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数论基础

本文对于数论的开头部分做一个简介。

整除

整除的定义:设 \(a,b\in\mathbf{Z}\)\(a\ne 0\)。如果 \(\exists q\in\mathbf{Z}\),使得 \(b=aq\),那么就说 \(b\) 可被 \(a\) 整除,记作 \(a\mid b\)\(b\) 不被 \(a\) 整除记作 \(a\nmid b\)

整除的性质:

  • \(a\mid b\iff-a\mid b\iff a\mid-b\iff|a|\mid|b|\)
  • \(a\mid b\land b\mid c\implies a\mid c\)
  • \(a\mid b\land a\mid c\iff\forall x,y\in\mathbf{Z}, a\mid(xb+yc)\)
  • \(a\mid b\land b\mid a\implies b=\pm a\)
  • \(m\ne0\),那么 \(a\mid b\iff ma\mid mb\)
  • \(b\ne0\),那么 \(a\mid b\implies|a|\le|b|\)
  • \(a\ne0,b=qa+c\),那么 \(a\mid b\iff a\mid c\)

约数(因数):若 \(a\mid b\),则称 \(b\)\(a\) 的倍数,\(a\)\(b\) 的约数。

\(0\) 是所有非 \(0\) 整数的倍数。对于整数 \(b\ne0\)\(b\) 的约数只有有限个。

平凡约数(平凡因数):对于整数 \(b\ne0\)\(\pm1\)\(\pm b\)\(b\) 的平凡约数。当 \(b=\pm1\) 时,\(b\) 只有两个平凡约数。

对于整数 \(b\ne 0\)\(b\) 的其他约数称为真约数(真因数、非平凡约数、非平凡因数)。

约数的性质:

  • 设整数 \(b\ne0\)。当 \(d\) 遍历 \(b\) 的全体约数的时候,\(\dfrac{b}{d}\) 也遍历 \(b\) 的全体约数。
  • 设整数 \(b\gt 0\),则当 \(d\) 遍历 \(b\) 的全体正约数的时候,\(\dfrac{b}{d}\) 也遍历 \(b\) 的全体正约数。

在具体问题中,如果没有特别说明,约数总是指正约数。

带余数除法

余数的定义:设 \(a,b\) 为两个给定的整数,\(a\ne0\)。设 \(d\) 是一个给定的整数。那么,一定存在唯一的一对整数 \(q\)\(r\),满足 \(b=qa+r,d\le r<|a|+d\)

无论整数 \(d\) 取何值,\(r\) 统称为余数。\(a\mid b\) 等价于 \(a\mid r\)

一般情况下,\(d\)\(0\),此时等式 \(b=qa+r,0\le r<|a|\) 称为带余数除法(带余除法)。这里的余数 \(r\) 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法:

绝对最小余数:\(d\)\(a\) 的绝对值的一半的相反数。即 \(b=qa+r,-\dfrac{|a|}{2}\le r<|a|-\dfrac{|a|}{2}\)

最小正余数:\(d\)\(1\)。即 \(b=qa+r,1\le r<|a|+1\)

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明,余数总是指最小非负余数。

余数的性质:

  • 任一整数被正整数 \(a\) 除后,余数一定是且仅是 \(0\)\((a-1)\)\(a\) 个数中的一个。
  • 相邻的 \(a\) 个整数被正整数 \(a\) 除后,恰好取到上述 \(a\) 个余数。特别地,一定有且仅有一个数被 \(a\) 整除。

最大公约数与最小公倍数

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数,四个名词的定义,见 最大公约数

互素

两个整数互素(既约)的定义:若 \(\gcd(a_1,a_2)=1\),则称 \(a_1\)\(a_2\) 互素(既约)。

多个整数互素(既约)的定义:若 \(\gcd(a_1,\ldots,a_k)=1\),则称 \(a_1,\ldots,a_k\) 互素(既约)。

多个整数互素,不一定两两互素。例如 \(6\)\(10\)\(15\) 互素,但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论:裴蜀定理(Bézout's identity)。见 裴蜀定理

辗转相除法

辗转相除法是一种算法,也称 Euclid 算法。见 最大公约数

素数与合数

关于素数的算法见 素数

设整数 \(p\ne0,\pm1\)。如果 \(p\) 除了平凡约数外没有其他约数,那么称 \(p\) 为素数(不可约数)。

若整数 \(a\ne0,\pm 1\)\(a\) 不是素数,则称 \(a\) 为合数。

\(p\)\(-p\) 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明,素数总是指正的素数。

整数的因数是素数,则该素数称为该整数的素因数(素约数)。

素数与合数的简单性质:

  • 大于 \(1\) 的整数 \(a\) 是合数,等价于 \(a\) 可以表示为整数 \(d\)\(e\)\(1<d,e<a\))的乘积。
  • 如果素数 \(p\) 有大于 \(1\) 的约数 \(d\),那么 \(d=p\)
  • 大于 \(1\) 的整数 \(a\) 一定可以表示为素数的乘积。
  • 对于合数 \(a\),一定存在素数 \(p\le\sqrt{a}\) 使得 \(p\mid a\)
  • 素数有无穷多个。
  • 所有大于 \(3\) 的素数都可以表示为 \(6n\pm 1\) 的形式1

算术基本定理

算术基本引理:

\(p\) 是素数,\(p\mid a_1a_2\),那么 \(p\mid a_1\)\(p\mid a_2\) 至少有一个成立。

算术基本引理是素数的本质属性,也是素数的真正定义。

算术基本定理(唯一分解定理):

