第四单元

结合最新考纲要求，本单元聚焦 分数的意义、基本性质、分数与除法的关系及约分通分，培养学生的数感和抽象思维，为后续分数运算奠定基础。

一、核心知识点

1. 分数的意义

定义：将单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数。
分数单位：分数的分母决定单位。如 \(\frac{1}{3}\) 的分数单位是 \(\frac{1}{3}\)。

2. 分数与除法的关系

公式： \(\(a \div b = \frac{a}{b} \quad (b \neq 0)\)\) 示例：3个月饼平均分给4人，每人得 \(3 \div 4 = \frac{3}{4}\)个。
拓展应用：商带分数化，如 \(7 \div 2 =3\frac{1}{2}\)。

3. 真分数、假分数与带分数

类型	定义	示例	特征
真分数	分子＜分母	\(\frac{2}{5}\)	值＜1
假分数	分子≥分母	\(\frac{7}{3}\)	值≥1
带分数	整数+真分数	\(2\frac{1}{4}\)	便于实际问题表示

互化规则：

假分数→带分数：分母不变，分子除以分母为整数部分，余数为分子（如 \(\frac{7}{3} =2\frac{1}{3}\)）。
带分数→假分数：\(a\frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c}\)。

4. 分数的基本性质

核心内容：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 \(\(\frac{a}{b} = \frac{a \times m}{b \times m} = \frac{a \div m}{b \div m} \quad (m \neq 0)\)\) 示例： \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} =\frac{8}{12}\)。

5. 约分与通分

约分：将分数化成最简分数（分子分母互质）。步骤：①求最大公因数；②分子分母同时除以公因数。示例：\(\frac{12}{18} = \frac{12 \div6}{18 \div6} = \frac{2}{3}\)。
通分：将异分母分数化为同分母分数（分母为最小公倍数）。应用：分数大小比较、加减计算。示例：比较 \(\frac{2}{3}\) 和 \(\frac{3}{5}\)：通分后 \(\frac{10}{15} > \frac{9}{15}\)。

6. 分数与小数的互化

分数→小数：分子除以分母。类型：
有限小数：分母质因数仅为2或5（如 \(\frac{1}{8} =0.125\)）。
无限循环小数：分母含其他质因数（如 \(\frac{1}{3} =0.\dot{3}\)）。
小数→分数：
有限小数直接写为分母是10ⁿ的分数并化简；
纯循环小数：分子为循环节，分母为对应位数9（如 \(0.\dot{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)）。

二、重点与难点

方向	内容
重点	- 理解分数的本质与除法关系； - 掌握约分与通分的方法及应用。
难点	- 带分数与假分数的灵活转换； - 小数与分数互化的逻辑分析。

三、典型例题与解析

例题1：约分与通分

题目\(\frac{36}{84}\) ，并比较 \(\frac{5}{12}\) 和 \(\frac{7}{18}\)的大小。

解析

约分：36和84的最大公因数12 → \(\frac{36 ÷12}{84 ÷12} =\frac{3}{7}\)。
通分：最小公倍数36 → \(\frac{5 \times3}{12 \times3} =\frac{15}{36}\)，\(\frac{7 \times2}{18 \times2} = \frac{14}{36}\)，故 \(\frac{5}{12} > \frac{7}{18}\)。

例题2：分数与小数的互化

题目：将0.75和\(0.\dot{4}\)转换为分数。

解析

\(0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)；
纯循环小数解法：\(0.\dot{4} = \frac{4}{9}\)。

例题3：带分数的应用

题目：一个绳子长5米，平均分成7段，每段是多少米？用带分数表示。解析： \(5 \div 7 = \frac{5}{7}\)米（纯分数），若需带分数则为 \(0\frac{5}{7}\)（此处带分数形式意义不强，更适合用纯分数）。

四、易错点与学习建议

常见错误：
约分错误：未使用最大公因数导致需多次约分；
互化错误：混淆有限小数与循环小数的条件。
学习建议：
生活实例：用分水果、切蛋糕等活动深化分数意义；
对比记忆：用表格整理分数与小数的互化规律；
动手实践：通过折纸游戏直观理解等值分数的概念。

五、考纲能力要求

数感培养：理解分数在生活中的实际意义；
逻辑分析：灵活运用分数的基本性质解决复杂问题；
转换能力：在不同形式（分数、小数、带分数）间合理转化。

附：知识结构导图

Text Only
分数的意义 --> 分数单位 --> 分数与除法 --> 真/假分数 ↔ 带分数  
    ↓  
分数的基本性质 --> 约分/通分 --> 比较与运算  
    ↓  
分数与小数互化 --> 有限小数 ↔ 循环小数  

