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第三单元

结合最新考纲要求，本单元重点学习 平行四边形、三角形、梯形等平面图形的面积计算，组合图形的分解与求解 ，培养几何直观与空间推理能力。

一、核心知识点

1. 平行四边形的面积
  • 公式：面积 \(S = \text{底} \times \text{高} \quad (S = a \times h)\)
  • 推导：通过割补法将平行四边形转化为长方形，强调“底”和“高”的对应关系。

示例： 已知平行四边形底\(8 \, \text{cm}\)，高\(5 \, \text{cm}\)，则面积 \(S =8 \times 5 =40 \, \text{cm}^2\)。

2. 三角形的面积
  • 公式：\(S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text高 \quad (S = \frac{1}{2} a h)\)
  • 推导：通过拼合法，两个完全相同的三角形可拼成一个平行四边形。

示例： 三角形底\(10 \, \text{m}\)，高\(6 \, \text{m}\)，面积 \(S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 =30 \, \text{m}^2\)。

3. 梯形的面积
  • 公式：\(S = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高} \quad \left( S = \frac{1}{2} (a+b) h \right)\)
  • 推导：将两个完全相同的梯形拼成平行四边形，导出面积公式。

示例： 梯形上底\(3 \, \text{cm}\)，下底\(7 \, \text{cm}\)，高\(4 \, \text{cm}\)，面积 \(S = \frac{1}{2} \times (3+7) \times 4 =20 \, \text{cm}^2\)。

4. 组合图形的面积
  • 解题步骤：
  • 分割法：将图形分解为基本图形（如三角形、平行四边形）；
  • 加减法：求各部分的面积和或差。
5. 面积的估算与单位换算
  • 方格纸法：通过数方格估算不规则图形面积；
  • 单位换算： \(\(\begin{aligned} 1 \, \text{平方千米} &= 100 \, \text{公顷} \\ 1 \, \text{公顷} &= 10000 \, \text{平方米} \\ \end{aligned}\)\)

二、重点与难点

方向 内容
重点 - 熟练应用平行四边形、三角形、梯形的面积公式解决实际问题；
- 组合图形的分解与计算。
难点 - 正确识别图形的底和高（尤其是钝角三角形的高）；
- 灵活选择组合图形分解策略。

三、典型例题与解析

例题1：平行四边形的变式

  • 题目：一个平行四边形的面积是\(24 \, \text{cm}^2\)，底是\(6\, \text{cm}\)，求对应的高。 解析：\(h = S \div a =24 \div 6 =4 \, \text{cm}\)。

例题2：三角形的面积拓展

  • 题目：一块三角形菜地，底边是\(12\, \text{m}\)，面积是\(48\, \text{m}^2\)。高是多少米？ 解析：由 \(h = 2S \div a =2 \times48 \div12=8 \, \text{m}\)。

例题3：梯形的实际应用

  • 题目：梯形水坝的上底\(15\, \text{m}\)，下底\(35\, \text{m}\)，高\(10\, \text{m}\)，求横截面面积。 解析：\(S = \frac{1}{2} \times (15+35) \times10= 250 \, \text{m}^2\)。

例题4：组合图形

  • 题目：如图（右侧为半圆，左侧为长方形），计算阴影部分面积。 解析：分割为半圆面积 + 长方形面积。

四、实践性与开放性问题

1. 实地测量师
  • 任务：测量教室或操场的某块区域（如三角形花坛），计算面积并规划种植方案。
2. 包装材料设计师
  • 问题：某礼物盒底面是梯形，侧面是长方形，计算所需包装纸面积（考虑接缝损耗）。
3. 校园农场优化
  • 背景：学校有一块梯形土地（上底20m、下底30m、高15m），计划平均分给5个班级种植，每班区域形状为长方形，求每班区域的长和宽（保留整数）。

五、易错点与学习建议

  1. 常见错误：
  2. 混淆长度单位与面积单位（如将\(\text{cm}^2\)写成\(\text{cm}\)）；
  3. 三角形、梯形面积计算时遗漏“\(\times \frac{1}{2}\)”。
  4. 学习建议：
  5. 公式推导实践：用卡纸剪拼图形，理解面积公式来源；
  6. 生活应用练习：计算家中地砖面积、书桌表面面积等。

六、考纲能力要求

  1. 几何直观：通过图形分解与公式应用解决实际问题；
  2. 抽象能力：将组合图形抽象为基本图形关系；
  3. 创新意识：设计优选方案（如农地分配、材料节省）。

附：知识结构导图

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1
2
3
4
5
6
多边形面积 → 基本图形面积 → 公式推导  
              |  
              |  
              组合图形 → 分割与转化  
              ↓  
              实际应用（土地测量、工程设计）

