对角化

特征子空间

矩阵 \(A\) 的属于 \(\lambda_0\) 的全部特征向量，再添上零向量，构成一个线性空间，称为矩阵 \(A\) 的一个特征子空间，记为 \(E(\lambda_0)\)。它是齐次线性方程组：

\[ (\lambda_0 I-A)X=0 \]

的解空间。

对于特征子空间 \(E(\lambda_i)=N(\lambda_i I-A)\)，由亏加秩定理有：

\[ r(\lambda_i I-A)+\operatorname{dim} N(\lambda_i I-A)=n \]

因此，特征子空间 \(E(\lambda_i)\) 的维数为：

\[ \operatorname{dim} E(\lambda_i)=n-r(\lambda_i I-A) \]

也称为 \(\lambda_i\) 的 几何重数。

不变子空间

在研究线性变换 \(T\) 的时候，常常希望选取空间 \(V\) 的一个基，使得线性变换 \(T\) 对于这个基的矩阵具有尽可能简单的形状。

设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，\(W\) 是 \(V\) 的一个子空间，\(T\) 是 \(V\) 上的一个线性变换。如果对于 \(W\) 中任意的向量 \(x\)，都有 \(T(x)\) 也在 \(W\) 中（也称为空间在变换下不变或稳定），称 \(W\) 是 \(T\) 的一个不变子空间。

空间在变换下不变，并不是说坐标在变换下真的「不变」，有可能是进行了一个拉伸等变形，只是变形后还落在空间里。

线性空间 \(V\) 的任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间。
对于 \(V\) 中任意的线性变换 \(T\)，空间 \(V\) 和零子空间都是 \(T\) 的不变子空间，称为平凡不变子空间。
不变子空间的交与和也是不变子空间。

设 \(W\) 是线性变换 \(T\) 的一个不变子空间。只考虑 \(T\) 在不变子空间 \(W\) 上的作用，就得到子空间 \(W\) 本身的线性变换，称为 \(T\) 在子空间 \(W\) 上的限制，记作 \({T|}_W\)。

对于 \(V\) 中任意的线性变换 \(T\)，像空间 \(R(T)\) 与核空间 \(N(T)\) 是 \(T\) 的不变子空间。这两种情况的含义是，空间 \(V\) 在变换前后，完成了自身的压缩（像空间），或者压缩到 \(0\)（核空间）。

对于 \(V\) 中任意的线性变换 \(T\)，\(T\) 的特征子空间是 \(T\) 的不变子空间。

准素分解

根据代数基本定理，最小多项式可以分解为：

\[ m_A(\lambda)={(\lambda-\lambda_1)}^{r_1}\cdots{(\lambda-\lambda_S)}^{r_S} \]

考虑最小多项式代入变元 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 后，各个因式的核空间，构成矩阵 \(A\) 的一系列不变子空间：

\[ W_i=N({(\lambda_i I-A)}^{r_i}) \]

定理：该不变子空间 \(W_i\) 的维数，恰好为特征值 \(\lambda_i\) 的代数重数。

回顾一下，代数重数是指特征多项式各个因式的次数，几何重数是指特征子空间 \(E(\lambda_i)=N(\lambda_i I-A)\) 的维数。这个不变子空间 \(W_i\) 与特征子空间 \(E(\lambda_i)\)，两者都是矩阵的核空间，并且两个矩阵构成最小多项式 \(r_i\) 次幂的关系。也就是说，特征子空间的维数是几何重数，「特征子空间」经过最小多项式 \(r_i\) 次幂后到达一个「不变子空间」，不变子空间的维数到达了特征多项式的代数重数。

该定理其实是下面准素分解定理的推论。

记矩阵 \(A\) 对应的线性变换 \(T\)，在每个子空间 \(W_i\) 上的限制 \(T_i={T|}_{W_i}\)。于是 \(T_i\) 的最小多项式是 \((x-\lambda_i)^{r_i}\)。