总结：从分物的实际操作到抽象概念的建立，本单元通过分层递进培养学生对分数的系统认知。建议结合烘焙配比、零钱分配等生活场景练习，强化知识的实用性。

人教版五年级数学上册第四单元《分数的意义和性质》练习卷

满分：100分时间：60分钟

一、基础过关（30分）

填空题（每空1分，共8分）
\(\frac{5}{8}\) 的分数单位是__，它有____个这样的单位。
把3米长的绳子平均分成5段，每段占全长的__，每段长____米。
\(7 \div 12 = \frac{□}{□}\)，假分数\(\frac{15}{4}\) 化成带分数是______。
分母是8的最简真分数的和是______。
判断题（每题2分，共8分）
（）3米的\(\frac{1}{5}\)和1米的\(\frac{3}{5}\)长度相等。
（）分数的分子和分母同时加2，分数大小不变。
（）约分后的分数一定比原来的分数小。
（）0.6和\(\frac{3}{5}\)表示的数值相同。
选择题（每题3分，共15分）
下列分数中，与\(\frac{9}{15}\)相等的是（）。 A. \(\frac{3}{5}\) B. \(\frac{18}{20}\) C. \(\frac{6}{10}\) D. \(\frac{12}{25}\)
一瓶果汁喝掉了\frac{3}{4} \，剩下的占原来的（）。 A. ( \frac{1}{4} B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{3}{4}\) D. 无法确定
用最小公倍数通分，\(\frac{5}{6}\)和\(\frac{7}{9}\)的公分母是（）。 A. 18 B. 36 C. 54 D. 12
将\(1\frac{2}{3}\)化为假分数是（）。 A. \(\frac{5}{3}\) B. \(\frac{4}{3}\) C. \(\frac{3}{5}\) D. \(\frac{3}{4}\)
下列分数能化成有限小数的是（）。 A. \(\frac{7}{12}\) B. \(\frac{5}{16}\) C. \(\frac{8}{15}\) D. \(\frac{9}{24}\)

二、进阶应用（30分）

计算题（12分）
约分下列分数： \(\frac{24}{36} =\) __ \(\frac{45}{75} =\) ____
通分后比较大小： \(\frac{3}{4}\)与\(\frac{5}{6}\) 结果：______
带分数与假分数互化： \(2\frac{3}{8} =\) __ \(\frac{17}{5} =\) ____
实际问题解决（18分）
小明用\(\frac{3}{4}\)小时完成作业，小红用了\(\frac{4}{5}\)小时。谁完成得更快？（列式说明）
烘焙饼干需要\(\frac{5}{6}\)千克面粉，若老师需制作24份，至少准备多少千克面粉？
开放设计：设计一个活动方案，用分数描述班级40人的分组方式（如兴趣小组），要求每组人数为最简分数形式（如\(\frac{2}{5}\)班）。

三、开放探究（25分）

家庭健康饮食师（15分）任务：根据饮料配方设计健康饮品。
配方要求果汁、牛奶和蜂蜜的比例为\(\frac{2}{3}: \frac{1}{2} : \frac{1}{6}\)；
若总用量为600毫升，计算各成分所需的毫升数；
开放讨论：若蜂蜜用完，如何调整比例使口感相似？用分数说明理由。
校园种植规划师（10分）背景：学校菜园分为3块区域，分别占总面积的\(\frac{1}{4}\)、\(\frac{1}{3}\)和剩余部分。任务：
计算第三块区域的占比，并转化为最简分数；
优化建议：若有家长建议将最少面积区域改为花圃，如何调整分配？用通分方法说明合理性。

四、跨学科综合（15分）

科学与数学（15分）

实验记录：盐水含盐量为\(\frac{3}{20}\)，现有盐水500克。

任务：

计算盐的质量与水的质量；
若将含盐量降至\(\frac{1}{10}\)，需蒸发多少克水？
开放设计：设计一个家庭实验，用分数记录不同浓度盐水浮力现象。

参考答案与解析

一、基础过关

答案
\(\frac{1}{8}\)，5 \(\frac{1}{5}\)，\frac{3}{5} \ （米） ( \frac{7}{12}，\(3\frac{3}{4}\)\(\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{5}{8} + \frac{7}{8} =2\)
答案
✅ （均为\(0.6\text{米}\)） ❌（如\(\frac{1}{2} +2= \frac{3}{4}\)值变大） ❌（如\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)大小不变） ✅
答案
A（约分结果） A A（6和9最小公倍数18） A（\(1×3+2=5\)） B（分母16=2⁴）

二、进阶应用

解析
约分：\(\frac{24}{36} = \frac{2}{3}\)，\(\frac{45}{75} = \frac{3}{5}\)；
通分：\(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\)，\(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\) → \(\frac{5}{6} > \frac{3}{4}\)；
互化：\(2\frac{3}{8} = \frac{19}{8}\)，\(\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}\)。
解析
\(\frac{3}{4} =0.75\)小时，\(\frac{4}{5}=0.8\)小时 → 小明更快；
总面粉：\(\frac{5}{6} ×24=20\)千克；
示例分组：分5组，每组\(\frac{8}{40} =\frac{1}{5}\)，即每组8人。

三、开放探究

示例答案
总份数：\(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6} =1\frac{1}{3}\)份；各成分：果汁600×\(\frac{2}{3}/1\frac{1}{3}\) =300ml，牛奶225ml，蜂蜜75ml；
替换蜂蜜：调整为2:1（果汁:牛奶），保持总占比不变。
解析
第三区域：\(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}\)；
调整建议：将\(\frac{1}{12}\)改为花圃需比较原占比。

四、跨学科综合

解析
盐质量：500×\(\frac{3}{20}\)=75克，水425克；
新浓度：总重为\(\frac{75}{x} = \frac{1}{10}\) → x=750克→蒸发500-750=错误，应为盐不变：75÷新浓度( \frac{1}{10} )=750克盐水→需蒸发750-500=250克水；
实验设计：配置不同浓度盐水，记录鸡蛋浮沉状态（如\(\frac{1}{10}\)浮，\(\frac{1}{5}\)沉）。

评分标准

开放题：逻辑清晰（40%）、数据准确（30%）、创新性（30%）。
计算题：步骤完整（50%），结果正确（50%）。

总结：本卷通过饮品设计、种植规划等场景，强化分数的实际应用，鼓励学生用数学优化生活决策，同时融入科学探究意识。家长可引导孩子用分数分析家庭食谱或时间管理。

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