ \tilde{I_k} (x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{p^k}{p^x} + \frac{p^{2k}}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{k-x}} = \zeta(x-k) \]

根据这些定义，容易推导出 \(\varphi \ast 1 = I\)，\(\ast\) 表示狄利克雷卷积。因为 \(\tilde{\Phi}(x)\zeta(x) = \zeta(x-1)\)。

其他函数

对于约数幂函数 \(\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k\)，它的 DGF 可以表示为狄利克雷卷积的形式：\(\tilde S(x) = \zeta(x-k)\zeta(x)\)。

对于 \(u(n) = |\mu(n)|\)（无平方因子数），它的 DGF 为 \(\tilde{U}(x) = \prod_{p\in \mathcal{P}} (1+p^{-x}) = \frac{\zeta(x)}{\zeta(2x)}\)。

Dirichlet 卷积

定义

对于两个数论函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，则它们的狄利克雷卷积得到的结果 \(h(x)\) 定义为：

\[ h(x)=\sum_{d\mid x}{f(d)g\left(\dfrac xd \right)}=\sum_{ab=x}{f(a)g(b)} \]

上式可以简记为：

\[ h=f*g \]

狄利克雷卷积是数论函数的重要运算，数论函数的许多性质都是通过这个运算挖掘出来的。

狄利克雷卷积与狄利克雷生成函数（DGF）密切相关。对于两个序列 \(f, g\)，其狄利克雷生成函数之积，对应的是两者的狄利克雷卷积序列的狄利克雷生成函数：

\[ \tilde{F}(x)\tilde{G}(x) = \sum_{i} \sum_{j}\frac{f_i g_j}{(ij)^x} = \sum_{i} \frac{1}{i^x}\sum_{d | i} f_d g_{\frac{i}{d}} \]

性质

交换律： \(f*g=g*f\)。

结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\)。

分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)。

等式的性质： \(f=g\) 的充要条件是 \(f*h=g*h\)，其中数论函数 \(h(x)\) 要满足 \(h(1)\ne 0\)。

证明： 充分性是显然的。

证明必要性，我们先假设存在 \(x\)，使得 \(f(x)\ne g(y)\)。那么我们找到最小的 \(y\in \mathbb{N}\)，满足 \(f(y)\ne g(y)\)，并设 \(r=f*h-g*h=(f-g)*h\)。

则有：

\[ \begin{aligned} r(y)&=\sum_{d\mid y}{(f(d)-g(d))h\left(\dfrac yd \right)}\\ &=(f(y)-g(y))h(1)\\ &\ne 0 \end{aligned} \]

则 \(f*h\) 和 \(g*h\) 在 \(y\) 处的取值不一样，即有 \(f*h\ne g*h\)。矛盾，所以必要性成立。

证毕

注

以上性质在狄利克雷生成函数的观点下是显然的，这种特殊的卷积等价于相应生成函数的乘法。

单位元： 单位函数 \(\varepsilon\) 是 Dirichlet 卷积运算中的单位元，即对于任何数论函数 \(f\)，都有 \(f*\varepsilon=f\)。

注

狄利克雷卷积运算中的单位元不是常函数，但是在狄利克雷生成函数中等价于常数 \(1\)。

狄利克雷卷积运算中的数论函数常函数 \(1\)，在狄利克雷生成函数中等价于黎曼函数 \(\zeta\)。

逆元： 对于任何一个满足 \(f(x)\ne 0\) 的数论函数，如果有另一个数论函数 \(g(x)\) 满足 \(f*g=\varepsilon\)，则称 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的逆元。由 等式的性质 可知，逆元是唯一的。

注

狄利克雷卷积运算中的逆元，在狄利克雷生成函数中相当于倒数运算。

容易构造出 \(g(x)\) 的表达式为：

\[ g(x)=\dfrac {\varepsilon(x)-\sum_{d\mid x,d\ne 1}{f(d)g\left(\dfrac {x}{d} \right)}}{f(1)} \]

重要结论

两个积性函数的 Dirichlet 卷积也是积性函数

证明： 设两个积性函数为 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，再记 \(h=f*g\)。

设 \(\gcd(a,b)=1\)，则：

\[ h(a)=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)},h(b)=\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)}, \]

所以：

\[ \begin{aligned} h(a)h(b)&=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)}\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)}\\ &=\sum_{d\mid ab}{f(d)g\left(\dfrac {ab}d \right)}\\ &=h(ab) \end{aligned} \]

所以结论成立。

证毕

积性函数的逆元也是积性函数

证明：我们设 \(f*g=\varepsilon\)，并且不妨设 \(f(1)=1\)。考虑归纳法：

若 \(nm=1\)，则 \(g(nm)=g(1)=1\)，结论显然成立；
若 \(nm>1(\gcd(n,m)=1)\)，假设现在对于所有的 \(xy<nm(\gcd(x,y)=1)\)，都有 \(g(xy)=g(x)g(y)\)，所以有：

\[ g(nm)=-\sum_{d\mid nm,d\ne 1}{f(d)g\left(\dfrac {nm}d \right)}=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(ab)g\left(\dfrac {nm}{ab} \right)} \]

又因为 \(\dfrac{nm}{ab}<nm\)，所以有：

\[ \begin{aligned} g(nm)&=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(ab)g\left(\dfrac {nm}{ab} \right)}\\\\ &=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(a)f(b)g\left(\dfrac {n}{a} \right)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\\\ &=f(1)f(1)g(n)g(m)-\sum_{a\mid n,b\mid m}{f(a)f(b)g\left(\dfrac {n}{a} \right)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\\\ &=g(n)g(m)-\sum_{a\mid n}{f(a)g\left(\dfrac {n}{a} \right)}\sum_{b\mid m}{f(b)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\\\ &=g(n)g(m)-\varepsilon(n)-\varepsilon(m)\\\\ &=g(n)g(m) \end{aligned} \]

综合以上两点，结论成立。

证毕

注

这也说明，数论函数的积性，在狄利克雷生成函数中的对应具有封闭性。

例子

\[ \begin{aligned} \varepsilon=\mu \ast 1&\iff\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\\ d=1 \ast 1&\iff d(n)=\sum_{d\mid n}1\\ \sigma=\operatorname{id} \ast 1&\iff\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d\\ \varphi=\mu \ast \operatorname{id}&\iff\varphi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d}) \end{aligned} \]

狄利克雷生成函数