贝尔数

贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是 (OEIS A000110)：

\(B_n\) 是基数为 \(n\) 的集合的划分方法的数目。集合 \(S\) 的一个划分是定义为 \(S\) 的两两不相交的非空子集的族，它们的并是 \(S\)。例如 \(B_3 = 5\) 因为 3 个元素的集合 \({a, b, c}\) 有 5 种不同的划分方法：

\(B_0\) 是 1 因为空集正好有 1 种划分方法。

公式

贝尔数适合递推公式：

证明：

\(B_{n+1}\) 是含有 \(n+1\) 个元素集合的划分个数，设 \(D_n\) 的集合为 \(\{b_1,b_2,b_3,\dots,b_n\}\)，\(D_{n+1}\) 的集合为 \(\{b_1,b_2,b_3,\dots,b_n,b_{n+1}\}\)，那么可以认为 \(D_{n+1}\) 是有 \(D_{n}\) 增添了一个 \(b_{n+1}\) 而产生的，考虑元素 \(b_{n+1}\)。

假如它被单独分到一类，那么还剩下 \(n\) 个元素，这种情况下划分数为 \(\binom{n}{n}B_{n}\);

假如它和某 1 个元素分到一类，那么还剩下 \(n-1\) 个元素，这种情况下划分数为 \(\binom{n}{n-1}B_{n-1}\)；

假如它和某 2 个元素分到一类，那么还剩下 \(n-2\) 个元素，这种情况下划分数为 \(\binom{n}{n-2}B_{n-2}\)；

以此类推就得到了上面的公式。

每个贝尔数都是相应的第二类 斯特林数 的和。 因为第二类斯特林数是把基数为 \(n\) 的集合划分为正好 \(k\) 个非空集的方法数目。

贝尔三角形

用以下方法构造一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：

• 第一行第一项为 1 \((a_{1,1}=1)\)；
• 对于 \(n>1\)，第 \(n\) 行第一项等于第 \(n-1\) 行的第 \(n - 1\) 项 \((a_{n,1}=a_{n-1,n-1})\)；
• 对于 \(m,n>1\)，第 \(n\) 行的第 \(m\) 项等于它左边和左上角两个数之和 \((a_{n,m}=a_{n,m-1}+a_{n-1,m-1})\)

部分结果如下：

每行的首项是贝尔数。可以利用这个三角形来递推求出 Bell 数。

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const int maxn = 2000 + 5;
int bell[maxn][maxn];

void f(int n) {
  bell[1][1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    bell[i][1] = bell[i - 1][i - 1];
    for (int j = 2; j <= i; j++)
      bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1];
  }
}

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maxn = 2000 + 5
bell = [[0 for i in range(maxn)] for j in range(maxn)]
def f(n):
    bell[1][1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        bell[i][1] = bell[i - 1][i - 1]
        for j in range(2, i + 1):
            bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1]

参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number

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