内积和外积
本文介绍向量之间的简单运算。
在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「inner product」和「outer product」两个词汇有着五花八门的翻译。
在物理学科，一般翻译成「标积」和「矢积」，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上「数量积」和「向量积」也采用了这种意译的办法。
在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译。「点乘」和「叉乘」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。
在「点乘」运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。
内积
内积的概念 对于任意维数的向量都适用。
已知两个向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\)，它们的夹角为 \(\theta\)，那么：
就是这两个向量的 内积，也叫 点积 或 数量积。其中称 \(|\boldsymbol a|\cos \theta\) 为 \(\boldsymbol a\) 在 \(\boldsymbol b\) 方向上的投影。内积的几何意义即为：内积 \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b\) 等于 \(\boldsymbol a\) 的模与 \(\boldsymbol b\) 在 \(\boldsymbol a\) 方向上的投影的乘积。
可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的线性运算。
在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写。如果在向量的右上角有上角标 \(2\)，表示向量与自身内积的简写，即 向量模长的平方，省略模长记号。该上角标 \(2\) 不可以理解为向量的平方，这是因为，向量内积的结果为标量，不存在除了 \(2\) 以外任何个数的向量的内积。同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 \(4\)，而是必须将上角标 \(2\) 的结果视为一个整体，以此类推。
内积满足交换律，即：
互相垂直的两个向量的内积，结果为 \(0\)。向量与零向量内积，结果为 \(0\)。
内积运算有以下应用：
判定两向量垂直
\(\boldsymbol a \perp \boldsymbol b\) \(\iff\) \(\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=0\)
判定两向量共线
\(\boldsymbol a = \lambda \boldsymbol b\) \(\iff\) \(|\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\)
数量积的坐标运算
若 \(\boldsymbol a=(m,n),\boldsymbol b=(p,q),\) 则 \(\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=mp+nq\)
向量的模
\(|\boldsymbol a|=\sqrt {m^2+n^2}\)
两向量的夹角
\(\cos \theta=\cfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}\)
二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式，可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义。在微积分的最后一个部分场论部分，格林公式用到了二阶行列式，高斯公式用到了点乘，斯托克斯公式用到了三阶行列式。
二阶行列式可以视为四元函数，其定义为：
三阶行列式可以视为九元函数，其定义为：
一种特殊的记忆方法是采用「对角线法则」，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。
特别注意：四阶行列式展开后共有 24 项，并且副对角线一项的符号为正。如果强行应用三阶行列式的「对角线法则」，不仅项数不够，副对角线一项的符号也不正确，因此三阶行列式的「对角线法则」不适用于更高阶的行列式，更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算。
外积
外积是 三维向量特有的运算。
在物理学中，三维向量为默认与空间位置相关的向量，一律采用粗体表示。然而，物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体，而是使用特殊的记号与下标。
在线性代数中，所有的向量都会用粗体表示，并且由于麻烦，并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算，很难造成歧义，在手写时可以省略向量记号不写。
定义向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\) 的外积为一个向量，记为 \(\boldsymbol a\times \boldsymbol b\)，其模与方向定义如下：
- \(|\boldsymbol a\times \boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle\)；
- \(\boldsymbol a\times \boldsymbol b\) 与 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\) 都垂直，且 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol a\times \boldsymbol b\) 符合右手法则。
注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式 \(S=\frac{1}{2}ab\sin C\)，可以发现外积的几何意义是：\(|\boldsymbol a\times \boldsymbol b|\) 是以 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\) 为邻边的平行四边形的面积。
两个向量 \(a=(x_1,y_1,z_1)\)，\(b=(x_2,y_2,z_2)\) 外积的结果是一个向量 \(c\)。记作 \(c = a \times b\)。
向量的外积可以使用三阶行列式表示：
其中 \(i, j, k\) 表示和坐标轴 \(x, y, z\) 平行的单位向量，并写在对应坐标处。展开得 \(c = (y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)\)。
对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积：
记 \(\boldsymbol a=(m,n),\boldsymbol b=(p,q)\)，将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，原平面位于新坐标系的 xOy 平面，原本的坐标 \((m,n)\) 和 \((p,q)\) 变为 \((m,n,0)\) 和 \((p,q,0)\)，那么两个向量的外积为 \((0,0,mq-np)\)，因此平行四边形面积为 \(mq-np\)，可以视为二阶行列式运算的结果。此时，根据右手法则和竖坐标符号，可以推断出 \(\boldsymbol b\) 相对于 \(\boldsymbol a\) 的方向，若在逆时针方向竖坐标为正值，反之为负值，简记为 顺负逆正。
外积满足 反交换律，即：
共线的两个三维向量的外积，结果为 \(0\)。三维向量与自身外积，结果为 \(0\)。三维向量与零向量外积，结果为 \(0\)。
根据上文的两个定义：
可以写出恒等式：
混合积
与外积一样，向量的混合积是 三维向量特有的运算。
设 \(a, b, c\) 是空间中三个向量，则 \((a\times b)c\) 称为三个向量 \(a, b, c\) 的混合积，记作 \([a b c]\) 或 \((a,b,c)\) 或 \((abc)\)。混合积的绝对值 \(|(a\times b)c|\) 的几何意义表示以 \(a, b, c\) 为棱的平行六面体的体积。
向量的混合积可以使用三阶行列式表示：
向量的混合积可以用来计算四面体的体积：
混合积 \((a,b,c)\) 的符号是正还是负，取决于 \(a×b\) 与 \(c\) 形成的夹角是锐角还是钝角，即指向 \(a\) 与 \(b\) 张成平面的同侧还是异侧，这相当于 \(a\)、\(b\)、\(c\) 三个向量依序构成右手系还是左手系。
有定理：三个三维向量 \(a\)、\(b\)、\(c\) 共面的充分必要条件是 \((a,b,c)=0\)。
混合积有性质：
二重外积
三维向量的混合积是内积与外积的混搭，具有轮换对称性。三维向量和三维向量的外积还是三维向量，那么外积的外积是否存在相关结论？
先证明一个引理。
证明：由右手定则，\(a\times b\) 与 \(a\) 和 \(b\) 都垂直，待证等式左端与 \(a\times b\) 垂直，因此待证等式左端与 \(a\) 和 \(b\) 共面。
因此可以假设：
根据混合积的相关结论，上式两端同时对于 \(a\) 和 \(b\) 分别做内积，有：
由前文推出的恒等式：
可以解得：
证毕。
在上文的证明中提到，\(a\times b\) 与任意向量叉乘，得到的向量与 \(a\) 和 \(b\) 共面。接下来证明 二重外积 的结论：
上述共面性有助于二重外积结论的记忆。可见，上文的引理为二重外积的特殊情况。
证明：这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况，其他特例为显然的。
三维向量 \(a\)、\(b\) 和 \(a\times b\) 不共面，因此可以假设：
所以有：
根据上文的引理有：
因此有：
证毕。
根据外积的反交换性，可以得到二重外积的两个公式：
可见，二重外积对于运算顺序有着严格的要求。
借助混合积与二重外积，还可以证明拉格朗日的恒等式。
证明：
可见，前文的恒等式
是拉格朗日的恒等式的特殊情形。
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