数值积分

定积分的定义

简单来说，函数 \(f(x)\) 在区间 \([l,r]\) 上的定积分 \(\int_{l}^{r}f(x)\mathrm{d}x\) 指的是 \(f(x)\) 在区间 \([l,r]\) 中与 \(x\) 轴围成的区域的面积（其中 \(x\) 轴上方的部分为正值，\(x\) 轴下方的部分为负值）。

很多情况下，我们需要高效，准确地求出一个积分的近似值。下面介绍的 辛普森法，就是这样一种求数值积分的方法。

辛普森法

这个方法的思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。

根据这个辛普森公式，我们先介绍一种普通的辛普森积分法。

普通辛普森法

1743 年，这种方法发表于托马斯·辛普森的一篇论文中。

描述

给定一个自然数 \(n\)，将区间 \([l, r]\) 分成 \(2n\) 个等长的区间 \(x\)。

\(x_i = l + i h, ~~ i = 0 \ldots 2n,\) \(h = \frac {r-l} {2n}.\)

我们就可以计算每个小区间 \([x_ {2i-2}, x_ {2i}]\)，\(i = 1\ldots n\) 的积分值，将所有区间的积分值相加即为总积分。

对于 \([x_ {2i-2}, x_ {2i}]\)，\(i = 1\ldots n\) 的一个区间，选其中的三个点 \((x_ {2i-2}, x_ {2i-1}, x_ {2i})\) 就可以构成一条抛物线从而得到一个函数 \(P(x)\)，这个函数存在且唯一。计算原函数在该区间的积分值就变成了计算新的二次函数 \(P(x)\) 在该段区间的积分值。这样我们就可以利用辛普森公式来近似计算它。

\(\int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} f (x) ~dx \approx \int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} P (x) ~dx = \left(f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1})+(f(x_{2i})\right)\frac {h} {3}\)

将其分段求和即可得到如下结论：

\(\int_l ^ r f (x) dx \approx \left(f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4f(x_3) + 2 f(x_4) + \ldots + 4 f(x_{2N-1}) + f(x_{2N}) \right)\frac {h} {3}\)

误差

我们直接给出结论，普通辛普森法的误差为：

其中 \(\xi\) 是位于区间 \([l,r]\) 的某个值。

实现

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const int N = 1000 * 1000;

double simpson_integration(double a, double b) {
  double h = (b - a) / N;
  double s = f(a) + f(b);
  for (int i = 1; i <= N - 1; ++i) {
    double x = a + h * i;
    s += f(x) * ((i & 1) ? 4 : 2);
  }
  s *= h / 3;
  return s;
}

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N = 1000 * 1000

def simpson_integration(a, b):
    h = (b - a) / N
    s = f(a) + f(b)
    for i in range(1, N):
        x = a + h * i
        if i & 1:
            s = s + f(x) * 4
        else:
            s = s + f(x) * 2
    s = s * (h / 3)
    return s

自适应辛普森法

普通的方法为保证精度在时间方面无疑会受到 \(n\) 的限制，我们应该找一种更加合适的方法。

现在唯一的问题就是如何进行分段。如果段数少了计算误差就大，段数多了时间效率又会低。我们需要找到一个准确度和效率的平衡点。

我们这样考虑：假如有一段图像已经很接近二次函数的话，直接带入公式求积分，得到的值精度就很高了，不需要再继续分割这一段了。

于是我们有了这样一种分割方法：每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似的话就直接代入公式计算，否则将当前段分割成左右两段递归求解。

现在就剩下一个问题了：如果判断每一段和二次函数是否相似？

我们把当前段直接代入公式求积分，再将当前段从中点分割成两段，把这两段再直接代入公式求积分。如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话，就可以认为当前段和二次函数很相似了，不用再递归分割了。

上面就是自适应辛普森法的思想。在分治判断的时候，除了判断精度是否正确，一般还要强制执行最少的迭代次数。

参考代码如下：

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double simpson(double l, double r) {
  double mid = (l + r) / 2;
  return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6;  // 辛普森公式
}

double asr(double l, double r, double eps, double ans, int step) {
  double mid = (l + r) / 2;
  double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
  if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps && step < 0)
    return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;  // 足够相似的话就直接返回
  return asr(l, mid, eps / 2, fl, step - 1) +
        asr(mid, r, eps / 2, fr, step - 1);  // 否则分割成两段递归求解
}

double calc(double l, double r, double eps) {
  return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12);
}

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def simpson(l, r):
    mid = (l + r) / 2
    return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6 # 辛普森公式
def asr(l, r, eps, ans, step):
    mid = (l + r) / 2
    fl = simpson(l, mid); fr = simpson(mid, r)
    if abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps and step < 0:
        return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15 # 足够相似的话就直接返回
    return asr(l, mid, eps / 2, fl, step - 1) + \
          asr(mid, r, eps / 2, fr, step - 1) # 否则分割成两段递归求解
def calc(l, r, eps):
    return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12)

习题

• Luogu4525【模板】自适应辛普森法 1
• HDU1724 Ellipse
• NOI2005 月下柠檬树

参考资料

https://doi.org/10.1145/321526.321537：该文章讨论了自适应 Simpson 法的改进方案，其中详细论述了上文代码中的常数 15 的由来与优势。

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