第八单元
结合最新考纲要求，本单元聚焦最优化策略，通过逻辑推理解决“找次品”问题，培养数学建模及问题分析能力。
一、核心知识点
1. 找次品问题的基本模型
- 情境设定：在 \(n\) 个外观相同物品中存在 1个次品（质量不同），使用天平称量，求 最少次数 确定次品。
- 关键目标：通过最优分组策略最小化称量次数。
生活实例：检测药瓶中的变质药品、电子零件质量检验。
2. 最优分组原则
- 三分法：将物品尽可能均分成3组，利用天平平衡状态缩小范围。
- 原则：
- 若物品数 \(\text{mod }3 = 0\)，直接均分；
- 若余1，分成 \((k, k, k+1)\)；
- 若余2，分成 \((k+1, k+1, k)\)。
- 称次数判断：
- 最多需 \(\lceil \log_3 n \rceil\) 次（\(\lceil \rceil\) 表示向上取整）。
典型分组示例：
- \(n=3 \rightarrow (1,1,1)\)，1次可确定；
- \(n=9 \rightarrow (3,3,3)\)，2次可确定；
- \(n=10 \rightarrow (3,3,4)\)，需3次。
3. 解题步骤及逻辑推理
- 初步分组：按上述策略将物品分成三组；
- 第一次称量：比较两组数量相同的部分：
- 平衡：次品在未称组；
- 不平衡：次品在较轻或较重的一侧（需明确次品是更轻或更重）；
- 递归处理：对含次品的组重复分组和称量，直到找出唯一物品。
例题：12个零件中含1个次品（较轻），最少称几次？ 答案：3次 解析：12 → (4,4,4) → 称两次后确定组，第三次找出具体零件。
4. 不同情境的延伸
- 次品较重或已知差异方向：逻辑相同，根据天平倾斜方向调整判断。
- 多个次品问题：通常考纲仅要求单个次品。
二、重点与难点
- 重点：
- 三分法的分组规则及应用；
- 利用树状图或表格记录称量过程。
- 难点：
- 复杂分组的递归思维（如 \(n=10\) 或 \(n=28\) 时的递推）；
- 隐含条件的提取（如次品未知更轻或更重时的策略差异）。
三、典型例题与解析
例1：基础应用 题目：有5盒饼干，其中1盒质量不足。用天平至少称几次才能找到次品？ 解析：
- 第一次分组：\((2,2,1)\)，称前两组。
- 若平衡→次品是未称的1盒（1次找到）；
- 若不平衡→次品在较轻的2盒中，需第二次称量比较两盒，共2次。 答案：至少2次。
例2：复杂问题 题目：有27枚金币，其中1枚是假币（较轻），至少称几次能确保找到？ 解析：
- 分组：\((9,9,9)\)，第一次称量确定较轻组；
- 剩余9枚分\((3,3,3)\)，第二次称量确定组；
- 最后3枚分\((1,1,1)\)，第三次称量确定假币。 答案：3次。
四、实践性与开放性问题设计
1. 实验设计
- 任务：学生用实际物品（如硬币、积木）分组模拟称量过程，记录步骤。 目标：通过动手操作理解三分法的效率。
2. 数学建模挑战
- 问题：若仓库有81箱货物，其中1箱零件不合格（更重），如何用最少次数查找？需设计完整步骤。 拓展思考：若允许天平最多称5次，最多能检测多少箱货物？
五、考纲能力要求
- 逻辑推理能力：通过策略设计，分析问题的最优解；
- 数学建模能力：将实际问题转化为分组称量的数学模型；
- 递归思维：分解复杂问题，逐步缩小查找范围。
六、常见错误与学习建议
- 典型错误：
- 未严格遵循三分法，随意分组导致次数增加；
- 忽略“次品更轻/更重”的预先条件，误判方向。
- 学习建议：
- 使用树状图记录不同情况的分支，观察策略效率；
- 从简单案例（\(n=3, 4, 9\)）逐步递推规律，总结公式。
附：核心公式速记
- 最小次数公式：若物品数 \(n\), 则最少次数为满足 \(3^k \geq n\)的最小整数 \(k\)。
- 例：\(n=10 \rightarrow 3^2=9 <10\)，故 \(k=3\)。
总结：本单元通过经典“找次品”问题训练优化思维与逻辑分析能力。建议通过流程图梳理策略（如“分组→称量→缩小范围”），结合生活实例提升应用意识。家长可引导孩子用实物模拟，强化对三分法的直观理解。
人教版五年级数学下册第八单元《数学广角——找次品》练习卷
满分：100分 时间：50分钟 命题要求：强化逻辑推理与优化策略，结合实际问题设计开放性题目。
一、基础过关（30分）
- 填空题（每空2分，共12分）
- 从3盒巧克力中找1盒重量较轻的次品，至少需要称__次。
