康托展开

康托展开可以用来求一个 \(1\sim n\) 的任意排列的排名。

什么是排列的排名？

把 \(1\sim n\) 的所有排列按字典序排序，这个排列的位次就是它的排名。

时间复杂度？

康托展开可以在 \(O(n^2)\) 的复杂度内求出一个排列的排名，在用到树状数组优化时可以做到 \(O(n\log n)\)。

怎么实现？

因为排列是按字典序排名的，因此越靠前的数字优先级越高。也就是说如果两个排列的某一位之前的数字都相同，那么如果这一位如果不相同，就按这一位排序。

比如 \(4\) 的排列，\([2,3,1,4]<[2,3,4,1]\)，因为在第 \(3\) 位出现不同，则 \([2,3,1,4]\) 的排名在 \([2,3,4,1]\) 前面。

举个栗子

我们知道长为 \(5\) 的排列 \([2,5,3,4,1]\) 大于以 \(1\) 为第一位的任何排列，以 \(1\) 为第一位的 \(5\) 的排列有 \(4!\) 种。这是非常好理解的。但是我们对第二位的 \(5\) 而言，它大于 第一位与这个排列相同的，而这一位比 \(5\) 小的 所有排列。不过我们要注意的是，这一位不仅要比 \(5\) 小，还要满足没有在当前排列的前面出现过，不然统计就重复了。因此这一位为 \(1,3\) 或 \(4\)，第一位为 \(2\) 的所有排列都比它要小，数量为 \(3\times 3!\)。

按照这样统计下去，答案就是 \(1+4!+3\times 3!+2!+1=46\)。注意我们统计的是排名，因此最前面要 \(+1\)。

注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现，这里用树状数组统计比它小的数出现过的次数就可以了。

逆康托展开

因为排列的排名和排列是一一对应的，所以康托展开满足双射关系，是可逆的。可以通过类似上面的过程倒推回来。

如果我们知道一个排列的排名，就可以推出这个排列。因为 \(4!\) 是严格大于 \(3\times 3!+2\times 2!+1\times 1!\) 的，所以可以认为对于长度为 \(5\) 的排列，排名 \(x\) 除以 \(4!\) 向下取整就是有多少个数小于这个排列的第一位。

引用上面展开的例子

首先让 \(46-1=45\)，\(45\) 代表着有多少个排列比这个排列小。\(\lfloor\frac {45}{4!}\rfloor=1\)，有一个数小于它，所以第一位是 \(2\)。

此时让排名减去 \(1\times 4!\) 得到 \(21\)，\(\lfloor\frac {21}{3!}\rfloor=3\)，有 \(3\) 个数小于它，去掉已经存在的 \(2\)，这一位是 \(5\)。

\(21-3\times 3!=3\)，\(\lfloor\frac {3}{2!}\rfloor=1\)，有一个数小于它，那么这一位就是 \(3\)。

让 \(3-1\times 2!=1\)，有一个数小于它，这一位是剩下来的第二位，\(4\)，剩下一位就是 \(1\)。即 \([2,5,3,4,1]\)。

实际上我们得到了形如 有两个数小于它 这一结论，就知道它是当前第 \(3\) 个没有被选上的数，这里也可以用线段树维护，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

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