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第三单元

依据最新考纲要求，聚焦比的意义、性质与应用，强化比例思想与实际问题解决能力，注重数形结合及创新思维培养。

一、核心知识点

1. 比的意义与表示方法
  • 定义：两个数相除又叫做两个数的比，比表示两个量的倍数关系。

\(\(a : b = \frac{a}{b} \quad \text{（读作“a比b”）}\)\)

  • 比的组成：前项（a）、后项（b）、比号（:）、比值（a÷b的结果）。

  • 比的本质：

  • 一种简化的倍数关系表达，不要求单位统一；

  • 比可以转化为分数或除法形式，但意义不同（如“3:5”既可表示数量比，也可表示分率关系）。
2. 比的基本性质
  • 性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 \(\(a : b = (a \times k) : (b \times k) = (a \div k) : (b \div k) \quad (k \neq 0)\)\)
  • 化简比：将比化为前项和后项互质的整数比。 示例： \(\(18 : 24 = (18 \div 6) : (24 \div 6) = 3 : 4\)\)
3. 比与分数、除法的关系
概念 联系 区别
比 前项：后项 = 比值 侧重倍数关系，无单位
分数 分子/分母 表示具体的数值
除法 被除数÷除数 是一种运算行为
4. 比的应用
  • 按比例分配：将总量按给定比例分成若干部分。 公式： \(\(\text{各部分量} = \text{总量} \times \frac{\text{对应份数}}{\text{总份数}}\)\)
  • 实际场景：
  • 混凝土的砂、石、水泥比例；
  • 地图的比例尺（如1:1000000表示图上1cm代表实际10km）。

二、重点与难点

方向 内容
重点 - 掌握比的性质及化简方法； - 灵活运用按比例分配解决实际问题。
难点 - 比例尺中单位的转换； - 复杂比例关系的建模与分析。

三、典型例题与解析

例题1：化简比

  • 题目：将\(2.5 \, \text{米} : 50 \, \text{厘米}\)化简成最简整数比。 解析： 统一单位 → \(250 \, \text{cm} : 50 \, \text{cm} = 5 : 1\)。

例题2：按比例分配

  • 题目：学校用480本图书奖励三好学生，按5\(480 \times \frac{5}{8} = 300 \, \text{本}\)； 五年级：\(480 \times \frac{3}{8} = 180 \, \text{本}\)。

例题3：比例尺应用

  • 题目：在比例尺1:200的图纸上，量得长方形长4cm、宽3cm，实际面积是多少平方米？

解析：

  • 实际长：\(4 \times 200=800 \, \text{cm} =8 \, \text{m}\)；
  • 实际宽：\(3 \times 200=600 \, \text{cm} =6 \, \text{m}\)；
  • 实际面积：\(8 \times 6=48 \, \text{m}^2\)。

四、实践性与开放性问题

1. 家庭食谱优化
  • 任务：制作松饼时面粉与糖的比例为10:3，若需用面粉500克，糖的用量是多少？
  • 扩展分析：若加入牛奶后总质量增加20%，原比例是否需调整？说明理由。
2. 校园绿化设计
  • 背景：学校计划用三种植物（绿萝、吊兰、多肉）装饰走廊，预算金额比为4:5:6，总预算为3000元。
  • 计算每种植物的预算分配金额；
  • 开放设计：若绿萝需提高预算至1.5倍，其他植物比例调整方案如何？
3. 地图测绘师
  • 问题：某地图标注比例尺为1:5000，测得两地间距离为8cm，实际骑行需20分钟。
  • 开放讨论：若更换比例尺为1:8000，如何调整地图显示以方便骑行估算时间？

五、易错点与学习建议

  1. 常见错误：
  2. 化简比时混淆求比值（如将3:2化简为1.5）；
  3. 比例尺计算时未统一单位（如厘米与米混用）。
  4. 学习建议：
  5. 实物操作：调配颜料、食材等比例如1:2:3，感受比例的意义；
  6. 对比练习：同一题目用比例、分数两种方法解答（如分糖果的⅗与3:5的异同）；
  7. 生活建模：用比例分析家庭支出分配（如饮食:教育:娱乐=5:3:2）。

六、考纲能力要求

  1. 运算能力：准确化简比并计算实际分配的数值；
  2. 模型思想：将生活场景抽象为比例关系解决问题；
  3. 创新意识：设计或调整比例以适应实际需求（如调整配方比例）。

附：知识结构导图

Text Only
1
2
3
4
比 → 意义 → 表示关系 ↔ 比值计算  
    ↘ 基本性质 → 化简比 → 最简整数比  
    ↘ 应用 → 按比例分配 ↗ 实际问题（食谱、预算）  
                 ↘ 比例尺 → 位置与测量