设正整数 \(a\),那么必有表示:

\[ a=p_1p_2\cdots p_s \]

其中 \(p_j(1\le j\le s)\) 是素数。并且在不计次序的意义下,该表示唯一。

标准素因数分解式:

将上述表示中,相同的素数合并,可得:

\[ a={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_s}^{\alpha_s},p_1<p_2<\cdots<p_s \]

称为正整数 \(a\) 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理,两个定理是等价的。

同余

同余的定义:设整数 \(m\ne0\)。若 \(m\mid(a-b)\),称 \(m\) 为模数(模),\(a\) 同余于 \(b\)\(m\)\(b\)\(a\) 对模 \(m\) 的剩余。记作 \(a\equiv b\pmod m\)

否则,\(a\) 不同余于 \(b\)\(m\)\(b\) 不是 \(a\) 对模 \(m\) 的剩余。记作 \(a\not\equiv b\pmod m\)

这样的等式,称为模 \(m\) 的同余式,简称同余式。

根据整除的性质,上述同余式也等价于 \(a\equiv b\pmod{(-m)}\)

如果没有特别说明,模数总是正整数。

式中的 \(b\)\(a\) 对模 \(m\) 的剩余,这个概念与余数完全一致。通过限定 \(b\) 的范围,相应的有 \(a\) 对模 \(m\) 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质:

  • 自反性:\(a\equiv a\pmod m\)
  • 对称性:若 \(a\equiv b\pmod m\),则 \(b\equiv a\pmod m\)
  • 传递性:若 \(a\equiv b\pmod m,b\equiv c\pmod m\),则 \(a\equiv c\pmod m\)
  • 线性运算:若 \(a,b,c,d\in\mathbf{Z},m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m,c\equiv d\pmod m\) 则有:
    • \(a\pm c\equiv b\pm d\pmod m\)
    • \(a\times c\equiv b\times d\pmod m\)
  • \(a,b\in\mathbf{Z},k,m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m\), 则 \(ak\equiv bk\pmod{mk}\)
  • \(a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid a,d\mid b,d\mid m\),则当 \(a\equiv b\pmod m\) 成立时,有 \(\dfrac{a}{d}\equiv\dfrac{b}{d}\left(\bmod\;{\dfrac{m}{d}}\right)\)
  • \(a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*,d\mid m\),则当 \(a\equiv b\pmod m\) 成立时,有 \(a\equiv b\pmod d\)
  • \(a,b\in\mathbf{Z},d,m\in\mathbf{N}^*\),则当 \(a\equiv b\pmod m\) 成立时,有 \(\gcd(a,m)=\gcd(b,m)\)。若 \(d\) 能整除 \(m\)\(a,b\) 中的一个,则 \(d\) 必定能整除 \(a,b\) 中的另一个。

还有性质是乘法逆元。见 乘法逆元

C/C++ 的整数除法和取模运算

在 C/C++ 中,整数除法和取模运算,与数学上习惯的取模和除法不一致。

对于所有标准版本的 C/C++,规定在整数除法中:

  1. 当除数为 0 时,行为未定义;
  2. 否则 (a / b) * b + a % b 的运算结果与 a 相等。

也就是说,取模运算的符号取决于除法如何取整;而除法如何取整,这是实现定义的(由编译器决定)。

从 C992和 C++113标准版本起,规定 商向零取整(舍弃小数部分);取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真:

Text Only
1
2
3
4
5 % 3 == 2;
5 % -3 == 2;
-5 % 3 == -2;
-5 % -3 == -2;

数论函数

数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\)\(\forall x,y\in\mathbf{N}^*,\gcd(x,y)=1\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\),则 \(f(n)\) 为积性函数。

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\)\(\forall x,y\in\mathbf{N}^*\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\),则 \(f(n)\) 为完全积性函数。

性质

\(f(x)\)\(g(x)\) 均为积性函数,则以下函数也为积性函数:

\[ \begin{aligned} h(x)&=f(x^p)\\ h(x)&=f^p(x)\\ h(x)&=f(x)g(x)\\ h(x)&=\sum_{d\mid x}f(d)g\left(\dfrac{x}{d}\right) \end{aligned} \]

\(x=\prod p_i^{k_i}\)

\(F(x)\) 为积性函数,则有 \(F(x)=\prod F(p_i^{k_i})\)

\(F(x)\) 为完全积性函数,则有 \(F(x)=\prod F(p_i)^{k_i}\)

例子

  • 单位函数:\(\varepsilon(n)=[n=1]\)。(完全积性)
  • 恒等函数:\(\operatorname{id}_k(n)=n^k\)\(\operatorname{id}_{1}(n)\) 通常简记作 \(\operatorname{id}(n)\)。(完全积性)
  • 常数函数:\(1(n)=1\)。(完全积性)
  • 除数函数:\(\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}\)\(\sigma_{0}(n)\) 通常简记作 \(d(n)\)\(\tau(n)\)\(\sigma_{1}(n)\) 通常简记作 \(\sigma(n)\)
  • 欧拉函数:\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]\)
  • 莫比乌斯函数:\(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\exists d>1,d^{2}\mid n\\(-1)^{\omega(n)}&\text{otherwise}\end{cases}\),其中 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 的本质不同质因子个数,它是一个加性函数。
加性函数

此处加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)。对于加性函数 \(f\),当整数 \(a,b\) 互质时,均有 \(f(ab)=f(a)+f(b)\)。 应与代数中的加性函数 (Additive map) 区分。


参考资料与注释