第四单元

依据最新考纲要求，聚焦比例的意义、性质与应用，强化数学建模能力与实际问题解决，注重数形结合与跨学科联系。

一、核心知识点

1. 比例的意义与基本性质

• 定义：
• 比例：表示两个比相等的式子（如 \(a:b = c:d\) 或 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)）；
• 比例的内项与外项：若写成 \(a:b = c:d\)，则 \(b, c\) 为内项，\(a, d\) 为外项。
• 基本性质： \(\(\text{内项积} = \text{外项积} \quad \Rightarrow \quad \text{若} \ a:b=c:d,\ \text{则} \ a\cdot d = b\cdot c.\)\)

2. 正比例与反比例

3. 比例的应用

• 比例尺： \(\text{比例尺} = \frac{\text{图上距离}}{\text实际距离} \quad \text{（单位统一）}\).
• 图形放大与缩小：
• 对应边长按相同比例变化；
• 对应角的大小不变。
• 实际问题：按比例分配、速度比较、浓度调配等。

二、重点与难点

三、典型例题与解析

例题1：解比例应用

• 题目：若 \(2:x = 5:35\)，求\(x\)。 解析： \(\(5x = 2 \times 35 \quad \Rightarrow \quad x = 14.\)\)

例题2：比例尺计算

• 题目：两地实际距离120km，地图上相距6cm，求比例尺。 解析： \(\(\text{比例尺} = \frac{6\ \text{cm}}{120\ \text{km}} = \frac{6}{12000000} = \frac{1}{2000000} \quad \text{（或1:2000000）}.\)\)

四、实践性与开放性问题

1. 家庭装修规划师

• 任务：房间长6米、宽4米，需按比例绘制平面图（比例尺1:50）。
• 计算图纸上的长与宽；
• 优化提案：若在图上标注家具位置（如床占图纸面积2cm²），求实际占地面积。

2. 校园绿化设计师

• 背景：用反比例关系设计花坛：
• 总种植面积固定（24平方米），长与宽成反比例；
• 推荐两种长宽比（如2:3或3:4），计算对应的长宽具体数值。

3. 科学实验分析

• 场景：研究蜡烛燃烧时间与长度关系，记录数据：

1. 判断燃烧速度是否匀速；
2. 研究扩展：若购买更粗的同材质蜡烛，时间与长度关系是否变化？

五、易错点与学习建议

1. 常见错误：
2. 混淆正比例与反比例的判定条件（如将“和一定”误认为比例关系）；
3. 解比例时未保持单位统一（如距离单位不一致直接计算比例尺）。
4. 学习建议：
5. 生活实践：用地图测距或调配饮料（如橙汁与水的比例）；
6. 数形结合：绘制正比例函数图象，直观感受“直线上升”趋势；
7. 跨学科整合：联系物理中的速度-时间关系或化学中的浓度问题分析比例模型。

六、考纲能力要求

1. 符号意识：能用比例式表达变量关系；
2. 模型思维：将实际问题抽象为比例模型并计算；
3. 数据观念：通过数据分析判断比例关系的类型。

附：知识结构导图

1
2
3

比例 → 意义：表示两组比相等 → 基本性质（内项积=外项积）  
      ↘ 正比例与反比例 → 判断、公式、图象 → 应用（行程、浓度）  
      ↘ 实际应用 → 比例尺/图形缩放 → 跨学科建模（科学、工程）  

