数论基础

本文对于数论的开头部分做一个简介。

整除

整除的定义：设 \(a,b\in\mathbf{Z}\)，\(a\ne 0\)。如果 \(\exists q\in\mathbf{Z}\)，使得 \(b=aq\)，那么就说 \(b\) 可被 \(a\) 整除，记作 \(a\mid b\)；\(b\) 不被 \(a\) 整除记作 \(a\nmid b\)。

整除的性质：

\(a\mid b\iff-a\mid b\iff a\mid-b\iff|a|\mid|b|\)
\(a\mid b\land b\mid c\implies a\mid c\)
\(a\mid b\land a\mid c\iff\forall x,y\in\mathbf{Z}, a\mid(xb+yc)\)
\(a\mid b\land b\mid a\implies b=\pm a\)
设 \(m\ne0\)，那么 \(a\mid b\iff ma\mid mb\)。
设 \(b\ne0\)，那么 \(a\mid b\implies|a|\le|b|\)。
设 \(a\ne0,b=qa+c\)，那么 \(a\mid b\iff a\mid c\)。

约数（因数）：若 \(a\mid b\)，则称 \(b\) 是 \(a\) 的倍数，\(a\) 是 \(b\) 的约数。

\(0\) 是所有非 \(0\) 整数的倍数。对于整数 \(b\ne0\)，\(b\) 的约数只有有限个。

平凡约数（平凡因数）：对于整数 \(b\ne0\)，\(\pm1\)、\(\pm b\) 是 \(b\) 的平凡约数。当 \(b=\pm1\) 时，\(b\) 只有两个平凡约数。

对于整数 \(b\ne 0\)，\(b\) 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。

约数的性质：

设整数 \(b\ne0\)。当 \(d\) 遍历 \(b\) 的全体约数的时候，\(\dfrac{b}{d}\) 也遍历 \(b\) 的全体约数。
设整数 \(b\gt 0\)，则当 \(d\) 遍历 \(b\) 的全体正约数的时候，\(\dfrac{b}{d}\) 也遍历 \(b\) 的全体正约数。

在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。

带余数除法

余数的定义：设 \(a,b\) 为两个给定的整数，\(a\ne0\)。设 \(d\) 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 \(q\) 和 \(r\)，满足 \(b=qa+r,d\le r<|a|+d\)。

无论整数 \(d\) 取何值，\(r\) 统称为余数。\(a\mid b\) 等价于 \(a\mid r\)。

一般情况下，\(d\) 取 \(0\)，此时等式 \(b=qa+r,0\le r<|a|\) 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 \(r\) 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法：

绝对最小余数：\(d\) 取 \(a\) 的绝对值的一半的相反数。即 \(b=qa+r,-\dfrac{|a|}{2}\le r<|a|-\dfrac{|a|}{2}\)。

最小正余数：\(d\) 取 \(1\)。即 \(b=qa+r,1\le r<|a|+1\)。

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质：

任一整数被正整数 \(a\) 除后，余数一定是且仅是 \(0\) 到 \((a-1)\) 这 \(a\) 个数中的一个。
相邻的 \(a\) 个整数被正整数 \(a\) 除后，恰好取到上述 \(a\) 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 \(a\) 整除。

最大公约数与最小公倍数

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，见最大公约数。

互素

两个整数互素（既约）的定义：若 \(\gcd(a_1,a_2)=1\)，则称 \(a_1\) 和 \(a_2\) 互素（既约）。

多个整数互素（既约）的定义：若 \(\gcd(a_1,\ldots,a_k)=1\)，则称 \(a_1,\ldots,a_k\) 互素（既约）。

多个整数互素，不一定两两互素。例如 \(6\)、\(10\) 和 \(15\) 互素，但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout's identity）。见裴蜀定理。

辗转相除法

辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。见最大公约数。

素数与合数

关于素数的算法见素数。

设整数 \(p\ne0,\pm1\)。如果 \(p\) 除了平凡约数外没有其他约数，那么称 \(p\) 为素数（不可约数）。

若整数 \(a\ne0,\pm 1\) 且 \(a\) 不是素数，则称 \(a\) 为合数。

\(p\) 和 \(-p\) 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

大于 \(1\) 的整数 \(a\) 是合数，等价于 \(a\) 可以表示为整数 \(d\) 和 \(e\)（\(1<d,e<a\)）的乘积。
如果素数 \(p\) 有大于 \(1\) 的约数 \(d\)，那么 \(d=p\)。
大于 \(1\) 的整数 \(a\) 一定可以表示为素数的乘积。
对于合数 \(a\)，一定存在素数 \(p\le\sqrt{a}\) 使得 \(p\mid a\)。
素数有无穷多个。
所有大于 \(3\) 的素数都可以表示为 \(6n\pm 1\) 的形式¹。