- 若有9袋盐中有1袋是次品（较轻），用天平称至少需要__次才能找到。
- 在找次品的分组方法中，最优策略是将物品尽可能分成__组进行称量。
- 若用天平称2次最多可以检测__个物品中的次品。
- 判断题（每题2分，共8分）
- （ ）次品一定是比正品轻，否则无法用天平称量找到。
- （ ）如果有12瓶维生素，其中1瓶少了2片，至少要称3次才能找出这瓶。
- （ ）将10个零件分成（3,3,4）进行称量是符合最优分组原则的。
- （ ）“三分法”的核心思想是通过称量使每次检测范围缩小到原来的约三分之一。
- 选择题（每题3分，共10分）
- 从5盒饼干中找1盒次品，正确的第一步分组是（ ）。 A. (2,2,1) B. (1,1,3) C. (3,1,1) D. (5)
- 若次品更重，分组方法是否改变？（ ）。 A. 完全不变 B. 必须改为二分法 C. 根据情况调整 D. 无法判断
- 如果有27枚金币中有1枚是假币（较轻），最少称几次？（ ）。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、进阶应用（30分）
- 优化策略分析（15分）
- 题目：某珠宝店有81颗珍珠，其中1颗是人工仿制品（重量略轻）。 问题： ① 用流程图表示最少需要称几次？写出分组步骤； ② 如果必须在4次称量内完成，最多能检测多少颗珍珠中的次品？
- 实际问题解决（15分）
- 背景：药厂生产了24瓶药水，1瓶有效成分不足（较轻），需精准查出次品。 任务： ① 给出最少称量次数及详细分组策略； ② 如果员工误将其中5瓶分成一组并称重，结果为空，此时该如何调整方案？最少额外需称几次？
三、开放探究（25分）
- 实际模拟实验（15分） 任务：用家中物品（如硬币、积木等）模拟以下场景：
- 情境：有10枚“金币”，其中1枚是镀金假币（较轻）。
- 要求： ① 实际操作记录每次分组与称量结果（可用表格形式）； ② 检查是否能用3次称量完成；若无法完成，分析原因。
- 数学建模挑战（10分）
- 问题：若有128箱苹果，其中2箱次品（较轻），要求用最少次数找出它们。 任务： ① 设计最优策略并计算最少称量次数； ② 解释为何当次品数量增加，分组策略需要调整。
四、跨学科综合（15分）
- 工程与数学实践（15分）
背景：某工厂对零件进行质量检测，已知次品可能更轻或更重，但无法预知方向。
任务：
- 基础问题：从9个零件中找出1个未知轻重的次品，至少需称几次？写出策略。
- 开放挑战：若在称量过程中发现次品更重，如何优化后续步骤？
参考答案与解析
一、基础过关
- 填空题
- 1；2；3；9。
- 判断题
- ×（次品可轻可重）×（需3次）√（符合三分法原则）√。
- 选择题
- A（第一次分（2,2,1）可优化次数）A（策略不变，但判断方向调整）B。
二、进阶应用
- 优化策略答案
- ① 步骤：81分（27,27,27）→3次称量（流程略）； ② \(3^4=81 \rightarrow 4次可检测81\) 颗，但题目若允许4次，则实际最大检测81颗。
- 实际问题解析
- ① 最少3次：分组（8,8,8）→每组分解为2次内完成； ② 误分组5瓶后若为空，剩余19瓶需调整分法（如7,7,5），需增加2次，总次数可能为4次。
三、开放探究
-
实验示例答案
-
分组步骤
（示例）：
次数 分组 天平状态 可疑组 剩余操作 1 (3,3,4) 左轻 3个 称其中1个 2 (1,1,1) 平衡→余1 无 第3次确认 -
结论：可能需3次，具体取决于分组是否完全均衡。
-
建模挑战解析
-
① 最少7次（\(3^4=81 <128\)，但次品数多需更复杂策略）；
- ② 次品多时需保证分组覆盖所有可能情况，需更多方法验证。
四、跨学科综合
- 工程实践答案
- 基础问题：至少需3次。首次分组（3,3,3）：
- 若平衡→次品在第三组，若不平衡，记录哪侧重或轻，后续根据倾斜方向推断。
- 优化步骤：若已知次品更重，可简化后续分组（优先检测较重侧）。
评分标准
- 开放题：逻辑性（50%）、操作记录完整性（30%）、结论合理性（20%）；
- 综合题：策略可行性（50%）、跨学科关联（30%）、解析清晰度（20%）。
总结：本卷通过分组实验与复杂情境设计，培养学生的最优化思维和逻辑分析能力。建议结合实物操作理解分组策略，探索次品检测的工程应用价值。
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