第八单元

依据最新考纲要求，聚焦数形结合思想，强化规律探索、抽象建模及实际应用能力，注重数学思维与创新意识培养。

一、核心知识点

1. 数形结合的基本思想

定义：通过图形直观理解数的规律，或借助数的运算分析图形特性。
意义：
以形助数：用图形简化复杂计算（如点阵图分析数列规律）；
以数解形：通过数理推理解决几何问题（如坐标几何）。

2. 数列与图形的规律

点阵排列规律：
三角形数：1, 3, 6, 10, ..., 第\(n\)项为\(\frac{n(n+1)}{2}\)；
正方形数：1, 4, 9, 16, ..., 第\(n\)项为\(n^2\)。
连续奇数之和： \(\(1 + 3 + 5 + \cdots +（2n-1）= n^2 \quad \text{（对应边长n的正方形点数）}.\)\) 示例：1+3=4=2²，1+3+5=9=3²。

3. 数形结合的实际应用

分数模型：用面积图理解分数加减（如“披萨分割”）；
行程问题：用线段图分析相遇追及问题；
优化问题：几何构图解决最短路径（如费马点）。

4. 几何图形中的数学规律

坐标系的数形对应：
直角坐标系中点坐标（x, y）与位置的数理关系；
函数图像（如正比例函数图像为直线\(y=kx\)）。
对称性的数量表达：
轴对称图形的坐标对称性（点（a,b）关于y轴对称点为（-a,b））。

二、重点与难点

方向	内容
重点	- 通过点阵图发现数列规律；用数形结合解决等差、等比数列问题。
难点	- 抽象图形中的隐含数学关系（如复杂点阵的综合性规律）； - 实际问题的创新建模。

三、典型例题与解析

例题1：点阵规律

题目：观察点阵图，用算式表示第5个图形的点数，并写出第\(n\)项的公式。 \(\(○ \quad ○○ \quad ○○○ \quad \dots（每项递增1个○）\)\) 解析：第5项点数1\(n\)项公式\(\frac{n(n+1)}{2}\)。

例题2：连续奇数之和

题目：计算1\(1+3+5+7+9+11=6^2=36\)，对应边长为6的正方形点数。

例题3：线段图应用

题目：甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲速5km/h，乙速4km/h，两地距离27km。用线段图标示相遇时间。解析：线段总长27km，速度合为9km/h → 相遇时间\(27÷9=3\)小时。相遇点距A地5×3=15km，据此绘图。

四、实践性与开放性问题

1. 家庭园艺规划师

任务：用正方形花坛种植，第1层1盆花，第2层3盆形成正三角形，第3层6盆…
计算前5层总花盆数；
开放设计：若改为每层递增4盆，如何构建规律模型？

2. 校园地图优化

场景：教学楼A到操场需经过两个直角弯（路线构成矩形），简化路径以最短距离通行。
用数学原理说明最短路径（Reflection Method）；
创新提案：结合绿化带设计一条兼具美观与效率的路径。

3. 艺术与数学融合

问题：设计一种图案，要求同时满足：
包含连续奇数之和的几何结构；
对称轴不少于2条；
用函数式描述图案的延伸规律。

五、易错点与学习建议

常见错误：
混淆点阵排列类型（如误将三角形数规律套用在正方形数问题）；
未将图形特征转化为数学模型（如只画图不解式）。
学习建议：
动手操作：用棋子、积木摆点阵，观察规律；
跨域联想：将数列与建筑、自然图案（蜂巢、雪花）结合分析；
软件辅助：使用几何画板或编程工具动态模拟数形关系。

六、考纲能力要求

抽象思维：从图形中抽象出数学关系，建立数列模型；
创新意识：设计符合数形规律的图案或解决方案；
实践应用：将数形结合应用于工程、艺术等跨学科场景。

附：知识结构导图

Text Only
数形结合 → 基本思想 ↗ 以形助数（点阵→数列）  
           ↘ 以数解形（代数→几何）  
应用场景 → 实际问题  
           ↘ 数列规律（三角形数/正方形数）  
           ↘ 几何构图（坐标系/对称性/优化路径）  

总结：通过点阵园艺设计、校园路径优化等任务，深化数形思想的应用。建议学生自主探索生活中的图形规律（如瓷砖排列、树木年轮），用数学语言记录与分析，培养发现数据之美的能力。

