第二单元

依据最新考纲要求，聚焦分数除法的意义、计算法则与实际问题解决，强化数学建模和逆向思维，注重应用能力培养。

一、核心知识点

1. 分数除法的意义

基本定义：已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
实际意义：
分数÷整数：将分数平均分成若干份（如 \(\frac{4}{5} \div 2\) 表示将 \(\frac{4}{5}\) 均分2份）；
整数÷分数：求整数中包含多少个分数值（如 \(2 \div \frac{1}{4}\) 表示2包含多少个 \(\frac{1}{4}\)）。

2. 分数除法的计算方法

核心法则：除以一个数（0除外）等于乘它的倒数。 \(\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \quad \text{（注意倒数转化与约分）}\)\)
具体步骤：
将被除数和除数的分子分母对调（倒数）；
转化为乘法并约分；
计算结果（假分数可化为带分数）。
示例： \(\(8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \quad \text{或} \quad \frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{2}{3}.\)\)

3. 分数混合运算

运算顺序：与整数四则混合运算相同，遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”。
简便运算：
乘法分配律：\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)；
结合律调整顺序：\(\frac{5}{6} \div \left( \frac{1}{3} \times 2 \right) = \frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{4}\).

4. 实际应用题类型

分率与对应量：已知部分求整体（单位“1”）或已知整体求部分。示例：水果店运来西瓜\(\frac{4}{5}\)吨，是苹果的\(\frac{2}{3}\)，求苹果重量。 \(\(\text{苹果} = \frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{5} \ \text{吨}.\)\)
工程问题：熟记总量设为“1”，工作效率\(\(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \quad \Rightarrow \quad 1 \div \frac{5}{12} = 2\frac{2}{5} \ \text{天}.\)\)

二、重点与难点

方向	内容
重点	- 熟练掌握分数除法法则； - 正确解决单位“1”未知的分率问题。
难点	- 分数除法与混合运算的综合应用； - 工程问题中抽象为数学模型的思维转换。

三、典型例题与解析

例题1：基础运算

题目：计算 \(\frac{9}{14} \div \frac{3}{7}\). 解析： \(\(\frac{9}{14} \div \frac{3}{7} = \frac{9}{14} \times \frac{7}{3} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2} \quad \text{（或1.5）}.\)\)

例题2：应用题（分率问题）

题目：一桶油用去\(\frac{3}{8}\)，还剩15千克，原有多少千克？解析： \(\(\text{剩余比例：} 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \quad \Rightarrow \quad \text{总量} = 15 \div \frac{5}{8} = 24 \ \text{千克}.\)\)

例题3：工程问题

题目：甲队修路需20天，乙队需30天。两队合作5天后，剩余甲队单独完成，还需几天？解析： \(\(\text{合作5天完成}：5 \times \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \right) = \frac{1}{4} \ \text{→ 剩余} \ \frac{3}{4} \ \text{→ 甲单独需} \frac{3}{4} \div \frac{1}{20} =15 \ \text{天}.\)\)

四、实践性与开放性问题

1. 家庭食谱优化

任务：制作蛋糕需面粉\(\frac{3}{4}\)千克，糖是面粉的\(\frac{2}{3}\)。
若改用木糖醇（需糖量的\(\frac{1}{2}\)），求木糖醇用量；
开放分析：如何调整比例使热量减少20%？

2. 环保材料采购

背景：班级用\(\frac{5}{6}\)卷彩纸制作装饰，剩余彩纸是原长的\(\frac{1}{3}\)。
求原彩纸长度；
创新方案：若回收旧彩纸代替50%新材料，节省费用表达式如何？

3. 运动训练计划

场景：小明跑步速度是步行的3倍，上学需步行\(\frac{3}{4}\)小时。
若全程跑步，节省多少时间？
扩展设计：提出混合运动（跑步+步行）的优化方案，节省总时间至少¼。

五、易错点与学习建议

常见错误：
未将除法转化为乘法直接计算（如 \(\frac{2}{3} \div 4\) 误算为 \(\frac{2}{12}\)）；
应用题中混淆分率与实际数量（如“多( \frac{1}{4} ”误解为具体值）。
学习建议：
图示辅助：用线段图分析分率问题，明确单位“1”；
逆向验证：通过乘法反向验证除法结果（如 \(x ÷ \frac{3}{5} =10\) → \(x =6\) → \(6 \div \frac{3}{5} =10\)）。

六、考纲能力要求

运算能力：准确进行分数除法及混合运算；
应用意识：将分数除法应用于工程、经济等实际问题；
模型思想：通过抽象分率模型解决复杂情境问题。

附：知识结构导图

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分数除法 → 意义 → 平均分、包含除  
         ↘ 计算法则 → 倒数转换  
         ↘ 混合运算 ↗ 顺序规则  
                   ↘ 简便运算  
         ↘ 应用题 → 分率关系、工程问题、生活优化  

