初等变换

初等矩阵

以下三类方阵称为初等矩阵。

倍乘矩阵

倍乘矩阵是一种特殊的对角矩阵。

\[ D_i(k)=\operatorname{diag}\{1,\cdots,1,k,1,\cdots,1\} \]

表示一个对角阵，主对角线上第 \(i\) 个元素为 \(k\)，并且规定 \(k\) 不能为 \(0\)，其余的元素全部为 \(1\)。

特别地，当 \(k\) 为 \(1\) 的时候，\(D_i(1)\) 就是单位阵 \(I\)。

对换矩阵

对换矩阵是一种特殊的对称矩阵。

\[ P_{ij}=\begin{pmatrix} I_{i-1} & & & & \\ & 0 & & 1 & \\ & & I_{j-i-1} & & \\ & 1 & & 0 & \\ & & & & I_{n-j}\\ \end{pmatrix} \]

对换矩阵的元素全是 \(1\) 和 \(0\)，主对角线上其余元素均为 \(1\)，仅有第 \(i\) 个元素和第 \(j\) 个元素为 \(0\)，而在第 \(i\) 行第 \(j\) 列、第 \(j\) 行第 \(i\) 列上的两个元素为 \(1\)。

对换矩阵要求 \(i\) 与 \(j\) 不能相等。

倍加矩阵

倍加矩阵是在单位阵 \(I\) 的基础上，令第 \(i\) 行第 \(j\) 列为 \(k\)。

\[ T_{ij}(k)=\begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & k & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\\ \end{pmatrix} \]

倍加矩阵要求 \(i\) 与 \(j\) 不能相等。如果 \(k\) 为 \(0\)，则 \(T_{ij}(0)\) 退化为单位阵 \(I\)。

倍加矩阵是一种上三角矩阵或者下三角矩阵。

初等矩阵的行列式

三种初等矩阵具有行列式：

\[ |D_i(k)|=k \]

\[ |P_{ij}|=-1 \]

\[ |T_{ij}(k)|=1 \]

由于方阵乘法的行列式等于行列式的乘法，借助下文初等变换与矩阵乘法的等价性，初等矩阵的这个性质可以用于行列式的计算。

初等变换

不仅限于方阵，对于一般的矩阵 \(A\)，可以进行初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。

初等行变换与初等列变换一样，都有 3 种：倍乘（multiplication）、对换（switching）、倍加（addition）。这里先介绍初等行变换：

第 \(i\) 行乘非零数 \(k\)：\(B\mapsto D_i(k)B\)。
第 \(i\)，\(j\) 行互换：\(B\mapsto P_{ij}B\)。
第 \(j\) 行乘 \(k\) 加到第 \(i\) 行：\(B\mapsto T_{ij}(k)B\)。

将上述操作的行改为列，即得到初等列变换。

在初等变换中，对换可以通过倍乘和倍加实现。显然，倍加不能通过倍乘和对换实现。借助行列式的知识，以及下文的初等变换与矩阵乘法的等价性，也能说明倍乘不能通过倍加和对换实现。

因此，相较对换而言，倍乘和倍加是更为本质的操作。对换操作是为了在消元法中，保证消元的有序，而引入的辅助操作。

初等变换与矩阵乘法

可以发现，三类初等矩阵都是在单位阵 \(I\) 上进行一次相应的变换得到的结果。在后文的线性变换中指出，线性变换与矩阵之间有对应关系，与这里的关系类似。

无论矩阵 \(A\) 是否方阵，对矩阵 \(A\) 进行初等行变换，等价于对矩阵 \(A\) 左乘初等矩阵。对矩阵 \(A\) 进行初等列变换，等价于对矩阵 \(A\) 右乘初等矩阵。

倍乘操作

左乘一个倍乘矩阵 \(D_i(k)\)，等价于将第 \(i\) 行变为 \(k\) 倍。右乘一个倍乘矩阵 \(D_i(k)\)，等价于将第 \(i\) 列变为 \(k\) 倍。

对角阵乘对角阵还是对角阵，对于对角阵的乘法，将主对角线上对应的元素相乘。由于单位阵是特殊的倍乘阵，而倍乘阵要求 \(k\) 不为 \(0\)，可以看出，只要对角阵主对角线上的元素均非 \(0\)，就可以拆分为倍乘阵的乘积。

