平衡三进制

定义

平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个不太标准的 计数体系。

正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的。它的基数也是 3（因为有三个可能的值）。由于将 -1 写成数字不方便，我们将使用字母 Z 来代替 -1。

解释

这里有几个例子：

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  0
  1
  1Z
  10
  11
  1ZZ
  1Z0
  1Z1
  10Z
  100

该 计数体系 的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（Z 变成 1,1 变成 Z）。

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    -1   Z
    -2   Z1
    -3   Z0
    -4   ZZ
    -5   Z11

很容易就可以看到，负数最高位是 Z，正数最高位是 1。

过程

在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 x 在标准三进制中的表示。当 x 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2。从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 Z，下一位数字再加上 1。而遇到数字 3 则应该转换为 0 下一位数字再加上 1。

应用一

把 64 转换成平衡三进制。

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

\[ \text 64_{10} = 02101_3 \]

让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：

101 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
2 变成了 Z，它左边的数字加 1，得到 1Z101；
1 被跳过，得到 1Z101。

最终的结果是 1Z101。

我们再把它转换回十进制：

\[ \texttt {1Z101}=81 \times 1 +27 \times (-1) + 9 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 1 = 64_{10} \]

应用二

把 237 转换成平衡三进制。

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

\[ \text 237_{10} = 22210_3 \]

0 和 1 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
2 变成 Z，左边的数字加 1，得到 23Z10；
3 变成 0，左边的数字加 1，得到 30Z10；
3 变成 0，左边的数字（默认是 0）加 1，得到 100Z10；
1 被跳过，得到 100Z10。

最终的结果是 100Z10。

我们再把它转换回十进制：

\[ \texttt{ 100Z10} = 243 \cdot 1 + 81 \cdot 0 + 27 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 237_{10} \]

性质

对于一个平衡三进制数 \(X_3\) 来说，其可以按照每一位 \(x_i\) 乘上对应的权值 \(3^i\) 来唯一得到一个十进制数 \(Y_{10}\)。

那对于一个十进制数 \(Y_{10}\)，是否 唯一对应一个平衡三进制数 呢？

答案是肯定的，这种性质被叫做平衡三进制的唯一性。

证明

我们利用 反证法 来求证：

假设一个十进制数 \(Y_{10}\)，存在两个 不同的平衡三进制数 \(A_3,B_3\) 转化成十进制时等于 \(Y_{10}\)，即证 \(A_3 = B_3\)。分情况讨论：

当 \(Y_{10}=0\)，显然 \(A_3 = B_3 = 0_3\)，与假设矛盾。

当 \(Y_{10}>0\)：

将 \(A_3\)，\(B_3\) 的数位按低位到高位编号，记 \(a_i\) 为 \(A_3\) 的第 \(i\) 位，\(b_i\) 为 \(B\) 的第 \(i\) 位。在 \(A_3,B_3\) 中，必存在 \(i\) 使得 \(a_i\neq b_i\)。可以发现第 \(i-1,i-2,\dots,0\) 位均与证明无关。因此，将 \(A_3,B_3\) 按位右移 \(i\) 位，得到 \(A_3',B_3'\)，原问题等价于证明 \(A_3'=B_3'\)。

对于 \(A_3',B_3'\) 第 \(0\) 位，\(a_0 \neq b_0\)。假设 \(b_0 > a_0\)（\(a_0>b_0\) 时结果相同），易知 \(b_0 - a_0 \in \{1,2\}\)。\(A_3'\) 的位 \(i=1,2,3,\dots\) 对于 \(A_3'\) 的值的贡献为 \(S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots\)，\(B_3'\) 的位 \(i=1,2,3,\dots\) 对于 \(B_3'\) 的值的贡献为 \(S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots\)。由于 \(A_3' = B_3'\)，得 \(S_1 - S_2 = b_0 - a_0\)。\(S_1,S_2\) 有公因子 \(3\)，而 \(b_0 - a_0\) 不能被 \(3\) 整除，与假设矛盾，因此 \(A_3'\neq B_3'\)

当 \(Y_{10}<0\)，证法与 \(Y_{10}>0\) 相同。

故对于任意十进制 \(Y_{10}\)，均有唯一对应的平衡三进制 \(X_3\)。

练习题

Topcoder SRM 604, Div1-250

本页面部分内容译自博文 Троичная сбалансированная система счисления 与其英文翻译版 Balanced Ternary。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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