Entringer Number

恩特林格数

恩特林格数（Entringer number，OEIS A008281）\(E(n,k)\) 是满足下述条件的 \(0\) 到 \(n\) 共 \(n+1\) 个数的置换数目：

首元素是 \(k\)；
首元素的下一个元素比首元素小，再下一个元素比前一个元素大，再下一个元素比前一个元素小……后面相邻元素的大小关系均满足这样的规则。

恩特林格数的初值有：

\[ E(0,0)=1 \]

\[ E(n,0)=0 \]

有递推关系：

\[ E(n,k)=E(n,k-1)+E(n-1,n-k) \]

Seidel-Entringer-Arnold 三角

恩特林格数的一个适当排列的数字三角，称为 Seidel-Entringer-Arnold 三角（Seidel-Entringer-Arnold triangle，OEIS A008280）。该三角是按照「牛耕」顺序（ox-plowing order）排列的恩特林格数 \(E_(n,k)\)：

\[ \begin{aligned} & E(0,0) \\ & E(1,0) \rightarrow E(1,1) \\ & E(2,2) \leftarrow E(2,1) \leftarrow E(2,0) \\ & E(3,0) \rightarrow E(3,1) \rightarrow E(3,2) \rightarrow E(3,3) \\ & E(4,4) \leftarrow E(4,3) \leftarrow E(4,2) \leftarrow E(4,1) \leftarrow E(4,0) \end{aligned} \]

即：

\[ \begin{aligned} & 1 \\ & 0 \rightarrow 1 \\ & 1 \leftarrow 1 \leftarrow 0 \\ & 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \\ & 5 \leftarrow 5 \leftarrow 4 \leftarrow 2 \leftarrow 0 \end{aligned} \]

按照这种方式排列的恩特林格数的优势是，与它的递推关系 \(E(n,k)=E(n,k-1)+E(n-1,n-k)\) 一致，可以方便记忆和理解。

恩特林格数有一个指数型生成函数：

\[ \sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty E\left(m+n,\frac{1}{2}\left(m+n+{(-1)}^{m+n}(n-m)\right)\right)\frac{x^m}{m!}\frac{x^n}{n!}=\frac{\cos x+\sin x}{\cos (x+y)} \]

这个生成函数的系数分布事实上是上面的 Seidel-Entringer-Arnold 三角的简单拉伸变形：

\[ \begin{array}{ccccc} E(0,0) & E(1,1) & E(2,0) & E(3,3) & E(4,0) \\ E(1,0) & E(2,1) & E(3,2) & E(4,1) & \\ E(2,2) & E(3,1) & E(4,2) & & \\ E(3,0) & E(4,3) & & & \\ E(4,4) & & & & \end{array} \]

即：

\[ \begin{aligned} & 1\quad 1\quad 0\quad 2\quad 0\\ & 0\quad 1\quad 2\quad 2\\ & 1\quad 1\quad 4\\ & 0\quad 5\\ & 5 \end{aligned} \]

zigzag 置换

一个 zigzag 置换（zigzag permutation）是一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(c_1\) 到 \(c_i\)，使得任意一个元素 \(c_i\) 的大小都不介于 \(c_{i-1}\) 和 \(c_{i+1}\) 之间。

对于 zigzag 置换的个数 \(Z_n\)（OEIS A001250），从 \(n=0\) 开始有：

\[ 1, 1, 2, 4, 10, 32, 122, 544, \cdots \]

例如，前几个 \(n\) 的交替置换有：

\[ \begin{aligned} n=1: & \{1\}\\ n=2: & \{1,2\}, \{2,1\}\\ n=3: & \{1,3,2\}, \{2,1,3\}, \{2,3,1\}, \{3,1,2\}\\ n=4: & \{1,3,2,4\}, \{1,4,2,3\}, \{2,1,4,3\}, \{2,3,1,4\}, \{2,4,1,3\}, \\ & \{3,1,4,2\}, \{3,2,4,1\}, \{3,4,1,2\}, \{4,1,3,2\}, \{4,2,3,1\} \end{aligned} \]

交替置换与 zigzag 数

（注意和「错位排列」进行概念上的区分。）

对于大于 \(1\) 的 \(n\)，每个 zigzag 置换翻转过来仍旧为 zigzag 置换，可以两两配对，所以必然为偶数。

这里再给出一种配对的方法：将 zigzag 置换分为交替置换（alternating permutation）和反交替置换（reverse alternating permutation）。

