筛法

素数筛法

引入

如果我们想要知道小于等于 \(n\) 有多少个素数呢？

一个自然的想法是对于小于等于 \(n\) 的每个数进行一次质数检验。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度。

埃拉托斯特尼筛法

过程

考虑这样一件事情：对于任意一个大于 \(1\) 的正整数 \(n\)，那么它的 \(x\) 倍就是合数（\(x > 1\)）。利用这个结论，我们可以避免很多次不必要的检测。

如果我们从小到大考虑每个数，然后同时把当前这个数的所有（比自己大的）倍数记为合数，那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

实现

C++Python

C++
int Eratosthenes(int n) {
  int p = 0;
  for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1;
  is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[p++] = i;  // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量
      if ((long long)i * i <= n)
        for (int j = i * i; j <= n; j += i)
          // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了，这里直接从 i
          // 的倍数开始，提高了运行速度
          is_prime[j] = 0;  // 是i的倍数的均不是素数
    }
  }
  return p;
}

Python
def Eratosthenes(n):
    p = 0
    for i in range(0, n + 1):
        is_prime[i] = True
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime[i]:
            prime[p] = i
            p = p + 1
            if i * i <= n:
                j = i * i
                while j <= n:
                    is_prime[j] = False
                    j = j + i
    return p

以上为 Eratosthenes 筛法（埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛法），时间复杂度是 \(O(n\log\log n)\)。

证明

现在我们就来看看推导过程：

如果每一次对数组的操作花费 1 个单位时间，则时间复杂度为：

\[ O\left(\sum_{k=1}^{\pi(n)}{n\over p_k}\right)=O\left(n\sum_{k=1}^{\pi(n)}{1\over p_k}\right) \]

其中 \(p_k\) 表示第 \(k\) 小的素数，\(\pi(n)\) 表示 \(\le n\) 的素数个数。\(\sum_{k=1}^{\pi(n)}\) 表示第一层 for 循环，其中累加上界 \(\pi(n)\) 为 if (prime[i]) 进入 true 分支的次数；\(n\over p_k\) 表示第二层 for 循环的执行次数。

根据 Mertens 第二定理，存在常数 \(B_1\) 使得：

\[ \sum_{k=1}^{\pi(n)}{1\over p_k}=\log\log n+B_1+O\left(1\over\log n\right) \]

所以 Eratosthenes 筛法 的时间复杂度为 \(O(n\log\log n)\)。接下来我们证明 Mertens 第二定理的弱化版本 \(\sum_{k\le\pi(n)}1/p_k=O(\log\log n)\)：

根据 \(\pi(n)=\Theta(n/\log n)\)，可知第 \(n\) 个素数的大小为 \(\Theta(n\log n)\)。于是就有

\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\pi(n)}{1\over p_k} &=O\left(\sum_{k=2}^{\pi(n)}{1\over k\log k}\right) \\ &=O\left(\int_2^{\pi(n)}{\mathrm dx\over x\log x}\right) \\ &=O(\log\log\pi(n))=O(\log\log n) \end{aligned} \]

当然，上面的做法效率仍然不够高效，应用下面几种方法可以稍微提高算法的执行效率。

筛至平方根

显然，要找到直到 \(n\) 为止的所有素数，仅对不超过 \(\sqrt n\) 的素数进行筛选就足够了。

C++Python

C++
int n;
vector<char> is_prime(n + 1, true);
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
  if (is_prime[i]) {
    for (int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
  }
}

Python
is_prime = [True] * (n + 1)
is_prime[0] = is_prime[1] = False
for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
    if is_prime[i]:
        j = i * i
        while j <= n:
            is_prime[j] = False
            j += i

这种优化不会影响渐进时间复杂度，实际上重复以上证明，我们将得到 \(n \ln \ln \sqrt n + o(n)\)，根据对数的性质，它们的渐进相同，但操作次数会明显减少。

