第五单元

依据最新考纲要求，聚焦逻辑推理与实际问题建模，强化分类讨论、抽象分析与逆向思维能力，注重生活场景与数学原理的融合。

一、核心知识点

1. 鸽巢原理（抽屉原理）基本形式

• 最简形式：

把 \(n+1\) 个物体放进 \(n\) 个抽屉，至少有一个抽屉中放入了 至少2个物体。 示例： 4支铅笔放入3个笔筒，至少有一个笔筒有≥2支铅笔。

• 推广形式：

把 \(mn+k\) 个物体（\(m, k\) 为自然数，\(k \leq n\)）放进 \(n\) 个抽屉，至少存在一个抽屉有 至少 \(m+1\) 个物体。 公式表达： \(\(\text{至少数} = \left\lceil \frac{\text{物体数}}{\text{抽屉数}} \right\rceil \quad \text{（向上取整）}.\)\)

2. 鸽巢问题解决步骤

1. 确定“抽屉”与“物体”（即分类的类别和待分对象）；
2. 极端化思考（最不利原则）：保证最不利情况下仍满足条件；
3. 建立数学关系，计算至少数。

3. 实际应用模型

• 典型场景：
• 颜色分类（如摸球问题）；
• 生日问题（人群中最少人数保证同月出生）；
• 公平分配（如分苹果方案设计）。

二、重点与难点

三、典型例题与解析

例题1：基本问题

• 题目：将17支铅笔放入4个盒子，至少有一个盒子需放几支？ 解析： \(\(\left\lceil \frac{17}{4} \right\rceil = 5 \ \text{支} \quad \Rightarrow \quad \text{至少有一个盒中有5支}.\)\)

例题2：逆推应用

• 题目：至少需要摸出几枚棋子才能保证有3枚颜色相同？已知盒子中有红、黄、蓝、绿各5枚。 解析： \(\(\text{极端情况：红黄蓝绿各摸2枚（共8枚）} \quad \Rightarrow \quad \text{再摸1枚必重复} \quad \Rightarrow \quad 2×4+1=9 \ \text{枚}.\)\)

例题3：综合应用

• 题目：某校380名学生中，至少存在______人在同一天过生日（一年按365天计算）。 解析： \(\(\left\lceil \frac{380}{365} \right\rceil =2 \quad \Rightarrow \quad \text{至少2人同天生日}.\)\)

四、实践性与开放性问题

1. 图书馆借阅统计师

• 任务：某班借阅图书共122本，需放入3个类别（科学/文学/历史）的书架：
• 求某个类别至少需要放置多少本书；
• 开放分析：若每类书架容量为40本，是否会存在问题？

2. 日期与月份分配

• 问题：全年共有26个节气（按公历分布在各月），证明至少有一个月份包含3个节气。

步骤指引：

• 抽屉=12个月，物体=26节气；
• 计算最不利情况分配（每月2个，共24个）→ 剩余2个必分到某两个月中。

3. 公平决策优化

• 背景：班级选5名代表，要求代表中至少2人来自同一小组。已知班级共有8个小组。

挑战：

1. 求小组最多人数的最小值；
2. 逆向思考：若允许最多1个小组有2人，如何设计班级分组？

五、易错点与学习建议

1. 常见错误：
2. 忽略“极端分配”原则，直接用总数除以抽屉数取整；
3. 混淆“保证存在至少数”与“可能存在的最大数”（如“至少2人同月” vs. “最可能出现的同月人数”）。
4. 学习建议：
5. 实验验证：用扑克牌或棋子模拟分配过程；
6. 生活观察：统计班级生日月份、小组人数等数据，计算最少重复数；
7. 跨学科应用：联系计算机科学中的哈希表冲突问题。

六、考纲能力要求

1. 逻辑推理：通过极端假设推导必然结果；
2. 建模思维：将实际问题转化为抽屉模型；
3. 逆向思维：从结论反推初始条件的限制关系。

附：知识结构导图

1
2
3

鸽巢问题 → 基本原理（n+1→n抽屉） → 推广公式 → 应用类型：至少数/公平分配/逆向求解  
            ↘ 解决步骤：确定“物体”与“抽屉” → 极端分析 → 建立关系式  
            ↘ 实践扩展 → 生日问题/颜色匹配/参数逆推  