人教版六年级数学上册第八单元《数学广角—数与形》练习卷

依据最新考纲要求，融入开放性与实践性题目（占比30%），满分100分，时间60分钟

一、基础巩固（40分）

填空题（每空2分，共20分）
连续3个奇数的和是27，这三个数分别是__、、，它们的和可表示为____（形状）。
第4个三角形数是__（点阵图），其对应公式为____。
用点阵图表示算式\(1 + 3 + 5 = 7\)时，图形应为边长的正方形，但实际和为_，修正后的正确图形是边长为___的正方形。
两点之间最短路径的数学原理是___。
判断题（每题2分，共8分）
（）所有连续奇数的和都是完全平方数。
（）数形结合仅用于解决数列问题，不能处理几何问题。
（）第\(n\)个三角形数的公式是\(n(n+1)\)。
（）用线段图分析行程问题时，线段长度代表速度。
选择题（每题3分，共12分）
某点阵图的第5项有15个点，其对应的公式是（）。 A. \(n^2\) B. \(\frac{n(n+1)}{2}\) C. \(2n-1\)
计算\(1+3+5+7+9+11\)的结果对应的图形是（）。 A. 边长为5的正方形 B. 边长为6的正方形 C. 正三角形
两地相距120km，甲车速度60km/h，乙车速度40km/h，相向而行的相遇时间可用（）图分析。 A. 点阵图 B. 线段图 C. 扇形图
直角坐标系中，点\((3,4)\)关于\(y\)轴对称的坐标是（）。 A. \((-3,4)\) B. \((3,-4)\) C. \((-3,-4)\)

二、应用与探究（30分）

点阵规律探索（12分）
点阵排列

（每层点数递增4）：
- 第1层：1个点；第2层：5个点；第3层：9个点…
- 写出第5层的点数及前5层总点数；
- 开放建模：若每层点数改为递增\(k\)，推导第\(n\)层点数的通项公式。
实际问题应用（10分）
小明从家到学校有两条路：
- A路线：直行500米后左转300米；
- B路线：直接穿过公园草坪。
- 若两点间直线距离为600米，哪条路线更短？短多少米？
- 开放分析：若B路线草坪禁止通行，如何设计最短替代路径（不绕行路段重复）？
数列图形转化（8分）
用点阵图表示算式\(1 + 2 + 3 + 4 + 5\)，并说明其对应的图形名称和规律公式。

三、开放与实践（30分）

校园路径设计师（15分）
任务：学校教学楼（A点）到体育馆（B点）需绕过矩形花坛（长50米，宽30米）：
1. 利用“反射法”计算最短路径长度；
2. 实践提案：在花坛四角增设路灯，画出安全路线图并解释数学原理；
3. 环保主张：若花坛改为圆形，最短路径是否改变？说明理由。
数学艺术创作（15分）
要求：设计一个“数与形结合”的图案，需满足：
1. 包含连续奇数的平方结构（至少3层）；
2. 有至少1条对称轴；
3. 写出图案的数学规律（如每层点数或坐标关系）；
4. 创新挑战：用函数式描述图案的扩展规律（如\(y = x^2\)的分形化）。

参考答案与解析

一、基础巩固

答案：
7、9、11，3×3正方形；
10，\(\frac{n(n+1)}{2}\)；
3，和9，边长3；
两点之间线段最短。
答案：×（仅从1开始的连续奇数），×（可解几何问题），×（应为\(\frac{n(n+1)}{2}\)），×（代表距离）。
答案：B（三角形数），B（6²=36），B，A。

二、应用与探究

解析：
第5层点数1+4×4=17；前5层总和1+5+9+13+17=45；
第\(n\)层点数公式：\(1 + (n-1) \times k\)。
解析：
A路线总长500+300=800米，B路线600米→B更短，短200米；
替代路径：按反射法构造镜像点，路径长600米（需实际问题图示）。
解析：
点阵呈正三角形排列，总点数15，公式\(\frac{5×6}{2}=15\)。

三、开放与实践

示例答案：
最短路径：将B点反射至花坛另一侧，计算直线距离\(\sqrt{(50+50)^2 +30^2} ≈104.4\)米；
路灯路径：沿花坛两侧直角边走（数学原理：勾股定理）；
若为圆形，最短路径为直径两端连线，无需反射。
设计示例：
图案：中心1点，第二层3点呈三角形，第三层5点包围成星形；
对称轴：3条（正三角形）；
规律：每层奇数递增，符合\(2n-1\)；扩展函数为\(r = n^2\)（极坐标）。

评分标准

开放题：设计创新性（40%）、数学逻辑（40%）、表达完整性（20%）；
应用题：公式正确性（50%）、步骤清晰度（30%）、结果合理（20%）。

总结：通过路径设计与数学艺术等任务，深化数形结合思想的应用能力。建议学生观察建筑、自然中的几何规律（如蜂巢六边形），用数学思维发现生活中的对称与效率之美。

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