卢卡斯定理

Lucas 定理

引入

Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解（详见排列组合），但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到 Lucas 定理。

定义

Lucas 定理内容如下：对于质数 \(p\)，有

\[ \binom{n}{m}\bmod p = \binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\cdot\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p \]

观察上述表达式，可知 \(n\bmod p\) 和 \(m\bmod p\) 一定是小于 \(p\) 的数，可以直接求解，\(\displaystyle\binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\) 可以继续用 Lucas 定理求解。这也就要求 \(p\) 的范围不能够太大，一般在 \(10^5\) 左右。边界条件：当 \(m=0\) 的时候，返回 \(1\)。

时间复杂度为 \(O(f(p) + g(n)\log n)\)，其中 \(f(n)\) 为预处理组合数的复杂度，\(g(n)\) 为单次求组合数的复杂度。

实现

C++Python

C++
long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {
  if (m == 0) return 1;
  return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;
}

Python
def Lucas(n, m, p):
  if m == 0:
      return 1
  return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n // p, m // p, p)) % p

证明

考虑 \(\displaystyle\binom{p}{n} \bmod p\) 的取值，注意到 \(\displaystyle\binom{p}{n} = \frac{p!}{n!(p-n)!}\)，分子的质因子分解中 \(p\) 的次数恰好为 \(1\)，因此只有当 \(n = 0\) 或 \(n = p\) 的时候 \(n!(p-n)!\) 的质因子分解中含有 \(p\)，因此 \(\displaystyle\binom{p}{n} \bmod p = [n = 0 \vee n = p]\)。进而我们可以得出

\[ \begin{align} (a+b)^p &= \sum_{n=0}^p \binom pn a^n b^{p-n}\\ &\equiv \sum_{n=0}^p [n=0\vee n=p] a^n b^{p-n}\\ &\equiv a^p + b^p \pmod p \end{align} \]

注意过程中没有用到费马小定理，因此这一推导不仅适用于整数，亦适用于多项式。因此我们可以考虑二项式 \(f^p(x)=(ax^n + bx^m)^p \bmod p\) 的结果

\[ \begin{align} (ax^n + bx^m)^p &\equiv a^p x^{pn} + b^p x^{pm} \\ &\equiv ax^{pn} + bx^{pm}\\ &\equiv f(x^p) \end{align} \]

考虑二项式 \((1+x)^n \bmod p\)，那么 \(\displaystyle\binom n m\) 就是求其在 \(x^m\) 次项的取值。使用上述引理，我们可以得到

\[ \begin{align} (1+x)^n &\equiv (1+x)^{p\lfloor n/p \rfloor} (1+x)^{n\bmod p}\\ &\equiv (1+x^p)^{\lfloor n/p \rfloor} (1+x)^{n\bmod p} \end{align} \]

注意前者只有在 \(p\) 的倍数位置才有取值，而后者最高次项为 \(n\bmod p \le p-1\)，因此这两部分的卷积在任何一个位置只有最多一种方式贡献取值，即在前者部分取 \(p\) 的倍数次项，后者部分取剩余项，即 \(\displaystyle\binom{n}{m}\bmod p = \binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\cdot\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p\)。

exLucas 定理

Lucas 定理中对于模数 \(p\) 要求必须为素数，那么对于 \(p\) 不是素数的情况，就需要用到 exLucas 定理。

过程

第一部分：中国剩余定理

要求计算二项式系数 \(\binom{n}{m}\bmod M\)，其中 \(M\) 可能为合数。

考虑利用中国剩余定理合并答案，这种情况下我们只需求出 \(\binom{n}{m}\bmod p^\alpha\) 的值即可（其中 \(p\) 为素数且 \(\alpha\) 为正整数）。

根据 唯一分解定理，将 \(M\) 质因数分解：

\[ M={p_1}^{\alpha_1}\cdot{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_r}^{\alpha_r}=\prod_{i=1}^{r}{p_i}^{\alpha_i} \]