总结：通过装修设计、科学实验等任务，深化比例的实际应用。建议通过家庭日常活动（如调配消毒液浓度、规划旅行路线图）强化数学生活化思维。

人教版六年级数学下册第四单元《比例》练习卷

依据最新考纲要求，融入开放性、实践性题目（占比30%），满分100分，时间60分钟

一、基础巩固（40分）

1. 填空题（每空2分，共20分）
2. 若 \(x:5 = 9:15\)，则 \(x =\) ；若 \(0.3:4 =\):8 )，则括号内填 。
3. 速度一定时，路程与时间成__比例；总价一定时，单价与数量成____比例。
4. 比例尺1:500000表示图上1cm相当于实际______km。
5. 将三角形按3\(\frac{1}{4}\)，面积缩小到原来的______。
6. 判断题（每题2分，共8分）
7. （ ）反比例关系的图象是一条经过原点的直线。
8. （ ）若 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，则 \(a \times c = b \times d\)。
9. （ ）比例尺可以表示为分数的形式。
10. （ ）圆的周长与直径成正比例。
11. 选择题（每题3分，共12分）
12. 下列关系中，成反比例的是（ ）。 A. 正方形的周长与边长 B. 看一本书的页数一定，已读页数与未读页数 C. 三角形面积一定，底与高 D. 圆柱体积一定，底面积与高
13. 比例 \(5:2 = 15:x\) 的解为（ ）。 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
14. 甲4小时加工零件60个，乙用的时间与甲相同，乙的工作效率与甲比为5:6。乙加工的零件数是（ ）。 A. 50 B. 72 C. 48
15. 一幅地图比例尺为1:4000000，若两地图上距离6cm，实际距离（ ）。 A. 240km B. 24km C. 2400km

二、应用与探究（30分）

1. 比例应用题（12分）

2. 某公司计划5天完成订单，但前3天仅完成48%，剩余需按______比例的效率完成（填正/反）？并计算剩余任务每天的工作量与原计划的比例。

3. 比例尺与制图（10分）

4. 某公园长800m，宽500m，需用比例尺1:20000绘制平面图：

   1. 求图纸上的长与宽；
   2. 开放设计：若在图纸上增加一个圆形花坛（实际半径50m），如何标注重叠部分的比例？

5. 正反比例判断（8分）

6. 表格给出实验数据：

1

判断$x$与$y$是否成比例关系，并说明类型。

三、开放与实践（30分）

1. 家庭厨房调配师（15分）
2. 任务：根据菜谱调配果汁，要求橙汁与水的体积比为3:2：
   1. 若需调配500毫升果汁，求橙汁和水的体积；
   2. 开放调配：若现有橙汁180mL，能否通过加水完成配比？详细计算并设计调配方案；
   3. 意外分析：误将比例调为5:3，如何通过过滤或添加材料修正？
3. 校园绿化工程师（15分）
4. 背景：学校计划在长60米、宽40米的长方形空地种植草坪和花坛，面积比为7:3：
   1. 分别计算草坪与花坛的面积；
   2. 开放布局：按比例画出两种不同花坛分布方案（如中心对称或边缘环绕），标出关键尺寸；
   3. 预算优化：若草坪每平米造价20元，花坛每平米50元，提出成本控制建议。

参考答案与解析

一、基础巩固

1. 答案：3；0.6；正；反；5；9；1/16。
2. 答案：×（反比例为双曲线），×（应\(a \times d = b \times c\)），√，√。
3. 答案：D（体积\(x=6\)），A（效率比5:6→60×⅚=50），A（6×40=240km）。

二、应用与探究

1. 解析：
2. 剩余比例效率应为正比例；原计划量100%，剩余52%，需在2天完成→每日需完成26%（原计划为20%），比例26%:20%=13:10。
3. 解析：
4. 图纸长：80000cm÷20000=4cm，宽：50000cm÷20000=2.5cm；
5. 花坛图上半径：5000cm÷20000=0.25cm。
6. 解析：
7. \(x \times y =24 \ \text{（定值）} \Rightarrow\) 反比例关系。

三、开放与实践

1. 示例答案：
2. 橙汁300mL，水200mL；
3. 加水=180×(⅔)=120mL，总量为300mL→需补充橙汁至300mL×(⅗)=180mL，满足比例；
4. 按5:3的比例超量使用橙汁，需计算差值或稀释。
5. 解析：
6. 总面积=60×40=2400m²→草坪1680m²，花坛720m²；
7. 预算：草坪费用1680×20=33600元，花坛720×50=36000元→总69600元。可建议减少花坛面积或选择低成本花材。

评分标准

• 开放题：逻辑准确（40%）、计算合理（40%）、创新性（20%）；
• 应用题：公式正确（50%）、步骤清晰（30%）、单位规范（20%）。

总结：通过果汁调配与绿化设计等实际问题，强化比例关系在生活中的应用。建议结合家庭烹饪或校园活动进行实践操作，深化比例思维的数据建模能力。

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