算术基本定理

算术基本引理：

设 \(p\) 是素数，\(p\mid a_1a_2\)，那么 \(p\mid a_1\) 和 \(p\mid a_2\) 至少有一个成立。

算术基本引理是素数的本质属性，也是素数的真正定义。

算术基本定理（唯一分解定理）：

设正整数 \(a\)，那么必有表示：

\[ a=p_1p_2\cdots p_s \]

其中 \(p_j(1\le j\le s)\) 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式：

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

\[ a={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_s}^{\alpha_s},p_1<p_2<\cdots<p_s \]

称为正整数 \(a\) 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

同余

同余的定义：设整数 \(m\ne0\)。若 \(m\mid(a-b)\)，称 \(m\) 为模数（模），\(a\) 同余于 \(b\) 模 \(m\)，\(b\) 是 \(a\) 对模 \(m\) 的剩余。记作 \(a\equiv b\pmod m\)。

否则，\(a\) 不同余于 \(b\) 模 \(m\)，\(b\) 不是 \(a\) 对模 \(m\) 的剩余。记作 \(a\not\equiv b\pmod m\)。

这样的等式，称为模 \(m\) 的同余式，简称同余式。

根据整除的性质，上述同余式也等价于 \(a\equiv b\pmod{(-m)}\)。

如果没有特别说明，模数总是正整数。

式中的 \(b\) 是 \(a\) 对模 \(m\) 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 \(b\) 的范围，相应的有 \(a\) 对模 \(m\) 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质：

自反性：\(a\equiv a\pmod m\)。
对称性：若 \(a\equiv b\pmod m\)，则 \(b\equiv a\pmod m\)。
传递性：若 \(a\equiv b\pmod m,b\equiv c\pmod m\)，则 \(a\equiv c\pmod m\)。
线性运算：若 \(a,b,c,d\in\mathbf{Z},m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m,c\equiv d\pmod m\) 则有：
- \(a\pm c\equiv b\pm d\pmod m\)。
- \(a\times c\equiv b\times d\pmod m\)。
若 \(a,b\in\mathbf{Z},k,m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m\), 则 \(ak\equiv bk\pmod{mk}\)。
若 \(a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid a,d\mid b,d\mid m\)，则当 \(a\equiv b\pmod m\) 成立时，有 \(\dfrac{a}{d}\equiv\dfrac{b}{d}\left(\bmod\;{\dfrac{m}{d}}\right)\)。
若 \(a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid m\)，则当 \(a\equiv b\pmod m\) 成立时，有 \(a\equiv b\pmod d\)。
若 \(a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*\)，则当 \(a\equiv b\pmod m\) 成立时，有 \(\gcd(a,m)=\gcd(b,m)\)。若 \(d\) 能整除 \(m\) 及 \(a,b\) 中的一个，则 \(d\) 必定能整除 \(a,b\) 中的另一个。

还有性质是乘法逆元。见乘法逆元。

C/C++ 的整数除法和取模运算

在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。

对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：

当除数为 0 时，行为未定义；
否则 (a / b) * b + a % b 的运算结果与 a 相等。

也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。

从 C99²和 C++11³标准版本起，规定 商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：

Text Only
5 % 3 == 2;
5 % -3 == 2;
-5 % 3 == -2;
-5 % -3 == -2;

数论函数

数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\) 且 \(\forall x,y\in\mathbf{N}^*,\gcd(x,y)=1\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则 \(f(n)\) 为积性函数。

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\) 且 \(\forall x,y\in\mathbf{N}^*\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则 \(f(n)\) 为完全积性函数。

性质

若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

\[ \begin{aligned} h(x)&=f(x^p)\\ h(x)&=f^p(x)\\ h(x)&=f(x)g(x)\\ h(x)&=\sum_{d\mid x}f(d)g\left(\dfrac{x}{d}\right) \end{aligned} \]

设 \(x=\prod p_i^{k_i}\)

若 \(F(x)\) 为积性函数，则有 \(F(x)=\prod F(p_i^{k_i})\)。

若 \(F(x)\) 为完全积性函数，则有 \(F(x)=\prod F(p_i)^{k_i}\)。

例子

单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)。（完全积性）
恒等函数：\(\operatorname{id}_k(n)=n^k\)，\(\operatorname{id}_{1}(n)\) 通常简记作 \(\operatorname{id}(n)\)。（完全积性）
常数函数：\(1(n)=1\)。（完全积性）
除数函数：\(\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}\)。\(\sigma_{0}(n)\) 通常简记作 \(d(n)\) 或 \(\tau(n)\)，\(\sigma_{1}(n)\) 通常简记作 \(\sigma(n)\)。
欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]\)
莫比乌斯函数：\(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\exists d>1,d^{2}\mid n\\(-1)^{\omega(n)}&\text{otherwise}\end{cases}\)，其中 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。

加性函数

此处加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)。对于加性函数 \(f\)，当整数 \(a,b\) 互质时，均有 \(f(ab)=f(a)+f(b)\)。应与代数中的加性函数 (Additive map) 区分。

参考资料与注释

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