定理：设 \(V\) 是域 \(F\) 上的线性空间，\(T\) 是 \(V\) 上的一个线性变换。那么空间 \(V\) 可以关于线性变换 \(T\) 进行准素分解，拆成若干不变子空间 \(W_i\) 的直和。

\[ V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S \]

这意味着，\(T\) 在某组基下的矩阵是准对角阵：

\[ \operatorname{diag}\{A_1,A_2,\cdots,A_S\} \]

其中，\(A_i\) 是 \(T_i\) 在对应基下的矩阵。

该定理表明，可以使用不变子空间简化线性变换的矩阵。

可对角化矩阵

对于 \(n\) 阶方阵 \(A\)，如果相似于一个对角阵，则称 \(A\) 为可对角化矩阵，或称单纯矩阵。

对角阵的和、积、逆，如果存在，仍然是对角阵，其对角线上的元素就是它的特征值。
线性变换 \(T\) 的矩阵为可对角化矩阵，等价于 \(T\) 在某组基下的矩阵为对角阵。

定理：设矩阵 \(A\) 的全部互异特征根为 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\)，则以下命题等价：

矩阵 \(A\) 可对角化。
矩阵 \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量。
以下公式成立：

\[ \operatorname{dim} E(\lambda_1)+\cdots+\operatorname{dim} E(\lambda_m)=n \]

前文已经指出，特征多项式的分解式中特征值的次数称为代数重数，特征子空间的维数称为几何重数。这个定理也表明，矩阵 \(A\) 可对角化，等价于 \(A\) 的每个特征值 \(\lambda\) 的代数重数都等于它的几何重数。

推论：如果 \(n\) 阶方阵 \(A\) 恰有 \(n\) 个互异特征值，则它必可对角化。反之则不一定。

定理：矩阵 \(A\) 可对角化当且仅当 \(A\) 的最小多项式没有重根。

矩阵的相似也会保持特征向量之间的线性相关关系不变。

特征向量完全可能不是实数，也完全可能找不到 \(n\) 个线性无关的特征向量。

对于重特征值而言，特征向量张成空间。为了描述这个空间，需要从其中选择代表。一般会选择线性无关的代表，代表的个数就是空间的维数。

选取代表时，常常将它们正交化与单位化。最终得到的就是一套单位正交的代表。

特征向量不一定正交，不同特征值的特征向量，可能无法正交。因此正交化只能对于重特征值的特征向量进行。但是单位化可以对任意特征向量进行。

幂零矩阵

设 \(T\) 是空间 \(V\) 的一个线性变换。如果存在一个正整数 \(r\)，使得 \(T^r\) 为零变换，称 \(T\) 是空间 \(V\) 的一个幂零变换。

对于某一个正整数 \(r\)，满足条件 \(N^r=0\) 的矩阵称为幂零矩阵。

一般可以进一步假定 \(r\) 是使 \(T^r\) 为零变换的最小正整数，于是 \(T\) 的最小多项式是 \(x^r\)。于是存在一个向量 \(\xi_0\)，使得：

\[ T^r(\xi_0)=0 \]
\[ T^{r-1}(\xi_0)\neq 0 \]

循环子空间

定理：设 \(T\) 是空间 \(V\) 的一个线性变换，\(\xi\) 是空间 \(V\) 的一个向量。如果存在一个正整数 \(s\)，使得：

\[ T^s(\xi)=0 \]
\[ T^{s-1}(\xi)\neq 0 \]

那么向量 \(\xi,T(\xi),\cdots,T^{s-1}(\xi)\) 线性无关。

由这个定理可以给出一个定义：

设 \(T\) 是空间 \(V\) 的一个线性变换，\(W\) 是 \(V\) 的一个子空间。如果存在一个向量 \(\xi_0\) 和一个正整数 \(r\)，使得：

向量 \(\xi_0,T(\xi_0),\cdots,T^{r-1}(\xi_0)\) 构成 \(W\) 的一个基。
如下等式成立：

\[ T^r(\xi_0)=0 \]