总结：通过食谱优化、材料采购等实际问题，深化分数除法的实际意义，建议结合日常活动（如时间规划、资源分配）强化计算能力，培养数学建模思维。

人教版六年级数学上册第二单元《分数除法》练习卷

依据最新考纲要求，融入开放性与实践性题目（占比30%），满分100分，时间60分钟

一、基础巩固（40分）

填空题（每空2分，共20分）
\(\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} =\) ，计算依据是 ______。
比50千克多 \(\frac{1}{4}\) 的数是______千克。
如果 \(a \div \frac{3}{4} = \frac{2}{5}\)，则 \(a =\) ______。
一台拖拉机耕一块地需8小时，每小时耕地______（填分数）。
\(\frac{2}{7} \div 4 =\) ______。
判断题（每题2分，共8分）
（）分数除法的商一定大于被除数。
（）15米的 \(\frac{3}{5}\) 和15米的 \(\frac{3}{5}\)米意义相同。
（）甲数的 \(\frac{2}{3}\) 是乙数，乙数的对应量已知时可用除法求甲数。
（）\(\frac{3}{4} \div \frac{1}{3} = \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4}\)。
选择题（每题3分，共12分）
下列算式中，与 \(\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}\) 结果相同的是（）。 A. \(\frac{4}{5} \times \frac{3}{2}\) B. \(\frac{4}{5} \times \frac{2}{3}\) C. \(\frac{4}{5} + \frac{2}{3}\)
一项工程，甲队单独完成需15天，乙队效率是甲的2倍，乙队需（）天。 A. 7.5 B. 30 C. 5 D. 10
一条绳子用去 \(\frac{3}{5}\)，剩余12米，原长（）。 A. 6米 B. 30米 C. 20米 D. 24米
某品牌酸奶降价 \(\frac{1}{5}\) 后售价24元，原价（）。 A. 30元 B. 28.8元 C. 19.2元 D. 25元

二、应用与探究（30分）

分率应用题（10分）
书店新到一批书，科幻类占 \(\frac{2}{5}\)，文学类比科幻类少 \(\frac{1}{4}\)，文学类有180本。求总书量。
工程问题（10分）
修一段公路，甲队需10天，乙队需15天。两??合作3天后，甲队调离，剩余由乙队单独完成，还需几天？
购物策略分析（10分）
商场A：牛奶买4盒送1盒，单价5元；
商场B：满10元减2元，单价4.5元。任务：买6盒牛奶，哪个商场更划算？列式计算。

三、开放与实践（30分）

家庭节水工程师（15分）
背景：某家庭每月用水20吨，计划通过安装节水设备减少\(\frac{1}{8}\)，再利用雨水解决剩余用水的\(\frac{1}{5}\)。
1. 计算实际每月需购买的自来水量；
2. 开放设计：增加一项节水措施（如洗碗机省水率\(\frac{1}{6}\)），重新计算总节约量；
3. 环保标语：结合数据设计一句宣传语（如“节约\(\frac{1}{8}\)，每月省下______吨水”）。
校园菜园设计师（15分）
任务：学校菜园面积300㎡，
1. 计划种青菜的面积是总面积的\(\frac{2}{5}\)，剩余的按3:2种萝卜和茄子。求三种蔬菜的面积；
2. 调整方案：若茄子需求翻倍，需将萝卜面积减少\(\frac{1}{6}\)，求新种植比例；
3. 创意提议：设计一种“校园农场\(\frac{1}{10}\)展示数学知识）。

参考答案与解析

一、基础巩固

答案： \(\frac{5}{4}\)（或1.25），除法转化为乘倒数； 62.5（\(50 \times (1+\frac{1}{4}))\)； \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\)； \(\frac{1}{8}\)； \(\frac{1}{14}\)（\(\frac{2}{7} \times \frac{1}{4}\)）。
答案：×（如除真分数时商大于被除数，其余可能不成立），×（前者是比例，后者是具体量），√，√。
答案：A，A（甲效率\(=12 \div (1-\frac{3}{5})=30\)），A（\(24 \div (1-\frac{1}{5})=30\)）。

二、应用与探究

解析：
设总书量为\(x\)，则科幻类\(\frac{2}{5}x\)，文学类\(\frac{2}{5}x \times (1-\frac{1}{4})=180\) → \(\frac{3}{10}x=180\) → \(x=600\)本。
解析：
合作3天完成\(3 \times (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = \frac{1}{2}\) → 剩余\(\frac{1}{2}\) → 乙单独需\(\frac{1}{2} \div \frac{1}{15}=7.5\)天。
解析：
商场A：买4送1得5盒，需再买1盒 → 总价5×5=25元；
商场B：6×4.5=27元 → 满27减2×2=4元 → 实付23元 → 选B更划算。

三、开放与实践

解析：
节水后用量\(20 \times (1 -\frac{1}{8}) = 17.5\)吨 → 雨水解决\(17.5 \times \frac{1}{5}=3.5\)吨 → 自来水需14吨；
增加洗碗机节约\(\frac{1}{6}\)，总节约\(3.5+14×\frac{1}{6}≈5.83\)吨；
标语示例：“全家节水\(\frac{1}{8}\)，每月省水2.5吨！”
解析：
青菜300×\(\frac{2}{5}\)=120㎡，剩余180㎡按3:2分配 → 萝卜108㎡，茄子72㎡；
茄??面积增至144㎡ → 萝卜调整为108−18=90㎡ → 新比例如90:144=5:8；
跨界方案：菜园的\(\frac{1}{10}\)设为数学观察区，标注比例（如“茄??占全园\(\frac{72}{300} = \frac{6}{25}\)”）。

评分标准

开放题：方案合理性（40%），计算步骤（40%），创新性（20%）。
应用题：单位“1”正确性（30%），公式应用（40%），结果准确性（30%）。

总结：通过节水设计与菜园规划将分数除法融入生活，学生需综合运算能力和创新思维。家长可结合家庭账单计算或社区资源分配，巩固知识应用。

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