只筛奇数

因为除 2 以外的偶数都是合数，所以我们可以直接跳过它们，只用关心奇数就好。

首先，这样做能让我们内存需求减半；其次，所需的操作大约也减半。

减少内存的占用

我们注意到筛法只需要 \(n\) 比特的内存。因此我们可以通过将变量声明为布尔类型，只申请 \(n\) 比特而不是 \(n\) 字节的内存，来显著的减少内存占用。即仅占用 \(\dfrac n 8\) 字节的内存。

但是，这种称为 位级压缩 的方法会使这些位的操作复杂化。任何位上的读写操作都需要多次算术运算，最终会使算法变慢。

因此，这种方法只有在 \(n\) 特别大，以至于我们不能再分配内存时才合理。在这种情况下，我们将牺牲效率，通过显著降低算法速度以节省内存（减小 8 倍）。

值得一提的是，存在自动执行位级压缩的数据结构，如 C++ 中的 vector<bool> 和 bitset<>。

分块筛选

由优化「筛至平方根」可知，不需要一直保留整个 is_prime[1...n] 数组。为了进行筛选，只保留到 \(\sqrt n\) 的素数就足够了，即 prime[1...sqrt(n)]。并将整个范围分成块，每个块分别进行筛选。这样，我们就不必同时在内存中保留多个块，而且 CPU 可以更好地处理缓存。

设 \(s\) 是一个常数，它决定了块的大小，那么我们就有了 \(\lceil {\frac n s} \rceil\) 个块，而块 \(k\)(\(k = 0 \dots \lfloor {\frac n s} \rfloor\)) 包含了区间 \([ks, ks + s - 1]\) 中的数字。我们可以依次处理块，也就是说，对于每个块 \(k\)，我们将遍历所有质数（从 \(1\) 到 \(\sqrt n\)）并使用它们进行筛选。

值得注意的是，我们在处理第一个数字时需要稍微修改一下策略：首先，应保留 \([1, \sqrt n]\) 中的所有的质数；第二，数字 \(0\) 和 \(1\) 应该标记为非素数。在处理最后一个块时，不应该忘记最后一个数字 \(n\) 并不一定位于块的末尾。

以下实现使用块筛选来计算小于等于 \(n\) 的质数数量。

实现

C++
int count_primes(int n) {
  const int S = 10000;
  vector<int> primes;
  int nsqrt = sqrt(n);
  vector<char> is_prime(nsqrt + 1, true);
  for (int i = 2; i <= nsqrt; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      primes.push_back(i);
      for (int j = i * i; j <= nsqrt; j += i) is_prime[j] = false;
    }
  }
  int result = 0;
  vector<char> block(S);
  for (int k = 0; k * S <= n; k++) {
    fill(block.begin(), block.end(), true);
    int start = k * S;
    for (int p : primes) {
      int start_idx = (start + p - 1) / p;
      int j = max(start_idx, p) * p - start;
      for (; j < S; j += p) block[j] = false;
    }
    if (k == 0) block[0] = block[1] = false;
    for (int i = 0; i < S && start + i <= n; i++) {
      if (block[i]) result++;
    }
  }
  return result;
}

分块筛法的渐进时间复杂度与埃氏筛法是一样的（除非块非常小），但是所需的内存将缩小为 \(O(\sqrt{n} + S)\)，并且有更好的缓存结果。另一方面，对于每一对块和区间 \([1, \sqrt{n}]\) 中的素数都要进行除法，而对于较小的块来说，这种情况要糟糕得多。因此，在选择常数 \(S\) 时要保持平衡。