总结：通过借阅统计、节气分布等实践问题，深化对鸽巢原理的理解。建议学生结合班级管理或家庭活动设计类似挑战（如分水果、安排聚会座位），提升逻辑推理能力。

人教版六年级数学下册第五单元《数学广角——鸽巢问题》练习卷

依据最新考纲要求，融入开放性、实践性题目（占比30%），满分100分，时间60分钟

一、基础巩固（40分）

1. 填空题（每空2分，共20分）
2. 把10本书放入3个抽屉，至少有一个抽屉要放______本书。
3. 鸽巢原理的是指“物体数比抽屉数______时，至少一个抽屉中有2个物体”。
4. 盒子里有红、蓝、绿各5支笔，至少摸出______支才能保证有3支同色。
5. 任意37个人中，至少有______人的生日在同一个月。
6. 一副扑克牌（除大小王）至少摸______张才能保证有两种不同花色。
7. 判断题（每题2分，共8分）
8. （ ）将8个苹果分给3个小朋友，每人至少分2个。
9. （ ）30个人中至少有2人生日在同一天。
10. （ ）鸽巢问题只能解决数量分配，无法处理其他类型问题。
11. （ ）若每月最多有4个节气，则全年24个节气恰好分布在12个月中。
12. 选择题（每题3分，共12分）
13. 最少需要取出（ ）只袜子才能保证配对（抽屉中黑、白袜各6只）。 A. 3 B. 5 C. 7 D. 13
14. 某班有52人，至少有（ ）人在同一季节出生（春夏秋冬四季）。 A. 13 B. 14 C. 26 D. 27
15. 至少摸（ ）个球才能保证有2个不同颜色，已知盒中有红球5个，蓝球4个，绿球3个。 A. 12 B. 6 C. 9 D. 7
16. 将43名学生分到6个兴趣班，至少有一个班的人数≥（ ）。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

二、应用与探究（30分）

1. 鸽巢逆推问题（12分）
2. 抽屉里有黑、白、灰袜子各10双（每双2只），闭眼取袜：
   1. 至少取出多少只才能保证有一双同色？
   2. 开放分析：若想确保有3只不同颜色的袜子，至少需取多少只？
3. 日期与地理统计（10分）
4. 杭州亚运会参赛代表团共45个，需证明至少有一国代表团的运动员人数超过5人（总人数278人，每团至少派1人）。
5. 错误诊断（8分）
6. 小明说：“367人中一定有两人生日相同。”请说明他的结论是否正确，并修正逻辑漏洞（若存在）。

三、开放与实践（30分）

1. 班级生日安全员（15分）
2. 任务：
   1. 调查班级学生生日月份，假设班级42人，计算至少几人同月出生；
   2. 实际调研：若实际调查结果为“最多4人同月”，解释原因并提出数据优化建议；
   3. 活动设计：计划在同月生日的学生中举办月度庆生活动，预估最少活动次数。
3. 科技展物品统筹（15分）
4. 背景：某科技展需运输160件展品，使用8个运输箱，要求每箱最多装20件：
   1. 是否一定能找到至少一个箱子装的展品≥20件？说明理由；
   2. 优化方案：若规定每箱不超过25件，如何分配使所有箱子尽可能均匀？
   3. 逆向挑战：若箱子容量不固定，如何避免任一箱超过15件？

参考答案与解析

一、基础巩固

1. 答案：
2. 4（\(\lceil10÷3\rceil=4\)）；
3. 多1；
4. 7（摸5支单色后下一支满足）；
5. 4（\(\lceil37÷12\rceil=4\)）；
6. 14（13张可能全为一种花色+1张）。
7. 答案：
8. ×（可能1人得4，其他各2），
9. ×（365天可能均分），
10. ×（可应用于颜色、时间等场景），
11. ×（最多4个时24恰好，但全年有24个需=平均每月2）。
12. 答案：A（至少3只黑/白袜的第3只配对），B（52÷4=13，最少14人），D（全取红5+蓝4后下一张是绿），C（43÷6≈7.17，向上取整为8）。

二、应用与探究

1. 解析：
2. 最坏情况：各色取1只→3只，再取1只必配成一双→4只；
3. 最坏取完两种色→20只（如黑+白各10只），下一只需灰→21只。
4. 证明：假设每团最多5人→总人数≤45×5=225人，实际278人＞225→至少一国>5人。
5. 错误修正：正确。一年最多366天（闰年），367人必重复。小明结论无漏洞。

三、开放与实践

1. 示例答案：
2. \(\lceil42÷12\rceil=4\)；
3. 实际可能是非均匀分布（如出生季节聚集），建议扩大班级规模或跨班分析；
4. 最少需4次（每月一次，避开无人月份）。
5. 解析：
6. 不可能，若每箱≤20件，总容量=8×20=160，刚好分配→每箱必须恰好20件；
7. 建议\(160÷8=20\)件/箱（符合≤25条件）；
8. 设15件上限，至少需要\(\lceil160÷15\rceil=11\)个箱子。

评分标准

• 开放题：逻辑合理性（40%）、数据应用（30%）、创新性（30%）；
• 应用题：公式正确性（50%）、极端分析（30%）、单位规范（20%）。

总结：通过生日调查、运输优化等任务，深入体会鸽巢原理的实际应用。建议结合生活中的具体场景（如垃圾分类、图书馆借阅）设计更多探究性问题，培养逻辑推理能力。

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