总结：本单元通过“动手操作+公式应用”深化面积计算思维，建议结合家庭装修、校园规划等场景练习，强化数学的实用性。

人教版五年级数学上册第三单元《多边形的面积》练习卷

满分：100分 时间：60分钟

一、基础过关（30分）

  1. 填空题（每空1分，共8分）
  2. 一个平行四边形的底是8厘米，高是5厘米，面积是______平方厘米。
  3. 一个三角形的底是12米，高是底的1.5倍，则面积是______平方米。
  4. 梯形的上底是3分米，下底是上底的3倍，高是4分米，面积是______平方分米。
  5. 组合图形的面积可以通过__法或____法计算。
  6. 判断题（每题2分，共8分）
  7. （ ）两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形。
  8. （ ）三角形面积公式是 \(S = \text{底} \times \text{高}\)。
  9. （ ）梯形的面积与它的上底、下底和高的长度有关，与其他因素无关。
  10. （ ）一块土地的面积为1公顷，相当于1000平方米。
  11. 选择题（每题3分，共12分）
  12. 一个平行四边形的面积是24平方厘米，若高缩小到原来的 \(\frac{1}{2}\)，底不变，新面积是（ ）。 A. 12 B. 24 C. 48 D. 6
  13. 一个三角形的面积是30平方分米，底是10分米，高是（ ）。 A. 3 B. 6 C. 15 D. 60
  14. 将长12米、宽5米的长方形分割成两个完全相同的梯形，每个梯形的面积是（ ）。 A. 60平方米 B. 30平方米 C. 15平方米 D. 6平方米
  15. 计算图示组合图形面积（单位：cm）（正方形边长4cm，内部挖去三角形底4cm，高2cm），正确结果是（ ）。 A. \(16 -4 =12\) B. \(16 -8 =8\) C. \(16 -2=14\) D. \(计算错误\)

二、进阶应用（30分）

  1. 实际问题解决（30分）
  2. 农田规划：一块平行四边形菜地面积48平方米，底边长8米。现沿底边修一条宽1米的小路后，剩余菜地面积是多少？
  3. 花坛设计：学校用梯形花坛（上底6m，下底10m，高4m）种植两种花（牡丹和月季），若平均分给两个班级管理，每班区域面积是多少？
  4. 开放计算：教室地面是一块不规则多边形（图示矩形+半圆），测量并计算铺设地砖的总费用（地砖单价50元/平方米）。

三、开放探究（25分）

  1. 校园测量师（15分） 任务：
  2. 实际测量教室中一块三角形或梯形区域（如黑板旁植物角），记录数据并计算面积；
  3. 优化建议：若将该区域改造成长方形阅读角，如何调整尺寸使面积不变？
  4. 环保设计师（10分） 背景：社区需用铁皮制作一批梯形垃圾桶，单个垃圾桶尺寸：上底30cm，下底50cm，高60cm，侧面展开面积忽略接缝。 任务：
  5. 计算单个垃圾桶所需铁皮面积；
  6. 开放讨论：若有100块边长为1.2米的正方形铁皮废料，最多能制作多少个垃圾桶？

四、跨学科综合（15分）

  1. 地理与数学（15分）

背景：某国家公园地块由多个多边形组成（数据略），需计算总面积并规划植被种植。

任务：

  • 将地块分解为基本图形，计算总面积（单位：公顷）；
  • 开放思考：若每公顷种植80棵树，分析现有预算是否充足（费用：每棵树苗10元，总预算10万元）。

参考答案与解析

一、基础过关

  1. 答案
  2. \(8 \times 5 =40\) \(\frac{1}{2} \times 12 \times 18 =108\) \(\frac{1}{2} \times (3 +9) \times 4 =24\) 分割法、加减法
  3. 答案
  4. ×（形状需相同） ×（需×\(\frac{1}{2}\)） √ ×（1公顷=10000平方米）
  5. 答案
  6. A（面积\(h =2 \times 30 ÷10 =6\)） B（原长方形面积60，分割后每梯形30） B（正方形面积16cm²，三角形面积4cm²→16−8=8）

二、进阶应用

  1. 解析
  2. 原菜地高=48÷8=6米，修路后底边=8−1=7米→新面积7×6=42平方米，实际剩余42−小路面积？更合理应计算为原面积−小路面积（1×6=6）→48−6=42；
  3. 花坛总面积\(\frac{1}{2} \times (6+10) \times4=32 \, \text{m}^2\)，每班管理16平方米；
  4. 需先绘制教室形状图并分段计算（略）。

三、开放探究

  1. 示例答案
  2. 测量某三角形植物角：底2m，高1.5m→面积1.5平方米；
  3. 改为等面积长方形：如长1.5m，宽1m。
  4. 解析
  5. 单个垃圾桶侧面面积：梯形面积\(\frac{1}{2} \times (30+50) \times60=2400 \, \text{cm}^2\)（单侧），两个侧面总4800cm²；底面忽略时需额外计算；
  6. 答案可能为“需更多数据”，但若假设每铁皮废料可裁剪1个梯形面，100块能制作100个。

四、跨学科综合

  1. 解析
  2. 需给出分解后的各图形面积总和；
  3. 例如总面积若为1200公顷→需树苗\(1200 \times 80=96000\)棵→费用96万元＞预算，需调整方案。

评分标准

  • 基础题：公式应用正确性（70%），单位完整（30%）；
  • 开放题：操作合理（40%）、数据逻辑（30%）、创新性（30%）。

总结：本卷通过实际测量、设计优化等场景，提升学生对面积计算的实际应用能力，鼓励多动手、多观察生活中的几何问题。家长可引导学生分析家居布局，用数学知识优化空间利用。

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