对于一般的对角阵，无论元素是否为 \(0\)，也有相应的结论。左乘对角阵，等价于将对应的行变为原来的若干倍，倍数恰为对角阵主对角线上的相应元素。右乘对角阵，是对相应的列进行同样操作。

由于倍乘矩阵 \(D_i(k)\) 的行列式为 \(k\)，对于方阵的行或列进行倍乘操作之后，方阵对应的行列式变为原来的 \(k\) 倍。对角阵的行列式为主对角线元素的乘积。

倍乘矩阵的乘法可以交换，对角阵的乘法也可以交换，在乘法只有对角阵时，顺序可以任意排列。

单位阵对应的倍乘操作为保持矩阵 \(A\) 不变，在实际应用中不进行这样的操作。

对换操作

左乘一个对换矩阵 \(P_{ij}\)，等价于将第 \(i\) 行与第 \(j\) 行交换。右乘一个对换矩阵 \(P_{ij}\)，等价于将第 \(i\) 列与第 \(j\) 列交换。

与倍乘阵和对角阵的关系类似，这里引入置换矩阵的概念。置换矩阵是一个方阵，每行每列均恰有一个 \(1\)，其余位置均为 \(0\)。单位阵 \(I\) 也是特殊的置换矩阵。

置换阵和对于单位阵 \(I\) 的行进行置换操作一致，也和对于单位阵 \(I\) 的列进行置换操作一致。单位阵 \(I\) 本身对应于恒等变换。

左乘一个置换矩阵等价于对原矩阵的行进行置换，右乘一个置换矩阵等价于对原矩阵的列进行置换，相应置换的方法和对于单位阵 \(I\) 的行或列进行置换操作一致。

置换矩阵与置换完全对应，置换矩阵构成的乘法群与置换群同构。由于有定理，在恒等变换视为零个对换的乘积的情形下，任何置换都可以拆为对换的乘积，因此任何置换矩阵也可以拆分为对换矩阵的乘积。

由于对换矩阵的行列式为 \(-1\)，对于方阵的行或列进行对换操作之后，方阵对应的行列式变为原来的 \(-1\) 倍。

对换阵的乘法不可交换，置换阵的乘法也不可交换。

置换矩阵的行列式为 \({(-1)}^p\)，其中 \(p\) 为置换矩阵对应置换的逆序数，即置换拆分为对换乘积的个数。

倍加操作

左乘倍加矩阵 \(T_{ij}(k)\) 等价于把第 \(j\) 行的 \(k\) 倍加到第 \(i\) 行上。右乘倍加矩阵 \(T_{ij}(k)\) 等价于把第 \(i\) 列的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 列上。

如果难以记忆，可以观察倍加阵 \(T_{ij}(k)\) 是对单位阵 \(I\) 进行了怎样的操作，两者是对应的，左乘是对行的操作，右乘是对列的操作，符合口诀左行右列。

由于倍加矩阵的行列式为 \(1\)，对于方阵进行倍加操作之后，方阵对应的行列式不变。

倍加矩阵的乘法不可交换。

单位阵对应的倍加操作为保持矩阵 \(A\) 不变，在实际应用中不进行这样的操作。

上三角矩阵

倍加矩阵是一种上三角矩阵或者下三角矩阵。由于两种矩阵关于主对角线对称，这里讨论上三角矩阵。事实上在这个例子中，只需要进行初等行变换，而不需要列变换。

如果一个上三角矩阵的主对角线均为 \(1\)，则可拆分为一连串倍加矩阵的乘积。拆分的顺序为，先对单位矩阵 \(I\) 的第一行进行倍加操作，再对单位矩阵 \(I\) 的第二行进行倍加操作，以此类推，直到每一行均被操作完毕为止。

由于倍加矩阵的乘法不可交换，上述操作不可调换顺序。

如果一个上三角矩阵的主对角线均非 \(0\)，则可拆分为一连串倍加矩阵和倍乘矩阵的乘积。可以在操作单位矩阵 \(I\) 的每一行时，先将该行进行倍乘操作，效果为主对角线元素变为指定非零值。

