第一单元

结合最新考纲要求，聚焦分数乘法的意义、计算方法及实际问题解决，强化运算能力与数学建模思想。

一、核心知识点

1. 分数乘法的意义

分数×整数：表示求几个相同分数相加的和（如 $\frac{2}{5} \times 3$ 表示3个$\frac{2}{5}$相加）。
分数×分数：表示求一个数的几分之几（如 $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$ 表示求$\frac{3}{4}$的$\frac{2}{5}$）。

2. 分数乘法的计算法则

基本规则：
分子相乘作分子，分母相乘作分母。
能约分的先约分，再计算。 $\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \quad \text{（注意约分简化）}$\)
示例： $\(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \quad \text{（约分后）}$\)

3. 分数乘法的简便运算

运算律：
交换律：$a \times b = b \times a$
结合律：$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
分配律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
应用场景： $\(\frac{5}{6} \times \frac{7}{9} + \frac{1}{6} \times \frac{7}{9} = \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \right) \times \frac{7}{9} = \frac{7}{9}$\)

4. 解决实际问题

常见题型：
求一个数的几分之几（如 30的$\frac{3}{5}$ → $30 \times \frac{3}{5} = 18$）。
连续分数乘法：如一本书已读$\frac{2}{5}$，未读部分是已读的$\frac{3}{4}$，未读多少页？
比较量问题：甲数是乙数的$\frac{3}{2}$倍，已知甲数求乙数。

二、重点与难点

方向	内容
重点	- 掌握分数乘法的计算法则及简便运算； - 能用分数乘法解决实际问题。
难点	- 分数混合运算中的约分技巧； - 复杂实际问题中的数量关系分析与转化。

三、典型例题与解析

例题1：基础运算

题目：计算 $\frac{7}{12} \times \frac{8}{21}$。解析： $\(\frac{7}{12} \times \frac{8}{21} = \frac{7 \times 8}{12 \times 21} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9} \quad \text{（约分：7和21、8和12约分后计算）}$\)

例题2：实际问题

题目：一桶油重50千克，第一天用去 $\frac{2}{5}$，第二天用去余下的 $\frac{1}{4}$，还剩多少千克？

解析：

第一天剩余：$50 \times (1 - \frac{2}{5}) = 30 \ \text{千克}$；
第二天用后剩余：$30 \times (1 - \frac{1}{4}) = 22.5 \ \text{千克}$。

例题3：简便运算

题目：计算 $\frac{5}{9} \times 18 + \frac{4}{9} \times 18$。解析： $\(\frac{5}{9} \times 18 + \frac{4}{9} \times 18 = \left( \frac{5}{9} + \frac{4}{9} \right) \times 18 = 1 \times 18 = 18.$\)

四、实践性与开放性问题

1. 家庭食谱优化师

任务：制作蛋糕需面粉 $\frac{3}{4}$千克，糖是面粉的 $\frac{1}{3}$，黄油是糖的 $\frac{5}{2} $倍。
计算糖和黄油的用量；
开放分析：若面粉减少 $\frac{1}{5}$，其他材料如何调整？

2. 社区用水调查员

背景：本社区每月用水量800吨，五分之二用于居民生活，剩余用于商业。
问题：商业用水点计划安装节水装置，预计节约 $\frac{1}{6}$ 的商业用水量，求每月节约吨数。
创新提议：设计一项节水宣传方案，结合数学数据说明其重要性。

3. 班级研学预算员

场景：班级预算600元，交通费占 $\frac{2}{5}$，餐费是交通费的 $\frac{3}{4}$，活动材料费剩余资金的 $\frac{1}{3}$。
计算各项目的具体金额；
优化建议：调整比例使活动材料费用更高（提出至少一种方案）。

五、易错点与学习建议

常见错误：
符号混淆：加减法与乘法混淆（如 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ 误算为 $\frac{2}{5}$）；
约分遗漏：未在计算前简化分子分母，导致结果复杂。
学习建议：
生活化训练：用购物折扣、食谱调整练习分数乘法；
分步解题：先理清题目数量关系，再列式计算；
错题复盘：针对混合运算错误做专项练习。

六、考纲能力要求

运算能力：准确熟练地进行分数乘法计算；
应用能力：灵活运用分数模型解决实际情境问题；
数学建模：将生活问题转化为分数运算表达式。

附：知识结构导图

Text Only
分数乘法 → 意义 → 分数×整数、分数×分数  
         ↘ 计算法则 → 分子乘分子、分母乘分母 → 约分  
         ↘ 运算律 → 交换律、结合律、分配律 → 简便运算  
         ↘ 实际问题 → 比较量、连续量、优化分配  

