Euler totient

定义

欧拉函数（Euler's totient function），即 \(\varphi(n)\)，表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。

比如说 \(\varphi(1) = 1\)。

当 \(n\) 是质数的时候，显然有 \(\varphi(n) = n - 1\)。

性质

• 欧拉函数是 积性函数。

  即对任意满足 \(\gcd(a, b) = 1\) 的整数 \(a,b\)，有 \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\)。

  特别地，当 \(n\) 是奇数时 \(\varphi(2n) = \varphi(n)\)。

  证明参见 剩余系的复合。

• \(n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}\)。

  证明

  利用 莫比乌斯反演 相关知识可以得出。

  也可以这样考虑：如果 \(\gcd(k, n) = d\)，那么 \(\gcd(\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d}) = 1, ( k < n )\)。

  如果我们设 \(f(x)\) 表示 \(\gcd(k, n) = x\) 的数的个数，那么 \(n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}\)。

  根据上面的证明，我们发现，\(f(x) = \varphi(\dfrac{n}{x})\)，从而 \(n = \sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d})\)。注意到约数 \(d\) 和 \(\dfrac{n}{d}\) 具有对称性，所以上式化为 \(n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)\)。

• 若 \(n = p^k\)，其中 \(p\) 是质数，那么 \(\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}\)。 （根据定义可知）

• 由唯一分解定理，设 \(n = \prod_{i=1}^{s}p_i^{k_i}\)，其中 \(p_i\) 是质数，有 \(\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}\)。

  证明

  • 引理：设 \(p\) 为任意质数，那么 \(\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)\)。

    证明：显然对于从 1 到 \(p^k\) 的所有数中，除了 \(p^{k-1}\) 个 \(p\) 的倍数以外其它数都与 \(p^k\) 互素，故 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)\)，证毕。

    接下来我们证明 \(\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}\)。由唯一分解定理与 \(\varphi(x)\) 函数的积性

    \[ \begin{aligned} \varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\ &= \prod_{i=1}^{s} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\ &=\prod_{i=1}^{s} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\ &=n~ \prod_{i=1}^{s} (1- \frac{1}{p_i}) &\square \end{aligned} \]

• 对任意不全为 \(0\) 的整数 \(m,n\)，\(\varphi(mn)\varphi(\gcd(m,n))=\varphi(m)\varphi(n)\gcd(m,n)\)。

  可由上一条直接计算得出。

实现

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用 Pollard Rho 算法优化。

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12

#include <cmath>

int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13

import math


def euler_phi(n):
    ans = n
    for i in range(2, math.isqrt(n) + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n // i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得。

详见：筛法求欧拉函数

应用

欧拉函数常常用于化简一列最大公约数的和。国内有些文章称它为 欧拉反演¹。

在结论

中代入 \(n=\gcd(a,b)\)，则有

其中，\([\cdot]\) 称为 Iverson 括号，只有当命题 \(P\) 为真时 \([P]\) 取值为 \(1\)，否则取 \(0\)。对上式求和，就可以得到

这里关键的观察是 \(\sum_{i=1}^n[d|i]=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)，即在 \(1\) 和 \(n\) 之间能够被 \(d\) 整除的 \(i\) 的个数是 \(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)。

利用这个式子，就可以遍历约数求和了。需要多组查询的时候，可以预处理欧拉函数的前缀和，利用数论分块查询。

欧拉定理

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下：

若 \(\gcd(a, m) = 1\)，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\)。

扩展欧拉定理

当然也有扩展欧拉定理，用于处理一般的 \(a\) 和 \(m\) 的情形。

证明和习题详见 欧拉定理。

参考资料与注释

本页面的全部内容在 小熊老师 - 莆田青少年编程俱乐部 0594codes.cn 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用