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第三单元

结合最新考纲要求，本单元重点掌握 加法与乘法的运算定律及灵活应用 ，培养学生简算意识，解决实际问题时能合理选择运算策略。

一、核心知识点

1. 加法运算定律
  • 加法交换律：交换加数的位置，和不变。 \(\(a + b = b + a\)\) 示例：\(23 + 45 = 45 + 23\)。
  • 加法结合律：三个数相加，先加前两个数或先加后两个数，和不变。 \(\((a + b) + c = a + (b + c)\)\) 示例：\((16 + 24) + 30 = 16 + (24 + 30)\)。
2. 乘法运算定律
  • 乘法交换律：交换因数的位置，积不变。 \(\(a \times b = b \times a\)\) 示例：\(5 \times 12 = 12 \times 5\)。
  • 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 \(\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)\) 示例：\((25 \times 4) \times 30 = 25 \times (4 \times 30)\)。
  • 乘法分配律：乘法对加法的分配关系。 \(\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)\) 示例：\(25 \times (40 + 4) = 25 \times 40 + 25 \times 4 = 1000 + 100 = 1100\)。
3. 连减与连除的性质
  • 连减性质： \(\(a - b - c = a - (b + c)\)\) 示例：\(200 - 45 - 55 = 200 - (45 + 55) = 100\)。
  • 连除性质： \(\(a \div b \div c = a \div (b \times c)\)\) 示例：\(600 \div 25 \div 4 = 600 \div (25 \times 4) = 6\)。

二、重点与难点

  • 重点：
  • 灵活运用交换律、结合律进行简便计算；
  • 区分乘法分配律与结合律的使用场景（分配律含加减，结合律为连续乘法）。
  • 难点：
  • 分配律的反向运用（如从 \(36 \times 50 + 36 \times 50\) 提取36）；
  • 结合律与分配律的混合应用（如拆分接近整百的数简化运算）。

三、典型例题与解析

例题1：简算题

  • 题目：计算 \(125 \times 32 \times 25\)。 解析： \(\(125 \times 32 \times 25 = 125 \times (8 \times 4) \times 25 = (125 \times 8) \times (4 \times 25) = 1000 \times 100 = 100,000\)\)

例题2：分配律应用

  • 题目：计算 \(99 \times 38\)。 解析： \(\(99 \times 38 = (100 - 1) \times 38 = 100 \times 38 - 1 \times 38 = 3800 - 38 = 3762\)\)

例题3：逆向提取公因数

  • 题目：计算 \(56 \times 23 + 56 \times 77\)。 解析： \(\(56 \times 23 + 56 \times 77 = 56 \times (23 + 77) = 56 \times 100 = 5600\)\)

四、开放性与实践性问题

1. 购物方案优化
  • 任务：超市A售价为每箱牛奶48元（买5送1），超市B每箱45元（无优惠）。购买24箱牛奶，哪家更划算？
2. 探索生活简算
  • 活动：记录家庭一周的水电费（如电费0.5元/千瓦时，水费3元/吨），用简算计算月度总支出。
3. 数学建模挑战
  • 问题：设计一个算式模型（如 \(a \times b + a \times c - a \times d\)），并用分配律和结合律证明其等于 \(a \times (b + c - d)\)。

五、易错点与学习建议

  1. 常见错误：
  2. 分配律错误迁移：如误用 \(a \div (b + c) = a \div b + a \div c\)；
  3. 符号遗漏：如反向提取公因数时漏掉负号（例：\(64 \times 25 - 64 \times 5 = 64 \times (25 - 5)\)）。
  4. 学习建议：
  5. 步骤拆解法：分步验证简算过程的合理性；
  6. 错题积累：整理典型错误算式并标注错误逻辑。

六、考纲能力要求

  1. 运算能力：熟练运用定律简算，提升计算效率；
  2. 模型意识：通过实际问题抽象出运算模型；
  3. 应用意识：结合生活场景设计最优方案（如购物折扣、节能计算）。

