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傅里叶-莫茨金消元法

引入

傅里叶 - 莫茨金消元法（原名 Fourier-Motzkin Elimination，简称 FME 算法）是一种用于从线性不等式中消除变量的数学方法。

它的命名源自于在 1827 年和 1936 年独立发现该算法的 Joseph Fourier 和 Theodore Motzkin 的姓氏。

过程

从线性不等式中消除一组变量，是指通过将关系式中的若干个元素有限次地变换，消去其中的某些元素，从而解决问题的一种方法。

如果线性不等式中的所有变量都被消除，那么我们会得到一个常不等式。因为当且仅当原不等式有解时，消元后的不等式才为真，消除所有变量可用于检测不等式系统是否有解。

考虑一个含 \(n\) 个不等式的系统 \(S\)，有从 \(x_{1}\) 到 \(x_{r}\) 的 \(r\) 个变量，其中 \(x_{r}\) 为要消除的变量。根据 \(x_r\) 系数的符号（正、负或空），\(S\) 中的线性不等式可以分为三类：

  1. 形式为 \(x_{r}\geq b_{i}-\sum _{k=1}^{r-1}a_{ik}x_{k}\) 的不等式，对于范围从 \(1\) 到 \(n_{A}\)（\(n_{A}\) 为这种不等式的数量）的 \(j\)，用 \(x_{r}\geq A_{j}(x_{1},\dots ,x_{r-1})\) 表示；
  2. 形式为 \(x_{r}\leq b_{i}-\sum _{k=1}^{r-1}a_{ik}x_{k}\) 的不等式，对于范围从 \(1\) 到 \(n_{B}\)（\(n_{B}\) 为这种不等式的数量）的 \(j\)，用 \(x_{r}\leq B_{j}(x_{1},\dots ,x_{r-1})\) 表示；
  3. 不包含 \(x_{r}\) 的不等式，设它们构成的不等式组为 \(\phi\)。

因此原系统等价于

\[ \max(A_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,A_{n_{A}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\leq x_{r}\leq \min(B_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,B_{n_{B}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\wedge \phi \]

消元包括产生一个等价于 \(\exists x_{r}~S\) 的系统。显然，这个公式等价于

\[ \max(A_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,A_{n_{A}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\leq \min(B_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,B_{n_{B}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\wedge \phi \]

不等式

\[ \max(A_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,A_{n_{A}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\leq \min(B_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,B_{n_{B}}(x_{1},\dots ,x_{r-1})) \]

等价于对于 \(1 \leq i \leq n_{A}\) 且 \(1\leq j\leq n_{B}\)，所有 \(n_{A}n_{B}\) 个不等式 \(A_{i}(x_{1},\dots ,x_{r-1})\leq B_{j}(x_{1},\dots ,x_{r-1})\) 构成的不等式组。

因此，我们将原系统 \(S\) 转换为另一个消掉 \(x_{r}\) 的系统，这个系统有 \((n-n_{A}-n_{B})+n_{A}n_{B}\) 个不等式。特别地，如果 \(n_{A}=n_{B}=n/2\)，那么新系统不等式的个数为 \(n^{2}/4\)。

例题

考虑以下不等式系统：

\(2x-5y+4z \leq 10\)

\(3x-6y+3z \leq 9\)

\(-x+5y-2z \leq -7\)

\(-3x+2y+6z \leq 12\)

为了消除 \(x\)，我们可以根据 \(x\) 改写不等式：

\(x \leq (10 + 5y - 4z)/2\)

\(x \leq (9 + 6y - 3z)/3\)

\(x \geq 7 + 5y - 2z\)

\(x \geq (-12 + 2y + 6z)/3\)

这样我们得到两个 \(\leq\) 不等式和两个 \(\geq\) 不等式；如果每个 \(\leq\) 不等式的右侧至少是每个 \(\geq\) 不等式的右侧，则系统有一个解。我们有 \(2\times2\) 这样的组合：

\(7 + 5y - 2z \leq (10 + 5y - 4z)/2\)

\(7 + 5y - 2z \leq (9 + 6y - 3z)/3\)

\((-12 + 2y + 6z)/3 \leq (10 + 5y - 4z)/2\)

\((-12 + 2y + 6z)/3 \leq (9 + 6y - 3z)/3\)

现在我们有了一个新的少了一个变量不等式系统。

时间复杂度

在 \(n\) 个不等式上消元可以最多得到 \(n^{2}/4\) 个不等式，因此连续运行 \(d\) 步可以得到最多 \(4(n/4)^{2^{d}}\) 的双指数复杂度。这是由于算法产生了许多不必要的约束（其他约束隐含的约束）。必要约束的数量以单一指数增长。

可以使用线性规划 (Linear Programming, LP) 检测不必要的约束。

应用

信息论的可实现性证明保证了存在性能良好的编码方案的条件。这些条件通常使用线性不等式系统描述。系统的变量包括传输速率和附加辅助速率。通常，人们旨在仅根据问题的参数（即传输速率）来描述通信的基本限制，因此述辅助率需要消除上。而我们正是通过傅立叶 - 莫茨金消元法来做到这一点的。

实现

在编程语言中，Racket，一种基于 Lisp 的多范式编程语言在 fme - Fourier-Motzkin Elimination for Integer Systems) 中对 FME 算法做了简单函数代数实现。

参考资料与拓展阅读

  1. Rui-Juan Jing, Marc Moreno-Maza, Delaram Talaashrafi, "Complexity Estimates for Fourier-Motzkin Elimination", Journal of Functional Programming 16:2 (2006) pp 197-217.
  2. Fourier–Motzkin elimination - Wikipedia
  3. Fourier-Motzkin elimination and its dual
  4. GE Liepins,Fourier-Motzkin elimination for mixed systems, 1983
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