第八单元

结合最新考纲要求，本单元围绕 生活中的优化策略 ，培养学生运用数学方法制定合理方案的能力，强化逻辑推理与实践应用意识。

一、核心知识点

1. 优化问题的基本思想

定义：在有限条件约束下，寻找最节省时间、资源或收益最大的方案。
目标：通过合理安排，减少浪费，提高效率。

2. 典型优化问题与解法

烙饼问题：
规则：每次只能烙2张饼，每面需烙2分钟，如何用最短时间烙完？
公式：饼数×单面时间 ×烙的次数，最优方案为交替烙制。
示例：烙3张饼 → \(3 \times 2 \times 2 = 12\)分钟。
沏茶问题：
目标：在最短时间内完成多个步骤（如烧水、洗茶杯、泡茶）。
方法：合并可并行操作的步骤（边烧水边准备杯子）。
田忌赛马策略：
核心：合理调配资源，以弱胜强（用中等马对齐强马，保留优势对局）。

3. 解决优化问题的步骤

明确目标：最短时间、最少步骤或最大收益；
分析条件：列出所有可行操作及约束；
制定方案：通过画图、表格或流程图设计多种可能性；
选择最优：比较不同方案的结果并确定最佳路径。

4. 数学工具与图表应用

图示法：用流程图标记任务的并行与顺序；
表格法：对比不同方案的资源消耗（如时间、成本）；
符号化建模：用数学符号表达变量与关系（例如效率=总量÷时间）。

二、重点与难点

重点：
掌握经典优化问题的数学规律（如烙饼问题的时间计算）；
通过策略调整找到最优解决方案。
难点：
复杂条件的综合应用（如多任务并行中的优先级选择）；
灵活迁移方法（例如将“田忌赛马”策略用于考试时间分配）。

三、典型例题与解析

例题1：烙饼问题

题目：一个平底锅每次最多烙2张饼，每面需3分钟。烙5张饼至少需要几分钟？

解析：

第1、2张：各烙3分钟（正反两面交替完成）；第3、4、5张交替分配锅的使用。
总时间\(5 \times 3 = 15\)分钟（实际操作可能有不同方案，需验证是否为最优）。

例题2：时间安排优化

题目：小明需完成作业（20分钟）、扫地（8分钟）、洗衣机洗衣服（30分钟）。如何安排流程使总时间最短？

解析：

操作流程图： \(\(\text{洗衣机启动（0分钟）} → \text{作业+扫地（前28分钟）} → \text{待洗衣结束}\)\)
总时间= max{30分钟, 作业扫地时间28分钟} = 30分钟。

四、实践性与开放性问题

1. 家庭日常任务优化

任务：将家务活（如煮饭、洗菜、拖地）用流程图安排，并计算最短时间。

2. 模拟“田忌赛马”游戏

活动：学生分组用卡牌对战，尝试用优化策略（如故意输掉第一局）赢得比赛。

3. 校园时间管理挑战

问题：若课间10分钟需完成接水、交作业、去洗手间，试制定高效路线并验证可行性。

五、易错点与学习建议

常见错误：
忽略任务的并行性（如等待烧水时可以准备其他物品）；
误把“操作步骤数”等同于“时间总量”（如未考虑锅的限制）。
学习建议：
动手模拟：用实物（如纸牌）演练田忌赛马策略；
生活实验：记录并优化每日早晨出门准备的时间安排。

六、考纲能力要求

应用意识：将数学方法用于生活中的实际优化问题；
数学模型：通过符号、图表建立问题的数学表达；
创新意识：探索非传统策略解决复杂情境问题。

总结：本单元通过真实情境的优化任务（如家务安排、赛事策略），培养学生“化繁为简”的思维习惯，建议结合日常生活中的案例设计探究活动，引导学生体会数学的策略性价值。

人教版四年级数学上册第八单元《数学广角——优化》练习卷

满分：100分时间：60分钟

一、基础过关（30分）

填空题（每空1分，共10分）
用一个平底锅烙饼，每次最多烙2张，每面需要2分钟。烙3张饼最少需要______分钟。
妈妈要让小明在最短时间内完成以下任务：烧水（8分钟）、洗茶具（3分钟）、泡茶（2分钟）。最优顺序是：先__，同时_，最后，总时间为___分钟。
田忌赛马中，田忌用下等马对齐王的______，最终以弱胜强。
按优化的思想，3个人打水（水龙头只有一个）的等待总时间最短的顺序是______。
判断题（每题2分，共8分）
（）同时进行的任务越多，总时间一定越短。
（）如果烙饼的锅一次只能烙1张饼，那么烙5张饼最少需要10分钟（每面2分钟）。
（）田忌赛马的策略可以用于考试时间的分配。
（）用洗衣机洗衣服的40分钟内，可以同时做饭和扫地，说明优化可以减少总时间。
选择题（每题3分，共12分）
煮鸡蛋需要10分钟，蒸包子需8分钟，洗碗需5分钟。小明的最优顺序是（）。 A. 煮蛋→蒸包子→洗碗 B. 同时煮蛋和蒸包子→洗碗 C. 洗碗→同时煮蛋和蒸包子 D. 蒸包子→煮蛋→洗碗
有4个人理发（每人需15分钟），若只有一位理发师，最少总等待时间为（）分钟。 A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
田忌与齐王各出3匹马（优势为A＞B＞C），以下策略中能确保田忌胜的是（）。 A. 田忌A对齐王A，田忌B对齐王B B. 田忌C对齐王A，田忌A对齐王B C. 田忌C对齐王A，田忌B对齐王C D. 田忌B对齐王A，田忌A对齐王C
某工程队要完成3项任务（甲需4天，乙需5天，丙需3天），若同时进行最多两项，最短完成时间为（）天。 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