如果一个上三角矩阵的主对角线存在 \(0\)，则不可拆分为一连串初等矩阵的乘积。

无论上三角矩阵的主对角线上是否有 \(0\)，上三角矩阵的行列式等于主对角线元素乘积，与对角阵一致。

倍加操作将方阵转化为对角阵

只使用倍加操作可以使任意一个方阵变为对角阵，这个例子既需要初等行变换也需要初等列变换。

如果方阵的第一行和第一列存在非零元素，则可以通过倍加办法将左上角元素变为非零，进而借助初等行变换和初等列变换，将第一行和第一列除了左上角元素以外，均变为 \(0\)。

如果方阵的第一行和第一列已经均为 \(0\)，则直接看第二行和第二列即可。

借助这个办法，甚至可以规定对角阵的非零元素均在左上角。

如果方阵的第一行和第一列已经均为 \(0\)，则看剩余的行列是否有非零元素，只要有非零元素，则可以通过倍加操作将第一行和第一列中某个元素变为非 \(0\)，进而化归为一开始的情况，使得左上角元素非 \(0\)。

仅当剩余的行列也均没有非零元素时，左上角无法变为非零元素，此时剩余的方阵已经为零矩阵。

标准形矩阵

借助初等变换可以将任意的矩阵，无论形状，化归为标准形矩阵。

标准形矩阵拥有一个单位阵 \(I\) 作为子矩阵位于左上角，其余部分均为 \(0\)。化归的办法与将方阵转化为对角阵的操作类似，并需要借助倍乘操作使左上角非零元素变为 \(1\)。

矩阵转化为标准形矩阵后，含有元素 \(1\) 的个数恰好为矩阵的秩。

可逆矩阵

设 \(A\) 是一个 \(n\) 阶矩阵。如果存在一个 \(n\) 阶矩阵 \(B\)，使得 \(AB=BA=I\)，那么 \(A\) 叫做一个可逆矩阵或非奇异矩阵，\(B\) 叫做 \(A\) 的逆矩阵，并记为 \(A^{-1}\)。

如果矩阵 \(A\) 可逆，那么 \(A\) 的逆矩阵由 \(A\) 唯一确定。

可逆矩阵 \(A\) 的逆 \(A^{-1}\) 也可逆，并且 \(A^{-1}\) 的逆就是 \(A\)。

两个可逆矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的乘积 \(AB\) 也可逆，并且逆为 \(B^{-1}A^{-1}\)。

可逆矩阵 \(A\) 的转置 \(A^T\) 也可逆，并且转置的逆等于逆的转置。

初等矩阵的逆

初等矩阵均可逆，并且逆为同类的初等矩阵：

\[ {D_i(k)}^{-1}=D_i\left(\frac{1}{k}\right) \]

\[ P_{ij}^{-1}=P_{ij} \]

\[ T_{ij}(k)^{-1}=T_{ij}(-k) \]

显然单位阵 \(I\) 可逆，逆矩阵仍为 \(I\)。

初等变换保持矩阵的可逆性，变换前后矩阵要么同时可逆，要么同时不可逆。

矩阵 \(A\) 可逆，当且仅当矩阵 \(A\) 可以写成初等矩阵的乘积，即可以通过初等变换变为单位阵 \(I\)。

等到引入行列式之后可以知道：

矩阵 \(A\) 可逆，当且仅当矩阵 \(A\) 的秩为 \(n\)，当且仅当矩阵 \(A\) 的行列式非 \(0\)。

一种简单的记法为：记 \(E_{ij}\) 为第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素为 \(1\)、其余为零的 \(n\times n\) 矩阵，那么

\(D_i(k)=I_n+(k-1)E_{ii}\)
\(P_{ij}=I_n-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}\)
\(T_{ij}(k)=I_n+kE_{ij}\)

这种记法也可以应用于它们的逆矩阵。

应用

线性方程组求解

对于一个线性方程组，未知数前的系数构成系数矩阵，如果在系数矩阵右端补上线性方程组的常数项则构成增广矩阵。

应用初等行变换，可以将线性方程组对应的增广矩阵先转化为行阶梯形矩阵，再转化为行最简形矩阵，进而完成线性方程组的求解。这个方法叫做消元法解线性方程组，后文的 Gauss-Jordan 消元，是按照一定的顺序进行的消元算法。

行列式计算

由于方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积，初等矩阵的行列式便于计算，以及初等变换等价于初等矩阵的乘法，在行列式计算中也会使用初等变换。

由于按照一定的顺序进行初等变换更加便于程序书写，行列式计算也可以使用后文的 Gauss-Jordan 消元算法。

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