第三单元

以下是结合最新人教版五年级数学下册第三单元《长方体和正方体》考纲要求整理的知识点总结，涵盖核心公式、图形特征、计算技巧及实际应用：

一、核心知识点

1. 长方体和正方体的特征

长方体：
面：6个面（相对面完全相等，多为长方形），
棱：12条棱（分3组，每组4条棱长度相等），
顶点：8个顶点。
长、宽、高：相交于同一顶点的三条棱的长度。
正方体（特殊长方体）：
面：6个完全相同的正方形，
棱：12条棱长度相等。
棱长：所有边的长度统一为 \(a\)。

实际例子：书本是长方体，魔方是正方体。

2. 表面积的计算

长方体表面积： \(\(S = 2(ab + ah + bh)\)\) （\(a\)为长，\(b\)为宽，\(h\)为高）
正方体表面积： \(\(S = 6a^2\)\)

开放问题：

三个相同长方体拼成大长方体，如何使拼后的表面积最小？（答案：重叠最大的面）
若正方体棱长扩大2倍，表面积扩大几倍？（答案： \(4\)倍 → \((2a)^2=4a^2\) 每个面）

3. 体积与体积单位

体积公式：
长方体：\(V = abh\)；
正方体：\(V = a^3\)。
容积单位：
体积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）；
容积单位：升（L）、毫升（mL）；换算：\(1 \, \text{L} = 1 \, \text{dm}^3\)，\(1 \, \text{mL} = 1 \, \text{cm}^3\)。

生活应用：

计算鱼缸最多装多少升水（长×宽×高，单位分米转换）。
快递纸箱的体积是否符合运输要求（长宽高限制）。

4. 展开图与三维图形转化

长方体展开图：11种可能形式（如“1-4-1”“2-3-1”型）。
正方体展开图：共11种，非所有6方格的连接都可行（排除“田字”“凹字”型）。

典型例题：

判断展开图能否折叠成正方体（例：“日”字结构中间连四方的展开图不成立）。

二、重点与难点

重点：掌握表面积与体积的计算公式，理解单位换算逻辑。
难点：
表面积应用题：无盖/无底容器表面积的计算（减少1或2个面）。
实际体积问题：如不规则物体排水法体积测量。
棱长变化的影响：棱长扩大 \(n\) 倍 → 表面积扩大 \(n^2\) 倍，体积扩大 \(n^3\) 倍。

三、典型例题与易错点

应用题：题目：一个长方体水槽，长50 cm、宽30 cm，放入一块石头后水面上升2 cm，求石块体积。解析：\(V = 50 \times 30 \times 2 = 3000 \, \text{cm}^3 = 3 \, \text{L}\)。
易错题：题目：正方体棱长总和为24 cm，求表面积？答案：棱长\(a = 24 \div 12 = 2 \, \text{cm}\) → \(S = 6 \times 2^2 = 24 \, \text{cm}^2\)。 常见错误：错将棱长总和除以6（误算为长方体）→错误答案 \(S = 96 \, \text{cm}^2\)。

四、实践性与开放性题目设计

1. 生活实践

任务：测量家中冰箱内部长宽高，计算容积（单位转换为升），并与说明书对比。
开放讨论：冰箱实际可用容积为何比标称小？（因隔板、压缩机占用空间）。

2. 数学设计挑战

任务：用一张A4纸设计一个无盖长方体盒子（通过裁剪和折叠），使其容积最大。 考核点：体积公式应用与优化设计能力。

五、考纲能力要求

空间观念：基于展开图想象立体图形，理解三维与二维转化的逻辑。
模型意识：将生活问题抽象为长方体/正方体的数学计算（如包装纸用量）。
数学应用：解决体积与表面积的优化问题（如工厂材料节省方案）。

总结：本单元重点培养空间想象与数学建模能力，建议结合实物操作（如拆解包装盒）深化理解。每日一练可从计算题转向多维应用（如“设计一个能装1000 mL果汁的纸盒”）。

人教版五年级数学下册第三单元《长方体和正方体》练习卷

满分：100分时间：60分钟

一、基础过关（30分）

填空题（每空1分，共10分）
长方体有 个面、 条棱，正方体的所有棱长长度__。
一个正方体的棱长是4厘米，它的表面积是__平方厘米，体积是__立方厘米。
3.5立方米 = __立方分米 2500毫升 = __升
用一根长120厘米的铁丝焊成一个长方体框架，长、宽、高的比是3:2:1，这个长方体的体积是__立方厘米。
判断题（每题2分，共8分）
（）棱长为6厘米的正方体，表面积和体积相等。
（）体积单位之间的进率是1000。
（）长方体的展开图一定有3组相同的长方形。
（）一个物体的体积越大，它的容积也一定越大。
选择题（每题3分，共12分）
一个无盖长方体鱼缸，长8 dm、宽5 dm、高6 dm，至少需要玻璃（）平方分米。 A. 188 B. 236 C. 196 D. 172
将棱长2分米的正方体切成棱长1分米的小正方体，表面积增加了（）平方分米。 A. 24 B. 48 C. 12 D. 0
下面的展开图不能围成正方体的是（）。

