最大公约数

定义

最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。

一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。\(\pm 1\) 是任意一组整数的公约数。

一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。

那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。

欧几里得算法

过程

如果我们已知两个数 \(a\) 和 \(b\)，如何求出二者的最大公约数呢？

不妨设 \(a > b\)

我们发现如果 \(b\) 是 \(a\) 的约数，那么 \(b\) 就是二者的最大公约数。 下面讨论不能整除的情况，即 \(a = b \times q + r\)，其中 \(r < b\)。

我们通过证明可以得到 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)，过程如下：

既然得到了 \(\gcd(a, b) = \gcd(b, r)\)，这里两个数的大小是不会增大的，那么我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。

实现

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// Version 1
int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) return a;
  return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

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// Version 1
public int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
public int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

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def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

递归至 b == 0（即上一步的 a % b == 0）的情况再返回值即可。

根据上述递归求法，我们也可以写出一个迭代求法：

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int gcd(int a, int b) {
  while (b != 0) {
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp % b;
  }
  return a;
}

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public int gcd(int a, int b) {
    while(b != 0) {
        int tmp = a;
        a = b;
        b = tmp % b;
    }
    return a;
}

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def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

上述算法都可被称作欧几里得算法（Euclidean algorithm）。

另外，对于 C++14，我们可以使用自带的 __gcd(a,b) 函数来求最大公约数。而对于 C++ 17，我们可以使用 <numeric> 头中的 std::gcd 与 std::lcm 来求最大公约数和最小公倍数。

如果两个数 \(a\) 和 \(b\) 满足 \(\gcd(a, b) = 1\)，我们称 \(a\) 和 \(b\) 互质。

性质

欧几里得算法的时间效率如何呢？下面我们证明，欧几里得算法的时间复杂度为 \(O(\log n)\)。

事实上，假如我们试着用欧几里得算法去求 斐波那契数列 相邻两项的最大公约数，会让该算法达到最坏复杂度。

更相减损术

大整数取模的时间复杂度较高，而加减法时间复杂度较低。针对大整数，我们可以用加减代替乘除求出最大公约数。

过程

已知两数 \(a\) 和 \(b\)，求 \(\gcd(a,b)\)。

不妨设 \(a \ge b\)，若 \(a = b\)，则 \(\gcd(a,b)=a=b\)。 否则，\(\forall d\mid a, d\mid b\)，可以证明 \(d\mid a-b\)。

因此，\(a\) 和 \(b\) 的 所有 公因数都是 \(a-b\) 和 \(b\) 的公因数，\(\gcd(a,b) = \gcd(a-b, b)\)。

Stein 算法的优化

如果 \(a\gg b\)，更相减损术的 \(O(n)\) 复杂度将会达到最坏情况。

考虑一个优化，若 \(2\mid a,2\mid b\)，\(\gcd(a,b) = 2\gcd\left(\dfrac a2, \dfrac b2\right)\)。

否则，若 \(2\mid a\)（\(2\mid b\) 同理），因为 \(2\mid b\) 的情况已经讨论过了，所以 \(2 \nmid b\)。因此 \(\gcd(a,b)=\gcd\left(\dfrac a2,b\right)\)。

优化后的算法（即 Stein 算法）时间复杂度是 \(O(\log n)\)。

实现

高精度模板见 高精度计算。

高精度运算需实现：减法、大小比较、左移、右移（可用低精乘除代替）、判断奇偶。

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Big gcd(Big a, Big b) {
  // 记录a和b的公因数2出现次数
  int atimes = 0, btimes = 0;
  while (a % 2 == 0) {
    a >>= 1;
    atimes++;
  }
  while (b % 2 == 0) {
    b >>= 1;
    btimes++;
  }
  for (;;) {
    // a和b公因数中的2已经计算过了，后面不可能出现a,b均为偶数的情况
    while (a % 2 == 0) {
      a >>= 1;
    }
    while (b % 2 == 0) {
      b >>= 1;
    }
    if (a == b) break;
    // 确保 a>=b
    if (a < b) swap(a, b);
    a -= b;
  }
  return a << min(atimes, btimes);
}

多个数的最大公约数

那怎么求多个数的最大公约数呢？显然答案一定是每个数的约数，那么也一定是每相邻两个数的约数。我们采用归纳法，可以证明，每次取出两个数求出答案后再放回去，不会对所需要的答案造成影响。

最小公倍数

接下来我们介绍如何求解最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）。

定义

一组整数的公倍数，是指同时是这组数中每一个数的倍数的数。0 是任意一组整数的公倍数。

一组整数的最小公倍数，是指所有正的公倍数里面，最小的一个数。

两个数

设 \(a = p_1^{k_{a_1}}p_2^{k_{a_2}} \cdots p_s^{k_{a_s}}\)，\(b = p_1^{k_{b_1}}p_2^{k_{b_2}} \cdots p_s^{k_{b_s}}\)