对于任意 \(i,j\)，有 \({p_i}^{\alpha_i}\) 与 \({p_j}^{\alpha_j}\) 互质，所以可以构造如下 \(r\) 个同余方程：

\[ \left\{ \begin{aligned} a_1\equiv \displaystyle\binom{n}{m}&\pmod {{p_1}^{\alpha_1}}\\ a_2\equiv \displaystyle\binom{n}{m}&\pmod {{p_2}^{\alpha_2}}\\ &\cdots\\ a_r\equiv \displaystyle\binom{n}{m}&\pmod {{p_r}^{\alpha_r}}\\ \end{aligned} \right. \]

我们发现，在求出 \(a_i\) 后，就可以用中国剩余定理求解出 \(\displaystyle\binom{n}{m}\)。

第二部分：移除分子分母中的素数

根据同余的定义，\(\displaystyle a_i=\binom{n}{m}\bmod {p_i}^{\alpha_i}\)，问题转化成，求 \(\displaystyle \binom{n}{m} \bmod p^\alpha\)（\(p\) 为质数）的值。

根据组合数定义 \(\displaystyle \binom{n}{m} = \frac{n!}{m! (n-m)!}\)，\(\displaystyle \binom{n}{m} \bmod p^\alpha = \frac{n!}{m! (n-m)!} \bmod p^\alpha\)。

由于式子是在模 \(p^\alpha\) 意义下，所以分母要算乘法逆元。

同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod p\)（即乘法逆元）有解的充要条件为 \(\gcd(a,p)=1\)（裴蜀定理），

然而 无法保证有解，发现无法直接求 \(\operatorname{inv}_{m!}\) 和 \(\operatorname{inv}_{(n-m)!}\)，

所以将原式转化为：

\[ \frac{\frac{n!}{p^x}}{\frac{m!}{p^y}\frac{(n-m)!}{p^z}}p^{x-y-z} \bmod p^\alpha \]

\(x\) 表示 \(n!\) 中包含多少个 \(p\) 因子，\(y, z\) 同理。

第三部分：Wilson 定理的推论

问题转化成，求形如：

\[ \frac{n!}{q^x}\bmod q^k \]

的值。这时可以利用 Wilson 定理的推论。如果难以理解，可以看看下面的解释。

解释

一个示例：22! mod 9

先考虑 \(n! \bmod q^k\)，

比如 \(n=22, q=3, k=2\) 时：

\(22!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12\)

\(\times 13\times 14\times 15\times 16\times 17\times 18\times 19\times20\times21\times22\)

将其中所有 \(q\) 的倍数提取，得到：

\(22!=3^7 \times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7)\)\(\times(1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8\times 10 \times 11\times 13\times 14\times 16\times 17\times 19 \times 20 \times 22 )\)

可以看到，式子分为三个整式的乘积：

是 \(3\) 的幂，次数是 \(\lfloor\frac{n}{q}\rfloor\)；
是 \(7!\)，即 \(\lfloor\frac{n}{q}\rfloor!\)，由于阶乘中仍然可能有 \(q\) 的倍数，考虑递归求解；
是 \(n!\) 中与 \(q\) 互质的部分的乘积，具有如下性质：
\(1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8\equiv10 \times 11\times 13\times 14\times 16\times 17 \pmod{3^2}\)，
即：\(\displaystyle \prod_{i,(i,q)=1}^{q^k}i\equiv\prod_{i,(i,q)=1}^{q^k}(i+tq^k) \pmod{q^k}\)（\(t\) 是任意正整数）。
\(\displaystyle \prod_{i,(i,q)=1}^{q^k}i\) 一共循环了 \(\displaystyle \lfloor\frac{n}{q^k}\rfloor\) 次，暴力求出 \(\displaystyle \prod_{i,(i,q)=1}^{q^k}i\)，然后用快速幂求 \(\displaystyle \lfloor\frac{n}{q^k}\rfloor\) 次幂。
最后要乘上 \(\displaystyle \prod_{i,(i,q)=1}^{n \bmod q^k}i\)，即 \(19\times 20\times 22\)，显然长度小于 \(q^k\)，暴力乘上去。

