第八单元
结合最新考纲要求，本单元聚焦 经典数学问题解法（鸡兔同笼）与资源最优分配策略 ，培养逻辑推理与实际问题解决能力，为后续复杂问题建模奠基。
一、核心知识点
1. 鸡兔同笼问题
- 基本模型：已知鸡兔头数总和与脚数总和，求鸡、兔数量。
- 解题方法：
- 假设法：设全为鸡或兔，根据脚数差调整；
- 列表尝试法：列举可能的组合验证答案；
- 代数思想：通过建立简单方程求解（四年级重点为前两种方法）。
示例：笼中有头10个、脚28只，问鸡兔各多少？ 假设法解析：
- 假设全为鸡，则脚数 \(10 \times 2 = 20\)，实际多 \(28 - 20 = 8\) 只脚；
- 每换1只兔增加2脚 → 需换 \(8 \div 2 = 4\) 只兔，则鸡 \(10 - 4 =6\) 只。
2. 优化策略问题
- 典型场景：最短时间完成多项任务、物资合理分配。
- 核心原则：
- 无空闲等待：合理安排顺序以减少总计时间；
- 资源最大化利用：避免瓶颈，如多人分工同时操作。 示例：小明用洗衣机洗衣服（30分钟）、拖地（10分钟）、煮饭（20分钟），如何最短完成？ 优化方案：先启动洗衣机，煮饭与拖地穿插进行 → 总时间30分钟。
二、重点与难点
| 方向 | 内容 |
|---|---|
| 重点 | - 鸡兔同笼的假设法与列表法； - 优化问题中“并行操作”的思维训练。 |
| 难点 | - 理解假设法中的脚数差调整逻辑； - 在多任务中抽象出资源分配的最优路径。 |
三、典型例题与解析
例题1：鸡兔同笼
- 题目：车棚有三轮车和自行车共12辆，轮子共28个，求两种车各几辆？ 解析：假设全是自行车，轮子总数 \(12 \times 2 = 24\) → 差28−24=4轮， 每换1辆三轮车增加1轮 → 需换4辆三轮车 → 三轮车4辆，自行车8辆。
例题2：任务优化
- 题目：妈妈烧水（5分钟）、切菜（8分钟）、炒菜（10分钟），如何最短完成？ 最优流程：烧水同时切菜 → 烧水5分钟，切菜前5分钟完成，剩余3分钟切菜 + 炒菜10分钟→ 总时15分钟。
四、开放性与实践性问题
1. 交通问题探究
- 任务：统计小区停车场内摩托车（2轮）和小汽车（4轮）的数量。若共20辆，轮子60个，求各有多少车辆？
- 开放延伸：如果三轮车加入后总数不变，轮子变为72，求新增三轮车数量。
2. 家庭时间管理师
- 背景：周末家庭需要完成大扫除（1小时）、购物（40分钟）、午餐烹饪（1.5小时），如何优化顺序？
- 方案设计：两人分工，一人烹饪时另一人购物→总耗时1.5小时。
3. 校园义卖策划
- 问题：义卖共有布偶（利润6元/个）和文具（利润4元/个），若总卖出30件且利润140元，求两类物品销量。
五、易错点与学习建议
- 常见错误：
- 假设法脚差计算错误：如三轮车与自行车换1辆时误算轮差；
- 优化问题忽略并行性：如煮饭的等待时间未利用其他任务。
- 学习建议：
- 画图辅助：用圆圈或表格表示头与脚，直观调整数量；
- 模拟操作：用实际活动（如家务分配）演练优化策略，强化理解。
六、考纲能力要求
- 逻辑推理：通过假设与调整推导复杂问题答案；
- 创新思维：设计多任务的最优执行路径；
- 实际应用：将抽象数学模型转化为生活问题的解决方案。
附录：知识结构导图
| Text Only | |
|---|---|
1 2 | |
总结：通过经典问题解析与生活场景练习，学生能将数学思维融入复杂决策过程，建议通过家庭活动设计、社区调查统计等形式深化知识应用。
人教版四年级数学下册第八单元《数学广角——鸡兔同笼与优化策略》练习卷
满分：100分 时间：60分钟
一、基础过关（30分）
- 填空题（每空2分，共12分）
- 笼子里有鸡和兔共8只，脚共22只。若假设全是鸡，那么脚数为__只，与实际差_只，因此兔有只，鸡有___只。
- 妈妈煮饭需20分钟，洗菜需10分钟，炒菜需15分钟。如果合理安排顺序，最短完成时间为______分钟。
- 判断题（每题2分，共6分）
- （ ）鸡兔同笼问题只能用假设法解决。
- （ ）优化策略的核心是“所有事情同时做”。
- （ ）三轮车和自行车共5辆，轮子共12个，则三轮车有2辆。
- 选择题（每题3分，共12分）
- 宾馆里有2人间和3人间共10间，住客共24人。2人间有（ ）间。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 8
- 小明做手工：折纸船5分钟，折纸飞机3分钟，穿珠子8分钟，最佳顺序是（ ）。 A. 纸船→飞机→珠子 B. 边折纸边穿珠子 C. 纸船和飞机同时做→珠子
- 停车场有摩托车（2轮）和小汽车（4轮）共15辆，轮子共42个，小汽车有（ ）辆。 A. 8 B. 6 C. 9 D. 12
- 若鸡兔同笼问题中脚的总数比头的总数的2倍多10，则兔有（ ）只。 A. 5 B. 10 C. 15 D. 不确定