块大小 \(S\) 取 \(10^4\) 到 \(10^5\) 之间，可以获得最佳的速度。

线性筛法

埃氏筛法仍有优化空间，它会将一个合数重复多次标记。有没有什么办法省掉无意义的步骤呢？答案是肯定的。

如果能让每个合数都只被标记一次，那么时间复杂度就可以降到 \(O(n)\) 了。

实现

C++Python

C++
void init(int n) {
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!vis[i]) {
      pri[cnt++] = i;
    }
    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
      if (1ll * i * pri[j] > n) break;
      vis[i * pri[j]] = 1;
      if (i % pri[j] == 0) {
        // i % pri[j] == 0
        // 换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了
        // 由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i乘上其他的质数的结果一定会被
        // pri[j]的倍数筛掉，就不需要在这里先筛一次，所以这里直接 break
        // 掉就好了
        break;
      }
    }
  }
}

Python
def init(n):
    for i in range(2, n + 1):
        if vis[i] == False:
            pri[cnt] = i
            cnt = cnt + 1
        for j in range(0, cnt):
            if i * pri[j] > n:
                break
            vis[i * pri[j]] = 1
            if i % pri[j] == 0:
                """
                i % pri[j] == 0
                换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了
                由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定会被
                pri[j]的倍数筛掉，就不需要在这里先筛一次，所以这里直接 break
                掉就好了
                """
                break

上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法（欧拉筛法）。

Note

注意到筛法求素数的同时也得到了每个数的最小质因子。

筛法求欧拉函数

注意到在线性筛中，每一个合数都是被最小的质因子筛掉。比如设 \(p_1\) 是 \(n\) 的最小质因子，\(n' = \frac{n}{p_1}\)，那么线性筛的过程中 \(n\) 通过 \(n' \times p_1\) 筛掉。

观察线性筛的过程，我们还需要处理两个部分，下面对 \(n' \bmod p_1\) 分情况讨论。

如果 \(n' \bmod p_1 = 0\)，那么 \(n'\) 包含了 \(n\) 的所有质因子。

\[ \begin{aligned} \varphi(n) & = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p_1 \times n' \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p_1 \times \varphi(n') \end{aligned} \]

那如果 \(n' \bmod p_1 \neq 0\) 呢，这时 \(n'\) 和 \(p_1\) 是互质的，根据欧拉函数性质，我们有：

\[ \begin{aligned} \varphi(n) & = \varphi(p_1) \times \varphi(n') \\\\ & = (p_1 - 1) \times \varphi(n') \end{aligned} \]

实现

C++Python

C++
void pre() {
  for (int i = 1; i <= 5000000; i++) {
    is_prime[i] = 1;
  }
  int cnt = 0;
  is_prime[1] = 0;
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 5000000; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[++cnt] = i;
      phi[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 5000000; j++) {
      is_prime[i * prime[j]] = 0;
      if (i % prime[j])
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
      else {
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
        break;
      }
    }
  }
}

Python
def pre():
    cnt = 0
    is_prime[1] = False
    phi[1] = 1
    for i in range(2, 5000001):
        if is_prime[i]:
            cnt = cnt + 1
            prime[cnt] = i
            phi[i] = i - 1
        j = 1
        while j <= cnt and i * prime[j] <= 5000000:
            is_prime[i * prime[j]] = 0
            if i % prime[j]:
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]]
            else:
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]
                break
            j = j + 1

筛法求莫比乌斯函数

定义

根据莫比乌斯函数的定义，设 \(n\) 是一个合数，\(p_1\) 是 \(n\) 的最小质因子，\(n'=\frac{n}{p_1}\)，有：

\[ \mu(n)= \begin{cases} 0 & n' \bmod p_1 = 0\\\\ -\mu(n') & \text{otherwise} \end{cases} \]

若 \(n\) 是质数，有 \(\mu(n)=-1\)。

实现

C++Python

C++
void pre() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 1e7; ++i) {
    if (!v[i]) mu[i] = -1, p[++tot] = i;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= 1e7 / p[j]; ++j) {
      v[i * p[j]] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      } else {
        mu[i * p[j]] = -mu[i];
      }
    }
  }
}