那么子空间 \(W\) 称为关于 \(T\) 的一个循环子空间，简称 \(T\) 循环子空间。此时 \(\xi_0\) 称为循环子空间 \(W\) 的一个生成向量，向量 \(\xi_0,T(\xi_0),\cdots,T^{r-1}(\xi_0)\) 称为 \(W\) 的一个循环基。

显然，一个 \(T\) 循环子空间 \(W\) 在 \(T\) 作用下不变，并且对于循环子空间 \(W\) 中的任意向量 \(\xi\)，均有 \(T^r(\xi)=0\)，这里 \(r\) 为循环子空间的维数。

幂零 Jordan 块

如果空间 \(W\) 是变换 \(T\) 的循环子空间，那么 \(T\) 在 \(W\) 上的限制 \({T|}_W\) 是 \(W\) 的一个幂零变换，并且 \({T|}_W\) 关于 \(W\) 的倒序排列的循环基 \(T^{r-1}(\xi_0),T^{r-2}(\xi_0),\cdots,\xi_0\) 的矩阵是如下形状的 \(r\) 阶上三角矩阵：

\[ N_r=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \]

矩阵 \(N_r\) 称为一个 \(r\) 阶幂零 Jordan 矩阵，或者 \(r\) 阶幂零 Jordan 块。

设 \(T\) 是 \(n\) 维空间 \(V\) 的一个幂零变换，把出现在 \(V\) 关于 \(T\) 的循环子空间的分解中，唯一确定的一组正整数 \(r_1\geq\cdots\geq r_S\) 叫做 \(T\) 的不变指数。

对于 \(n\) 阶幂零矩阵 \(A\)，\(A\) 与一个上述形状的矩阵 \(N\) 相似，也唯一确定一个正整数序列 \(r_1\geq\cdots\geq r_S\)，称为矩阵 \(A\) 的不变指数。

幂零阵虽然不能和对角阵相似，但是可以相似于这样的标准形式。在 Jordan 标准型，将相似对角化与幂零阵的标准形式，二者结合起来，给出一般的矩阵通过相似变换可以达到的标准形式。

一些定理

设 \(T\) 是空间 \(V\) 的一个幂零变换，而

\[ h(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m \]

是一个多项式，那么当且仅当 \(a_0\neq 0\) 时，线性变换 \(h(T)\) 有逆变换。当 \(h(T)\) 可逆时，\(h(T)\) 的逆变换也是 \(T\) 的一个多项式。
设 \(T\) 是空间 \(V\) 的一个幂零变换，\(W\) 是一个 \(r\) 维 \(T\) 循环子空间，\(\xi\) 是 \(W\) 中的向量。如果存在一个整数 \(k\)，使得

\[ T^{r-k}(\xi)=0 \]

那么存在 \(W\) 中的向量 \(\eta\)，使得

\[ \xi=T^k(\eta) \]
设 \(T\) 是 \(n\) 维空间 \(V\) 的一个幂零变换，\(x^r\) 是 \(T\) 的最小多项式，令 \(W_1\) 是一个 \(r\) 维 \(T\) 循环子空间，那么存在 \(W_1\) 的一个余子空间 \(W_2\)，使得：

\[ V=W_1\oplus W_2 \]

并且 \(W_2\) 也在 \(T\) 作用下不变。
设 \(T\) 是 \(n\) 维空间 \(V\) 的一个幂零变换，那么 \(V\) 可以分解为 \(T\) 循环子空间的直和：

\[ V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S \]
每一个 \(n\) 阶幂零矩阵都与一个形如：

\[ N=\begin{pmatrix} N_{r_1} & & & 0\\ & N_{r_2} & & \\ & & \cdots & \\ 0 & & & N_{r_S}\\ \end{pmatrix} \]

的矩阵相似，这里的每一个 \(N_{r_i}\) 是一个 \(r_i\) 阶幂零 Jordan 块。
如果规定 \(T\) 循环子空间 \(W_i\) 按照维数 \(r_i\) 降序排列 \(r_1\geq\cdots\geq r_S\)，那么将 \(V\) 分解为 \(T\) 循环子空间的方法是由 \(T\) 唯一确定的。

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