总结：本单元通过实际问题（如费用计算、方案对比）强化运算定律的应用能力，建议结合家庭账本记录或超市比价活动，引导学生体会数学的实用性。

人教版四年级数学下册第三单元《运算定律》练习卷

满分：100分 时间：60分钟

一、基础过关（30分）

  1. 填空题（每空1分，共10分）
  2. 根据加法交换律，\(36 + 45 =\) __ + ____。
  3. 计算 \(25 \times 36 \times 4\) 时，运用__律可以简化为 \(25 \times 4 \times 36\)，结果为______。
  4. 根据乘法分配律，\(48 \times 102 = 48 \times (\) __ \() =\) _ + ___。
  5. 用连减性质计算 \(200 - 73 - 27 = 200 - (\)__ \() =\) ____。
  6. 判断题（每题2分，共8分）
  7. （ ）\(56 \times 99 = 56 \times 100 - 1\)。
  8. （ ）\(125 \div 25 \times 4 = 125 \div (25 \times 4)\)。
  9. （ ）\(88 \times 125 = 80 \times 125 + 8 \times 125\)，应用了乘法分配律。
  10. （ ）\(a \div b \div c = a \div (b \times c)\)。
  11. 选择题（每题3分，共12分）
  12. 计算 \(56 + 72 + 44\) 的最简便方法是（ ）。 A. \(56 + (72 + 44)\) B. \((56 + 44) + 72\) C. \(72 + (56 + 44)\) D. \(56 + 72 + 44\)
  13. 下列算式中，应用乘法分配律的是（ ）。 A. \(25 \times 8 \times 4 = 25 \times 4 \times 8\)  B. \(15 \times (40 + 6) = 15 \times 40 + 15 \times 6\)  C. \(24 \times 50 = (20 + 4) \times 50\)  D. \(18 \div 3 \div 2 = 18 \div (3 \times 2)\)
  14. 计算 \(3600 \div 25 \div 4\) 的简便方法是（ ）。 A. \(3600 \div (25 \times 4)\) B. \(3600 \div 25 \times 4\) C. \(3600 \div 4 \div 25\) D. \(3600 - 25 - 4\)
  15. \(99 \times 12 + 12\) 的正确简算步骤是（ ）。 A. \(12 \times (99 + 0)\) B. \(12 \times (99 + 1)\) C. \(12 \times 100\) D. 以上全对

二、进阶应用（30分）

  1. 简算题（12分） \(\(\begin{aligned} ①\quad & 125 \times 56 = \quad \\ ②\quad & 35 \times 102 - 35 \times 2 = \quad \\ ③\quad & 720 \div (9 \times 5) = \quad \\ \end{aligned}\)\)
  2. 实际应用（18分）
  3. 水果店每箱苹果售价125元，今日优惠“买4箱送1箱”。某公司需购买20箱，需付多少钱？
  4. （开放题）设计两种水费收费方案（如阶梯水价或固定费率），并对比某家庭月用水15吨的费用差异。
  5. 教室有4排座位，每排6张桌子。若每张桌子配3把椅子，总共有多少把椅子？用两种方法列式并简算。

三、开放探究（25分）

  1. 家庭节能分析师（15分） 任务：查看家庭电费单，记录上月用电量（如300千瓦时），完成以下任务：
  2. 若电价为0.6元/千瓦时，计算上月电费；
  3. 提出两项节电措施（如减少空调使用时间、更换节能灯泡），估算每项措施每月节省的电量及费用；
  4. 开放讨论：如果将节省的费用存入银行（年利率3%），一年后可获得多少利息？
  5. 校园活动策划（10分） 背景：学校运动会需购买50套运动服，商家A每套85元，商家B“买10套送1套”每套90元。 任务：
  6. 计算两种方案的总费用，并选择更划算的商家；
  7. 优化建议：是否有组合购买的更优方案？请用运算定律证明。

四、跨学科综合（15分）

  1. 环保与数学（15分）

背景：某社区推广垃圾分类，回收1吨废纸可生产0.8吨再生纸。若每户月均产废纸5千克，社区共500户。

任务：

  • 计算社区一年可回收废纸的总量及可生产的再生纸量；
  • 若再生纸售价2000元/吨，社区的年收益是多少？
  • 开放讨论：如何设计激励机制（如积分兑换）提高居民参与度？用乘法分配律说明福利分配方案。

参考答案与解析

一、基础过关

  1. 答案
  2. \(45 + 36\) 乘法交换；3600 \(100 + 2\)；\(4800 + 96 = 4896\) 73；27；100
  3. 答案
  4. ×（应为56×100 -56×1） × √ √
  5. 答案
  6. B B A B

二、进阶应用

  1. 解析
  2. ① \(125 \times 8 \times 7 = 7000\)  ② \(35 \times (102 - 2) = 35 \times 100 = 3500\)  ③ \(720 \div 45 = 16\)
  3. 解析
  4. 买16箱送4箱，总价16×125=2000元；
  5. 示例：阶梯水价3吨内2元/吨，超出3元/吨→15吨费用=3×2 +12×3=42元；固定费率2.5元/吨→15×2.5=37.5元；
  6. 方法一：\(4 \times 6 \times 3 = 72\) 方法二：\(4 \times (6 \times 3) = 72\)

三、开放探究

  1. 示例答案
  2. 电费：300×0.6=180元；
  3. 措施一：每月省30千瓦时→省18元，一年利息≈0.54元；
  4. 措施二：每月省20千瓦时→省12元，一年利息≈0.36元。
  5. 答案
  6. 商家A：50×85=4250元；商家B：需购46套（46×90=4140元）得50套，更划算；
  7. 组合购买法可能不适用，因商家B已是更优选项。

四、跨学科综合

  1. 解析
  2. 年废纸量：500×5×12=30,000千克=30吨；再生纸：30×0.8=24吨；
  3. 年收益：24×2000=48,000元；
  4. 按积分换礼品：若每户参与奖励10元，500户总投入5000元→可设计为每1公斤兑换0.5元。

评分标准

  • 开放题：逻辑合理性（40%）、计算步骤（30%）、创新性（30%）；
  • 应用题：策略选择正确性（60%），运算准确性（40%）。

总结：本卷结合生活场景与环保主题，强化运算定律的实际应用。家长可引导孩子观察家庭账单、购物优惠，提升数学应用能力。

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