我们发现，对于 \(a\) 和 \(b\) 的情况，二者的最大公约数等于

\(p_1^{\min(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\min(k_{a_2}, k_{b_2})} \cdots p_s^{\min(k_{a_s}, k_{b_s})}\)

最小公倍数等于

\(p_1^{\max(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\max(k_{a_2}, k_{b_2})} \cdots p_s^{\max(k_{a_s}, k_{b_s})}\)

由于 \(k_a + k_b = \max(k_a, k_b) + \min(k_a, k_b)\)

所以得到结论是 \(\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b\)

要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可。

多个数

可以发现，当我们求出两个数的 \(\gcd\) 时，求最小公倍数是 \(O(1)\) 的复杂度。那么对于多个数，我们其实没有必要求一个共同的最大公约数再去处理，最直接的方法就是，当我们算出两个数的 \(\gcd\)，或许在求多个数的 \(\gcd\) 时候，我们将它放入序列对后面的数继续求解，那么，我们转换一下，直接将最小公倍数放入序列即可。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组可行解。

过程

设

\(ax_1+by_1=\gcd(a,b)\)

\(bx_2+(a\bmod b)y_2=\gcd(b,a\bmod b)\)

由欧几里得定理可知：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)

所以 \(ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2\)

又因为 \(a\bmod b=a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)\)

所以 \(ax_1+by_1=bx_2+(a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b))y_2\)

\(ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)\)

因为 \(a=a,b=b\)，所以 \(x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2\)

将 \(x_2,y_2\) 不断代入递归求解直至 \(\gcd\)（最大公约数，下同）为 0 递归 x=1,y=0 回去求解。

实现

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int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

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def Exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x, y = Exgcd(b, a % b)
    return d, y, x - (a // b) * y

函数返回的值为 \(\gcd\)，在这个过程中计算 \(x,y\) 即可。

值域分析

\(ax+by=\gcd(a,b)\) 的解有无数个，显然其中有的解会爆 long long。
万幸的是，若 \(b\not= 0\)，扩展欧几里得算法求出的可行解必有 \(|x|\le b,|y|\le a\)。
下面给出这一性质的证明。

迭代法编写扩展欧几里得算法

首先，当 \(x = 1\)，\(y = 0\)，\(x_1 = 0\)，\(y_1 = 1\) 时，显然有：

成立。

已知 \(a\bmod b = a - (\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)\)，下面令 \(q = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor\)。参考迭代法求 gcd，每一轮的迭代过程可以表示为：

将迭代过程中的 \(a\) 替换为 \(ax + by = a\)，\(b\) 替换为 \(ax_1 + by_1 = b\)，可以得到：

据此就可以得到迭代法求 exgcd。

因为迭代的方法避免了递归，所以代码运行速度将比递归代码快一点。

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int gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  x = 1, y = 0;
  int x1 = 0, y1 = 1, a1 = a, b1 = b;
  while (b1) {
    int q = a1 / b1;
    tie(x, x1) = make_tuple(x1, x - q * x1);
    tie(y, y1) = make_tuple(y1, y - q * y1);
    tie(a1, b1) = make_tuple(b1, a1 - q * b1);
  }
  return a1;
}

如果你仔细观察 \(a_1\) 和 \(b_1\)，你会发现，他们在迭代版本的欧几里德算法中取值完全相同，并且以下公式无论何时（在 while 循环之前和每次迭代结束时）都是成立的：\(x \cdot a +y \cdot b =a_1\) 和 \(x_1 \cdot a +y_1 \cdot b= b_1\)。因此，该算法肯定能正确计算出 \(\gcd\)。

最后我们知道 \(a_1\) 就是要求的 \(\gcd\)，有 \(x \cdot a +y \cdot b = g\)。

矩阵的解释

对于正整数 \(a\) 和 \(b\) 的一次辗转相除即 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\) 使用矩阵表示如

其中向下取整符号 \(\lfloor c\rfloor\) 表示不大于 \(c\) 的最大整数。我们定义变换 \(\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}0&1\\1&-\lfloor a/b\rfloor\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\)。

易发现欧几里得算法即不停应用该变换，有

令

那么

满足 \(a\cdot x_1+b\cdot x_2=\gcd(a,b)\) 即扩展欧几里得算法，注意在最后乘了一个单位矩阵不会影响结果，提示我们可以在开始时维护一个 \(2\times 2\) 的单位矩阵编写更简洁的迭代方法如

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int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  int x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1;
  while (b != 0) {
    int c = a / b;
    std::tie(x1, x2, x3, x4, a, b) =
        std::make_tuple(x3, x4, x1 - x3 * c, x2 - x4 * c, b, a - b * c);
  }
  x = x1, y = x2;
  return a;
}

这种表述相较于递归更简单。

应用

• 10104 - Euclid Problem
• GYM - (J) once upon a time
• UVA - 12775 - Gift Dilemma

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