二、进阶应用（30分）

时间安排优化（12分） 任务清单：
用电饭煲煮饭（30分钟）
洗菜（10分钟）
炒菜（20分钟）
拖地（15分钟）要求：设计流程图确定最短时间，并计算总时长。
田忌赛马策略迁移（18分）场景：学校运动会三局两胜，四（1）班选手水平：

项目	跑步	跳绳	跳远
四（1）班	A	B	C
四（2）班	B	C	A

注：A＞B＞C表示实力高低。任务：

若比赛顺序固定为跑步→跳绳→跳远，四（1）班如何排兵布阵确保胜利？
（开放题）能否调整比赛顺序？若能，设计一种策略使其胜率最大化。

三、开放探究（25分）

家庭周末任务优化师（15分）任务：家庭周末需完成以下事项：
超市采购（1小时）
洗车（30分钟）
孩子网课（2小时）
打扫房间（1小时）要求：
安排家庭成员（爸爸、妈妈、小明）分工协作，设计一张时间规划表；
标注哪些任务可以并行操作；
开放讨论：如果只能有两人参与，如何调整计划？
校园活动策划（10分）背景：班级要举办义卖活动，需搬运桌椅（5人搬需20分钟）、布置摊位（3人需30分钟）、准备商品（2人需40分钟）。任务：
若共有6名同学，如何分配人员使总时间最短？
提出两种不同方案，并比较优劣。

四、跨学科综合（15分）

环保与数学（15分）

背景：社区垃圾分类站点需处理三个垃圾箱，A箱（10分钟清理）、B箱（15分钟）、C箱（8分钟）。只有一辆清运车，每次只能清理一箱。

问题：

按什么顺序清理可使总等待时间最短？计算总时间；
开放建议：若增加一辆车，请重新设计清理方案，并说明能节省多少时间。

参考答案与解析

一、基础过关

答案
8 烧水；洗茶具；泡茶；8 上等马 按所需时间由短到长排队
答案
× √（需逐张烙，5×2×2=20分） √ √
解析
B（煮蛋和蒸包子可同时进行→总10分钟）
B（等待总时间=15×4 +15×3 +15×2 +15×1=15×(4+3+2+1)=90分）
B（田忌C输给齐王A，田忌A胜齐王B，田忌B胜齐王C→2胜1负，总胜利）
B（同时甲和丙→完成丙需3天，接下来甲需4天，最后乙需1天→总3+4+2=9天）

二、进阶应用

解析 \(\(\begin{aligned} &\text{煮饭（0分钟开始）} \\ &\text{→ 同时洗菜（0-10分钟）} \\ &\text{→ 拖地（10-25分钟）} \\ &\text{→ 炒菜（25-45分钟）} \\ &\text{总时间=45分钟} \quad (\text{需确保煮饭完成时间≤45分钟}) \end{aligned}\)\)
答案
顺序固定时，四（1）班：
- 跑步派B（输给四（2）班A）
- 跳绳派A（胜四（2）班C）
- 跳远派C（胜四（2）班B） → 2胜1负，总体胜利。
调整顺序策略：若比赛顺序可变，四（1）班可选择将其最弱项目对齐对方最强，最大化剩余优势。

三、开放探究

示例答案
时间表：
- 爸爸洗车（0-30分钟）；
- 妈妈超市采购（0-60分钟）+打扫房间（60-120分钟）；
- 小明网课（0-120分钟）→ 总时间2小时。
两人参与调整：将洗车与打扫合并，花费更多时间但覆盖关键任务。
方案对比
方案1：5人搬桌椅→3人布置→2人准备商品，总时间=20+30+40=90分钟；
方案2：分两队（3人搬桌椅+3人准备商品），总时间=40分钟（两者并行）。

四、跨学科综合

解析
最短等待顺序：C（8分钟）→A（10分钟）→B（15分钟），总等待时间=8+(8+10)+(8+10+15)=49分钟；
增加一辆车后，并行清理C和A→再清理B，总时间=15分钟，节省34分钟。

评分标准：

开放题：逻辑清晰（40%）、创新性（30%）、实用性（30%）；
应用题：步骤完整（50%）、结果正确（50%）。

总结：本卷通过实际场景和跨学科融合，引导学生灵活应用优化策略，培养策略性思维与解决问题能力。

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