向量
在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「vector」一词的翻译不同。
在物理学科，一般翻译成「矢量」，并且与「标量」一词相对。在数学学科，一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」，等等。
在 OI Wiki，主要面向计算机等工程类相关学科，与数学学科关系更近一些，因此采用「向量」这个词汇。
定义及相关概念
向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 \(\vec a\) 或 \(\boldsymbol{a}\)。
有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。
向量的模：有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为：\(|\overrightarrow{AB}|\) 或 \(|\boldsymbol{a}|\)。
零向量：模为 \(0\) 的向量。零向量的方向任意。记为：\(\vec 0\) 或 \(\boldsymbol{0}\)。
单位向量：模为 \(1\) 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 \(\vec e\) 或 \(\boldsymbol{e}\)。
平行向量：方向相同或相反的两个 非零 向量。记作：\(\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b\)。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。
相等向量：模相等且方向相同的向量。
相反向量：模相等且方向相反的向量。
向量的夹角：已知两个非零向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\)，作 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b\)，那么 \(\theta=\angle AOB\) 就是向量 \(\boldsymbol a\) 与向量 \(\boldsymbol b\) 的夹角。记作：\(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle\)。显然当 \(\theta=0\) 时两向量同向，\(\theta=\pi\) 时两向量反向，\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 时两向量垂直，记作 \(\boldsymbol a\perp \boldsymbol b\)，并且规定 \(\theta \in [0,\pi]\)。
注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。
向量的线性运算
向量的加减法
在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。
类比物理学中的位移概念，假如一个人从 \(A\) 经 \(B\) 走到 \(C\)，那么他经过的位移为 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)，这其实等价于这个人直接从 \(A\) 走到 \(C\)，即 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。
注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。
整理一下向量的加法法则：
- 向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
- 向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。
这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。
因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即：\(\boldsymbol a-\boldsymbol b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)\)。
这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。
有时候有两点 \(A,B\)，想知道 \(\overrightarrow{AB}\)，可以利用减法运算 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\) 获得。
向量的数乘
规定「实数 \(\lambda\) 与向量 \(\boldsymbol a\) 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 \(\lambda \boldsymbol a\)，它的长度与方向规定如下：
- \(|\lambda \boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|\)；
- 当 \(\lambda >0\) 时，\(\lambda\boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol a\) 同向，当 \(\lambda =0\) 时，\(\lambda \boldsymbol a=\boldsymbol 0\)，当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda \boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol a\) 方向相反。
根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：
特别地：
判定两向量共线
两个 非零 向量 \(\boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol b\) 共线 \(\iff\) 有唯一实数 \(\lambda\)，使得 \(\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a\)。
证明：由数乘的定义可知，对于 非零 向量 \(\boldsymbol a\)，如果存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a\)，那么 \(\boldsymbol a \parallel \boldsymbol b\)。
反过来，如果 \(\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b\)，\(\boldsymbol a \not = \boldsymbol 0\)，且 \(|\boldsymbol b|=\mu |\boldsymbol a|\)，那么当 \(\boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol b\) 同向时，\(\boldsymbol b=\mu \boldsymbol a\)，反向时 \(\boldsymbol b=-\mu \boldsymbol a\)。
最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量基本定理
定理内容：如果两个向量 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 不共线，那么存在唯一实数对 \((x,y)\)，使得与 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 共面的任意向量 \(\boldsymbol p\) 满足 \(\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}\)。
平面向量那么多，怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量？
只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。
再加入一个向量，用两个 不共线 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。
在同一平面内的两个不共线的向量称为 基底。如果基底相互垂直，那么在分解的时候就是对向量 正交分解。
平面向量的坐标表示
如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 \(i,j\) 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 \((x,y)\) 一一对应。
而有序实数对 \((x,y)\) 与平面直角坐标系上的点一一对应，于是作 \(\overrightarrow{OP}=\boldsymbol p\)，那么终点 \(P(x,y)\) 也是唯一确定的。由于研究的对象是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。
平面向量的坐标运算
平面向量线性运算
由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。
若两向量 \(\boldsymbol a=(m,n)\)，\(\boldsymbol b=(p,q)\)，则：
求一个向量的坐标表示
已知两点 \(A(a,b),B(c,d)\)，易证 \(\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)\)。
平移一点
有时需要将一个点 \(P\) 沿一定方向平移某单位长度，这样把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 \(\overrightarrow{OP}\) 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。
三点共线的判定
若 \(A,B,C\) 三点共线，则 \(\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)。
三点共线判定的拓展
在三角形 \(ABC\) 中，若 \(D\) 为 \(BC\) 的 \(n\) 等分点（\(n\ BD=k\ DC\)），则有：\(\overrightarrow{AD}=\frac{n}{k+n}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+n}\overrightarrow{AC}\)
在三维空间中的拓展（立体几何/空间向量）
在空间中，以上部分所述的所有内容均成立。更有：
空间向量基本定理
定理内容：如果两个向量 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}\) 不共面，那么存在唯一实数对 \((x,y,z)\)，使得空间中任意向量 \(\boldsymbol p\) 满足 \(\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}+z\boldsymbol{e_3}\)。 根据空间向量基本定理，我们同样可以使用三个相互垂直的基底 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}\) 作为正交基底，建立 空间直角坐标系 并用一个三元组 \((x,y,z)\) 作为坐标表示空间向量。
共面向量基本定理
如果存在两个不共线的向量 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\), 则向量 \(\boldsymbol{p}\) 与 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) 共面的充要条件是存在唯一实数对 \((a,b)\) 使得 \(\boldsymbol{p}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}\)。
法向量
对于一个面 \(ABCD\)，其法向量 \(\boldsymbol{n}\) 与这个面垂直。
计算方法：任取两个面内直线 \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\)，使得 \(\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}\) 且 \(\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}\)，利用坐标法即可计算。
扩展
向量与矩阵
矩阵运算的相关法则与向量运算相似，于是考虑将向量写成矩阵形式，这样就将向量问题化为矩阵问题了。详细内容请参考线性代数。
向量旋转
设 \(\boldsymbol a=(x,y)\)，倾角为 \(\theta\)，长度为 \(l=\sqrt{x^2+y^2}\)。则 \(x=l\cos \theta,y=l\sin\theta\)。令其逆时针旋转 \(\alpha\) 度角，得到向量 \(\boldsymbol b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))\)。
由三角恒等变换得，
化简，
把上面的 \(x,y\) 代回来得
即使不知道三角恒等变换，这个式子也很容易记下来。
向量的更严格定义
上文中，向量被定义为了空间中的有向线段。但是严格来说，向量不仅是有向线段。要作出向量的更严格定义，需要先定义 线性空间，具体内容参见 线性空间 页面的介绍。
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