田

A. B. C. D.
一个长方体木箱能从里面量长10 cm、宽8 cm、高6 cm，它的容积是（）。 A. 480 cm³ B. 480 mL C. 480 L D. 48 dm³

二、进阶应用（30分）

表面积与体积计算（10分）
一个长方体纸盒的长是15 cm，宽是长的\(\frac{2}{3}\)，高是宽的2倍。（1）计算它的表面积和体积；（2）如果纸盒的盖子丢失，重新计算需要的包装纸面积。
实际应用题（20分）
一个教室长10米、宽6米、高4米，门窗总面积25平方米。（1）现要粉刷墙壁和天花板，每平方米需涂料0.5千克，至少需要准备多少千克涂料？（2）若用边长为50厘米的正方体通风模块替换旧设备，每个模块占空间0.125立方米，最多可以安装多少个？

三、开放探究（25分）

设计优化问题（15分）某公司要设计一种长方体包装盒，要求：
容积为8000立方厘米；
底面为正方形；
使用材料最少（表面积最小）。任务：
计算此时的长、宽、高；
如果允许底面为长方形，是否可能更省材料？说明理由。
实验与推理（10分）
用一块橡皮泥捏成一个正方体后，改捏成长方体（无剩余），发现长方体的表面积比正方体多了32平方厘米。问题：
原正方体的棱长可能是多少？写出两种可能方案；
分析谁的体积更大，为什么？

四、跨学科综合（15分）

环保与数学实践（15分）

废旧纸箱回收后，可以通过裁剪折叠成储物盒。

任务：选择一个长方体纸箱（尺寸自定），计算其表面积和容积；
开放实践：提出两种改造方案，使储物盒的可用容积增加（如增加隔层、改变形状），并用数学知识验证可行性；
延伸思考：从环保角度，分析“优化设计”对资源节约的意义。

参考答案与解析

一、基础过关

填空题
6，12，相等；
\(6 \times 4^2 = 96\)，\(4^3 = 64\)；
3500，2.5；
长\(15 \times 10 \times 5 = 750\)。
判断题
×（数值同单位不同）；
√；
×（可能有两个正方形，如底面为正方形的长方体）；
×（体积与容积无关，如厚壁容器）。
选择题
C（无盖：2×(8×5+8×6+5×6) -8×5=196）；
B（原表面积24→切成8块后总表面积48，增加24）；
A（田字型无法折叠成正方体）；
A、B（1 mL=1 cm³，480 cm³=480 mL）。

二、进阶应用

计算题
（1）宽\(15 \times \frac{2}{3}=10\) cm，高\(10 \times 2=20\) cm；表面积\(2 \times (15 \times 10 + 15 \times 20 + 10 \times 20)=1300\) cm²；体积\(15 \times 10 \times 20=3000\) cm³；
（2）盖子丢失→表面积减少15×10\(1300 - 150 = 1150\) cm²。
实际应用题
（1）粉刷面积=天花板(10×6) + 四壁[2×(10×4+6×4)] -25=60+128-25=163 m²；涂料=163×0.5=81.5 kg；
（2）单个模块体积0.125 m³ → 教室体积10×6×4\(240 ÷ 0.125=1920\)个。

三、开放探究

优化设计
底面为正方形：设底面边长为\(a\)，高为\(h\)，则\(a^2 h=8000\)； \(S=2a^2+4ah=2a^2+4a \times \frac{8000}{a^2}=2a^2 + \frac{32000}{a}\)，求导得最小值\(a=20\) cm，\(h=20\) cm；
若底面为长方形：设长\(a\)、宽\(b\)，则当\(a=b\)时表面积最小，结论与正方体相同。
实验推理
设原正方体棱长\(a\)，体积\(a^3\)；长方体长宽高为\(a, a, a+k\)，表面积为\(2(a^2 + a(a+k) + a(a+k))=6a^2+4ak\)； \(6a^2+4ak -6a^2=4ak=32\) → \(ak=8\)；可能解：\(a=2\)，则\(k=4\)；或\(a=4\)，\(k=2\)；
体积相同（均为\(a^3\)），因为材料重塑性未改变体积。

四、跨学科综合

答案示例
纸箱尺寸：长30 cm、宽20 cm、高25 cm；表面积\(2 \times (30×20 +30×25 +20×25)=3700\) cm²；容积=30×20×25=15000 cm³=15 L；
改造方案： ① 增加隔层：通过分隔减少无效空间，容积增加但需牺牲结构强度，需计算实际可用空间比例； ② 改为阶梯形：优化整体形状，通过数学建模比较不同结构的体积；
环保意义：减少包装材料使用，降低资源浪费和运输能耗。

评分标准

开放题：逻辑合理（40%）、计算正确（30%）、创新性（30%）；
实践题：操作步骤清晰（40%）、数据准确性（40%）、结论规范性（20%）。

总结：本卷通过生活化的优化问题和实践任务，深化长方体和正方体的实际应用。建议结合手工制作（如纸盒设计）或科学实验（如排水法测体积）提升综合能力。

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