总结：通过调配、测绘等实践任务，深化比的实际意义，建议家长与孩子合作完成家庭账单管理或旅行路线规划，强化数学在生活中的应用。

人教版六年级数学上册第三单元《比》练习卷

依据最新考纲要求，融入开放性与实践性题目（占比30%），满分100分，时间60分钟

一、基础巩固（40分）

  1. 填空题（每空2分，共20分）
  2. 15分钟：1小时的比值是__，化简为____。
  3. 盐水中盐和水的比是1:9，盐占盐水的__，水占盐水的____。
  4. 比例尺1:2000表示图上1cm相当于实际______米。
  5. 一项任务，甲单独完成需6小时，乙需4小时，甲与乙的工作效率比为______。
  6. 把3:0.75化成最简整数比是__，比值是____。
  7. 判断题（每题2分，共8分）
  8. （ ）比的前项和后项同时加10，比值不变。
  9. （ ）甲数的\(\frac{1}{3}\)等于乙数的\(\frac{1}{4}\)，甲数与乙数的比是3:4。
  10. （ ）化简比时，最终结果必须是整数。
  11. （ ）比例尺1:5000地图上的3厘米，实际距离是150米。
  12. 选择题（每题3分，共12分）
  13. 配比为2:3:5的混凝土需要砂子240千克，石子需（ ）千克。 A. 360 B. 480 C. 600 D. 720
  14. 图纸上长4cm的线段，实际长24米，比例尺是（ ）。 A. 1:6 B. 1:60 C. 1:600 D. 1:6000
  15. 下列比中能与\(\frac{1}{2} : \frac{1}{3}\)组成比例的是（ ）。 A. 3:2 B. 2:3 C. 6:4 D. 9:4
  16. 一杯果汁，果汁与水的比是1:4，喝掉一半后，剩余果汁浓度（ ）。 A. 变淡 B. 不变 C. 变浓 D. 无法确定

二、应用与探究（30分）

  1. 比例应用题（10分）
  2. 书店将360本故事书按5:4分配给四年级和五年级，已知四年级实际多接收20本，求实际分配结果。
  3. 开放讨论：若需五年级与四年级的比调整为2:3，需额外购买多少本书？
  4. 比例尺转换（10分）
  5. 在比例尺1:50000的地图上，A城市到B城市相距8cm。
    1. 实际距离多少千米？
    2. 实践操作：用另一比例尺（1:40000）重新绘制地图，图上距离应是多少？
  6. 错误诊断（10分）
  7. 小明的解题过程： 题目：化简比 \(2.4\, \text{小时} : 1\, \text{小时}20\, \text{分钟}\)。 解题：\(2.4 : 1.2 = 2 : 1\)。 任务：指出错误并修正。

三、开放与实践（30分）

7. 家庭食谱优化师（15分）

  • 任务：松饼配料比例（面粉:糖:鸡蛋=10:3:2），需制作面糊总重600克。
  • 计算各材料用量；
  • 创新调整：若糖减少\(\frac{1}{5}\)并保持甜度，需如何调整其他材料比例？
  • 数据分析：若改用全麦面粉（密度高20%），重新计算总重量。

8.校园艺术墙设计师（15分）

  • 背景：墙面长10米，高3米，计划按2:3:5的比例绘制三部分（自然、科技、艺术）。
  • 计算每部分墙面长度；
  • 开放设计：若科技部分需新增互动装置（占原面积的\(\frac{1}{4}\)），如何调整比例？
  • 标语创意：结合数学比例写一句标语（如“科学:艺术=探索:创造”）。

参考答案与解析

一、基础巩固

  1. 答案：
  2. \(\frac{1}{4}\)，\(1:4\)；
  3. \(\frac{1}{10}\)，\(\frac{9}{10}\)；
  4. 20米；
  5. \(2:3\)（甲效率\(\frac{1}{6}\)，乙效率\(\frac{1}{4}\)）；
  6. \(4:1\)，4。
  7. 答案：×（例如2:3→12:13值变），√，×（比值可用分数），√。
  8. 答案：C（石子比例为5/10→240×5/2=600），C（比例尺=4cm:2400cm=1:600），A（原比3:2），B。

二、应用与探究

  1. 解析：
  2. 原计划分配：四年级360×\(\frac{5}{9}\)=200本，五年级160本。实际四年级220本→五年级140本；
  3. 调整后所需总书量：设总量为\(x\)，则 \(\frac{2}{5}x : \frac{3}{5}x = 140:220\) → 需额外购买80本。
  4. 解析：
  5. 实际距离8×50000=400000cm=4km；
  6. 新图距=400000÷40000=10cm。
  7. 错误诊断：
  8. 单位未统一→正确化简：\(144分钟:80分钟=144:80=9:5\)。

三、开放与实践

  1. 示例答案：
  2. 面粉600×\(\frac{10}{15}\)=400g，糖180g，鸡蛋120g；
  3. 糖减至144g，新比10:2.4:2≈25:6:5；
  4. 全麦面粉需增加20%（400→480g），总重600+80=680g。
  5. 解析：
  6. 每段长：自然2m，科技3m，艺术5m；
  7. 科技调整后占3m×\(\frac{5}{4}\)=3.75m，共需面积=10×3=30㎡，新比12:15:15=4:5:5；
  8. 标语示例：“2份想象:3份创新:5份努力=完美校园墙”。

评分标准

  • 开放题：方案合理（40%），计算步骤（40%），创新性（20%）；
  • 应用题：单位转换正确（30%），比例分配逻辑（50%），结果完整（20%）。

总结：通过食谱优化与墙面设计等任务，深化对比的理解与灵活运用。建议家长引导孩子在烹饪或家庭装修中实践比例应用，强化数学与生活的联系。

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