上述三部分乘积为 \(n!\)。最终要求的是 \(\frac{n!}{q^x}\bmod{q^k}\)。

所以有：

\[ n! = q^{\left\lfloor\frac{n}{q}\right\rfloor} \cdot \left(\left\lfloor\frac{n}{q}\right\rfloor\right)! \cdot {\left(\prod_{i,(i,q)=1}^{q^k}i\right)}^{\left\lfloor\frac{n}{q^k}\right\rfloor} \cdot \left(\prod_{i,(i,q)=1}^{n\bmod q^k}i\right) \]

于是：

\[ \frac{n!}{q^{\left\lfloor\frac{n}{q}\right\rfloor}} = \left(\left\lfloor\frac{n}{q}\right\rfloor\right)! \cdot {\left(\prod_{i,(i,q)=1}^{q^k}i\right)}^{\left\lfloor\frac{n}{q^k}\right\rfloor} \cdot \left(\prod_{i,(i,q)=1}^{n\bmod q^k}i\right) \]

\(\displaystyle \left(\left\lfloor\frac{n}{q}\right\rfloor\right)!\) 同样是一个数的阶乘，所以也可以分为上述三个部分，于是可以递归求解。

等式的右边两项不含素数 q。事实上，如果直接把 n 的阶乘中所有 q 的幂都拿出来，等式右边的阶乘也照做，这个等式可以直接写成：

\[ \frac{n!}{q^{x}} = \frac{\left(\left\lfloor\frac{n}{q}\right\rfloor\right)!}{q^{x'}} \cdot {\left(\prod_{i,(i,q)=1}^{q^k}i\right)}^{\left\lfloor\frac{n}{q^k}\right\rfloor} \cdot \left(\prod_{i,(i,q)=1}^{n\bmod q^k}i\right) \]

式中的 \(x\) 和 \(x'\) 都表示把分子中所有的素数 \(q\) 都拿出来。改写成这样，每一项就完全不含 \(q\) 了。

递归的结果，三个部分中，左边部分随着递归结束而自然消失，中间部分可以利用 Wilson 定理的推论 0，右边部分就是推论 2 中的 \(\prod_{j\geq 0}(N_j!)_p\)。

下面这种写法，拥有单次询问 \(O(p\log p)\) 的时间复杂度。其中 int inverse(int x) 函数返回 \(x\) 在模 \(p\) 意义下的逆元。

实现

C++
LL calc(LL n, LL x, LL P) {
  if (!n) return 1;
  LL s = 1;
  for (LL i = 1; i <= P; i++)
    if (i % x) s = s * i % P;
  s = Pow(s, n / P, P);
  for (LL i = n / P * P + 1; i <= n; i++)
    if (i % x) s = i % P * s % P;
  return s * calc(n / x, x, P) % P;
}

LL multilucas(LL m, LL n, LL x, LL P) {
  int cnt = 0;
  for (LL i = m; i; i /= x) cnt += i / x;
  for (LL i = n; i; i /= x) cnt -= i / x;
  for (LL i = m - n; i; i /= x) cnt -= i / x;
  return Pow(x, cnt, P) % P * calc(m, x, P) % P * inverse(calc(n, x, P), P) %
         P * inverse(calc(m - n, x, P), P) % P;
}

LL exlucas(LL m, LL n, LL P) {
  int cnt = 0;
  LL p[20], a[20];
  for (LL i = 2; i * i <= P; i++) {
    if (P % i == 0) {
      p[++cnt] = 1;
      while (P % i == 0) p[cnt] = p[cnt] * i, P /= i;
      a[cnt] = multilucas(m, n, i, p[cnt]);
    }
  }
  if (P > 1) p[++cnt] = P, a[cnt] = multilucas(m, n, P, P);
  return CRT(cnt, a, p);
}

若不考虑 excrt 的复杂度，通过预处理 \(\frac{n!}{n以内的p的所有倍数的乘积}\bmod{p}\)，可以使时间复杂度优化至单次 \(O(p + \log p)\)。而如果 p 是固定的，我们在一开始就可以对 p 进行分解，并进行预处理，可以达到总复杂度 \(O(p + T\log p)\)。

习题

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