交替置换的首元素大于第二个元素，大小关系为：

\[ c1>c2<c3>\cdots \]

反交替置换的首元素小于第二个元素，大小关系为：

\[ c1<c2>c3<\cdots \]

如果将 \(1\) 和 \(n\) 位置互换，\(2\) 和 \(n-1\) 位置互换，以此类推，即可将交替置换与反交替置换两个集合互换。因此，交替置换与反交替置换的个数相等，恰好为 zigzag 置换的一半。

对于大于 \(1\) 的 \(n\)，记：

\[ A_n=\frac{Z_n}{2} \]

定义初值：

\[ A_0=A_1=1 \]

这里的 \(A_n\) 称为 zigzag 数（Euler zigzag number，OEIS A000111），从 \(n=0\) 开始有：

\[ 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, \cdots \]

接下来试着求解 \(A_n\)。

从 \(1\) 到 \(n\) 之中，选取 \(k\) 个数构成子集，有 \(C_n^k\) 种选法。

在这个 \(k\) 元子集中，选反交替置换 \(u\)，有 \(A_k\) 种选法；用全集减掉这个 \(k\) 元子集，剩余的 \(n-k\) 元子集中，选反交替置换 \(v\)，有 \(A_{n-k}\) 种选法。

考虑 \(n+1\) 元排列 \(w\)，将 \(u\) 倒置作为开头，接上 \(n+1\)，再接上 \(v\)。那么，\(w\) 一定是 zigzag 置换，并且任意一个 \(n+1\) 元 zigzag 置换，都可以在 \(n+1\) 处截断得到对应的反交替置换 \(u\) 和 \(v\)，并且不同的 \(n+1\) 元 zigzag 置换对应的 \(u\) 和 \(v\) 不同。

因此有递推关系：

\[ 2A_{n+1}=\sum_{k=0}^n C_n^k A_k A_{n-k} \]

\[ 2(n+1)\frac{A_{n+1}}{(n+1)!}=\sum_{k=0}^n \frac{A_k}{k!}\frac{A_{n-k}}{(n-k)!} \]

当 \(n\) 为 \(0\) 时并不满足这个递推式，初值 \(A_0\) 和 \(A_1\) 都是 \(1\)。

可见，这是一个指数型生成函数的卷积。假设 \(A_n\) 的指数型生成函数为 \(y\)，就有微分方程：

\[ 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^2+1 \]

等式右面加 \(1\) 是为了处理 \(n\) 为 \(0\) 时的特殊情况。该方程的通解为：

\[ y=\tan\left(\frac{1}{2}x+C\right) \]

代入第 \(0\) 项为 \(1\) 之后，可以得到特解：

\[ y=\tan x+\sec x \]

正切函数是奇函数，正割函数是偶函数，两者之和构成 zigzag 数的生成函数。

恩特林格数与 zigzag 数的关系

根据恩特林格数的定义，恩特林格数 \(E(n,k)\) 是首元素为 \(k\) 的 \(0\) 到 \(n\) 的交替置换个数。因此恩特林格数与 zigzag 数事实上有关系：

\[ A_n=E(n,n) \]

将 \(A_n\) 称为「zigzag 数」也有原因：记 \(E_n\) 是欧拉数（Euler number），\(B_n\) 是伯努利数。

当 \(n\) 为偶数时，偶数项下标的 zigzag 数也称「正割数」\(S_n\) 或者「zig 数」。有关系：

\[ A_n=i^nE_n \]

前几项为（OEIS A000364）：

\[ 1, 1, 5, 61, 1385, \cdots \]

当 \(n\) 为奇数时，奇数项下标的 zigzag 数也称「正切数」\(T_n\) 或者「zag 数」。有关系：

\[ A_n=-\frac{{2i}^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1} \]

前几项为（OEIS A000182）：

\[ 1, 2, 16, 272, 7936, \cdots \]

于是对于在 \(x=0\) 处的泰勒展开，可以给出正割数和正切数：

\[ \sec x=A_0+A_2\frac{x^2}{2!}+A_4\frac{x^4}{4!}+\cdots \]

\[ \tan x=A_1x+A_3\frac{x^3}{3!}+A_5\frac{x^5}{5!}+\cdots \]

或者写到一起：

\[ \sec x+\tan x=A_0+A_1x+A_2\frac{x^2}{2!}+A_3\frac{x^3}{3!}+A_4\frac{x^4}{4!}+A_5\frac{x^5}{5!}+\cdots \]

构成 zigzag 数的生成函数。

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