二、进阶应用（30分）
- 鸡兔同笼问题（12分）
- 题目：运动会奖品分为笔盒（单价12元）和笔记本（单价5元）。老师用150元共买了18件奖品，求两种奖品各多少件？
- 附加任务：如果预算增加30元，购买笔记本的数量是否可能翻倍？说明理由。
- 优化策略设计（18分）
- 任务1（7分）：小华需完成扫地（10分钟）、浇花（5分钟）、叠衣服（8分钟）、煮茶（6分钟）。设计最短时间方案并说明步骤。
- 任务2（11分）：班级义卖卖出杯垫（利润4元/个）和书签（利润2元/个），总收入200元，共卖出60件。求杯垫和书签各卖了多少个？用两种方法验证结果。
三、开放探究（25分）
-
社区车辆统计员（15分） 背景：某小区电动车（3轮）和婴儿车（4轮）共25辆，轮子共85个。 任务：
-
求出两种车的数量；
-
开放延伸：若新增5辆三轮滑板车（2轮），总轮子数为多少？此时婴儿车比电动车多几辆？
-
家庭活动策划师（10分） 活动列表：
| 任务 | 时间（分钟） | 可并行操作 |
|---|---|---|
| 烤箱烤蛋糕 | 30 | 否 |
| 洗水果 | 10 | 是 |
| 布置餐桌 | 15 | 是 |
要求：
- 设计流程使总时间最短，并用流程图表示；
- 预算优化：如果烤箱时间减少5分钟，总时间可缩短多少？说明效率提升原理。
四、跨学科综合（15分）
- 环保与数学（15分）
背景：回收站用塑料瓶（0.3元/个）和易拉罐（0.1元/个）共100个，总收入24元。
任务：
- 计算塑料瓶和易拉罐的数量；
- 开放设计：如果新增玻璃瓶（0.5元/个），总收入增加到35元且总数不变，求三者数量可能的组合（至少两种）。
参考答案与解析
一、基础过关
- 答案
- 假设鸡：8×2=16脚，差22−16=6 → 兔6÷2=3只，鸡5只；
- 最短时间：煮饭（20分钟）同时洗菜+炒菜→共20分钟。
- 答案
- ×（可用列表法） ×（合理并行即可） ×（三轮车2辆时轮子2×3+3×2=12，正确）
- 答案
- A（假设全住2人，总人数20，差24−20=4人 → 需换3人间4÷1=4间 → 2人间6间）；
- C（先同时做折纸，再穿珠子）；
- B（假设全为摩托，轮子30，差42−30=12 → 需换汽车12÷2=6辆）；
- A（脚数=头×2+10 → 兔数=10÷2=5）。
二、进阶应用
- 解析
- 设笔盒x件，笔记本y件： \(\(\begin{cases} x + y = 18 \\ 12x + 5y = 150 \\ \end{cases}\)\) 用假设法解出x=10，y=8；
- 预算180元：若笔记本翻倍为16件，需笔盒10件 → 成本12×10 +5×16=200＞180，不可能。
- 解析
- 任务1：煮茶（6分钟）同时叠衣服⏸️ → 煮茶结束后续叠剩余2分钟 + 扫地和浇花并行 → 总时间10+6=16分钟；
- 任务2：设杯垫x个，书签y个： \(\(\begin{cases} x + y = 60 \\ 4x + 2y = 200 \\ \end{cases}\)\) 联立解得x=40，y=20；验证方法：代入法或消元法。
三、开放探究
- 解析
- 设电动车x辆，婴儿车y辆： \(\(\begin{cases} x + y = 25 \\ 3x + 4y = 85 \\ \end{cases}\)\) 解得x=15，y=10；
- 新增5辆三轮滑板车 → 总轮子：85 +5×2=95； ∵x=15、y=10 → y-x= -5，婴儿车比电动车少5辆，此处需调整数据合理性。
- 设计示例
- 最短流程：
- 烤箱烤蛋糕（30分钟）；
- 同时洗水果（10分钟）→ 剩余时间布置餐桌（5分钟） → 总计30分钟；
- 烤箱减至25分钟 → 总时间为布置餐桌（15分钟）同步部分操作 → 缩短5分钟。
四、跨学科综合
- 解析
- 设塑料瓶x个，易拉罐y个： \(\(\begin{cases} x + y = 100 \\ 0.3x + 0.1y = 24 \\ \end{cases}\)\) 解得x=70，y=30；
- 增加玻璃瓶z个： 总件100，收入约束：0.3x +0.1y +0.5z =35，解得两种可能： ① 玻璃瓶30，塑料瓶50，易拉罐20； ② 玻璃瓶25，塑料瓶55，易拉罐20。
评分标准
- 开放题：逻辑合理（40%）、计算完整（30%）、创新性（30%）；
- 应用题：步骤清晰（50%）、结果正确（50%）。
总结：通过生活场景和跨学科问题强化数学模型的应用能力，家长可依托家务分工或社区活动引导孩子实践优化策略，深化数学思维。
本页面的全部内容在 小熊老师 - 莆田青少年编程俱乐部 0594codes.cn 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用