Python
def pre():
    mu[1] = 1
    for i in range(2, int(1e7 + 1)):
        if v[i] == 0:
            mu[i] = -1
            tot = tot + 1
            p[tot] = i
        j = 1
        while j <= tot and i <= 1e7 // p[j]:
            v[i * p[j]] = 1
            if i % p[j] == 0:
                mu[i * p[j]] = 0
                break
            else:
                mu[i * p[j]] = -mu[i]
            j = j + 1

筛法求约数个数

用 \(d_i\) 表示 \(i\) 的约数个数，\(num_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子出现次数。

约数个数定理

定理：若 \(n=\prod_{i=1}^m p_i^{c_i}\) 则 \(d_i=\prod_{i=1}^m (c_i+1)\)。

证明：我们知道 \(p_i^{c_i}\) 的约数有 \(p_i^0,p_i^1,\dots ,p_i^{c_i}\) 共 \(c_i+1\) 个，根据乘法原理，\(n\) 的约数个数就是 \(\prod_{i=1}^m (c_i+1)\)。

实现

因为 \(d_i\) 是积性函数，所以可以使用线性筛。

C++Python

C++
void pre() {
  d[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        num[i * p[j]] = num[i] + 1;
        d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1);
        break;
      } else {
        num[i * p[j]] = 1;
        d[i * p[j]] = d[i] * 2;
      }
    }
  }
}

Python
def pre():
    d[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        if v[i] == 0:
            v[i] = 1; tot = tot + 1; p[tot] = i; d[i] = 2; num[i] = 1
        j = 1
        while j <= tot and i <= n // p[j]:
            v[p[j] * i] = 1
            if i % p[j] == 0:
                num[i * p[j]] = num[i] + 1
                d[i * p[j]] = d[i] // num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1)
                break
            else:
                num[i * p[j]] = 1
                d[i * p[j]] = d[i] * 2
            j = j + 1

筛法求约数和

\(f_i\) 表示 \(i\) 的约数和，\(g_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子的 \(p^0+p^1+p^2+\dots p^k\).

实现

C++Python

C++
void pre() {
  g[1] = f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;
        f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];
        break;
      } else {
        f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
        g[i * p[j]] = 1 + p[j];
      }
    }
  }
}

Python
def pre():
    g[1] = f[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        if v[i] == 0:
            v[i] = 1; tot = tot + 1; p[tot] = i; g[i] = i + 1; f[i] = i + 1
        j = 1
        while j <= tot and i <= n // p[j]:
            v[p[j] * i] = 1
            if i % p[j] == 0:
                g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1
                f[i * p[j]] = f[i] // g[i] * g[i * p[j]]
                break
            else:
                f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]]
                g[i * p[j]] = 1 + p[j]

一般的积性函数

假如一个积性函数 \(f\) 满足：对于任意质数 \(p\) 和正整数 \(k\)，可以在 \(O(1)\) 时间内计算 \(f(p^k)\)，那么可以在 \(O(n)\) 时间内筛出 \(f(1),f(2),\dots,f(n)\) 的值。

设合数 \(n\) 的质因子分解是 \(\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}\)，其中 \(p_1<p_2<\dots<p_k\) 为质数，我们在线性筛中记录 \(g_n=p_1^{\alpha_1}\)，假如 \(n\) 被 \(x\cdot p\) 筛掉（\(p\) 是质数），那么 \(g\) 满足如下递推式：

\[ g_n= \begin{cases} g_x\cdot p & x\bmod p=0\\\\ p & \text{otherwise} \end{cases} \]

假如 \(n=g_n\)，说明 \(n\) 就是某个质数的次幂，可以 \(O(1)\) 计算 \(f(n)\)；否则，\(f(n)=f(\frac{n}{g_n})\cdot f(g_n)\)。

本节部分内容译自博文 Решето Эратосфена 与其英文翻译版 Sieve of Eratosthenes。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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