总结：通过生活化的预算制定与资源优化任务，深化对分数乘法的理解，家长可借助装修改造、家庭开支等场景帮助学生巩固知识。

人教版六年级数学上册第一单元《分数乘法》练习卷

依据最新考纲要求，融入开放性与实践性题目（占比30%），满分100分，时间60分钟

一、基础巩固（40分）

填空题（每空2分，共20分）
$\frac{3}{5} \times 4 =$ **，计算时先写成****，结果是______。
$\frac{2}{3} \times \frac{9}{10} =$ ______（需约分）。
一种药水$\frac{1}{4}$升，每次喝$\frac{1}{3}$瓶的量，每次喝______升。
比30米多$\frac{2}{5}$是______米。
$75 \times \frac{4}{15}$的积是______。
判断题（每题2分，共8分）
（）分数乘法中，分母相乘时可以不化简结果。
（）一根绳子剪去$\frac{1}{3}$，再剪去剩下的$\frac{1}{3}$，两次剪去的长度相同。
（）$\frac{5}{6} \times \frac{3}{4}$的积一定小于$\frac{5}{6}$。
（）甲数是乙数的$\frac{2}{3}$，则乙数是甲数的1.5倍。
选择题（每题3分，共12分）
$\frac{5}{12} \times \frac{6}{7}$约分后的结果是（）。 A. $\frac{5}{14}$ B. $\frac{5}{7}$ C. $\frac{5}{42}$
一筐苹果重24千克，卖出$\frac{3}{8}$，卖出了（）千克。 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
下列算式中，与$48 \times \frac{3}{4}$结果相同的是（）。 A. 48 ÷ 4 × 3 B. 48 × 4 ÷ 3 C. 48 ÷ 3 × 4
某商品原价120元，涨价$\frac{1}{5}$后又降价$\frac{1}{5}$，现价是（）。 A. 不变 B. 120元 C. 115.2元 D. 96元

二、应用与探究（30分）

实际计算（8分）
一块长方形菜地长$\frac{5}{2}$米，宽$\frac{3}{4}$米，面积是多少平方米？
开放分析：若长度增加1米，面积会增加原面积的几分之几？
连续量的分数乘法（10分）
某工程队修一条路，第一天修了全长的$\frac{1}{4}$，第二天修了剩下的$\frac{2}{3}$，还剩240米未修。
1. 这条路全长多少米？
2. 第二天修了多少米？
购物策略优化（12分）
商场A：购买3袋面粉送1袋，每袋30元；
商场B：全场八折，原价每袋28元。任务：买4袋面粉，哪个商场更划算？写出计算过程。

三、开放与实践（30分）

家庭节水工程师（15分）
背景：家用淋浴喷头每分钟流水$\frac{5}{2}$升，普通家庭每天洗澡20分钟。
- 安装节水装置后，水流减少$\frac{1}{3}$，计算每月（30天）节约的水量（单位：升）。
- 开放设计：为家庭再提出一项节水措施（如使用储水桶），并用分数乘法量化节水效果。
- 环保倡议：写一句包含数学数据的宣传标语（如“每天节约$\frac{1}{4}$，一年省水_____升”）。
校园菜园规划师（15分）
任务：学校菜园面积200平方米，
1. 计划用$\frac{1}{4}$种西红柿，$\frac{3}{10}$种黄瓜，其余种辣椒。计算每种蔬菜的种植面积；
2. 调整方案：若辣椒需求增加，需将西红柿面积减少$\frac{1}{5}$给辣椒，新面积如何分配？
3. 创意提议：提出一种科学轮作方案，说明分数关系（如“每年$\frac{1}{3}$土地休耕”）。

参考答案与解析

一、基础巩固

答案： $\frac{12}{5} \quad \text{或}\ 2\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5}$，$\frac{3}{5} \times 4$。 $\frac{3}{5}$（约分后）， $\frac{1}{12}$， 42米， 20。
答案：×（建议先约分简化），×（第一次剪⅓，第二次剪剩下的⅔的⅓即2/9），√，√。
答案：A（分子5×6=30，分母12×7=84，约分得5/14），C（24×⅜=9），A，C（120×6/5×⅘=115.2）。

二、应用与探究

解析：
面积$= \frac{5}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{8}$平方米；
长度增加后面积$= (\frac{5}{2} + 1) \times \frac{3}{4} = \frac{21}{8}$，增加部分占比$\frac{6}{8} ÷ \frac{15}{8} = \frac{2}{5}$。
解析：
第二天修后剩余比例$= (1 - \frac{1}{4}) \times (1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{4}$，对应240米 → 全长240×4=960米；
第二天修了$960 \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = 480$米。
解析：
商场A：买3送1，总价30×3=90元；
商场B：4袋价格4×28×0.8=89.6元 → 选商场B更划算。

三、开放与实践

解析：
原水量$= \frac{5}{2} \times 20 = 50$升/天 → 月用水1500升；节水后每月用量$= 50 × \frac{2}{3} \times 30 = 1000$升 → 节约500升；
节水措施示例：洗澡时间减半，节省$\frac{1}{2}$ → 年省水3000升；
标语示例：“减少$\frac{1}{3}$，全年省水500×365=182500升！”
解析：
西红柿：200×¼=50㎡，黄瓜200×3/10=60㎡，辣椒90㎡；
调整方案：西红柿减少50×⅕=10㎡ → 西红柿40㎡，辣椒100㎡；
轮作方案：每年$\frac{1}{3}$土地休耕 → 实际种植面积约133㎡。

评分标准

基础题：约分正确性（30%），步骤完整性（50%），单位标记（20%）。
开放题：数据合理性（40%），计算过程（40%），创新性（20%）。

总结：通过生活场景的节水设计和菜园规划，学生将分数乘法与实际问题紧密结合。建议家长鼓励孩子参与家庭预算与环保活动，在实践中巩固数学应用能力。

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