第七单元

结合最新考纲要求，本单元聚焦 间隔问题模型（如植树问题、队列问题等），培养数学建模思想和实际问题解决能力，强调从具体情境中抽象数学规律。

一、核心知识点

1. 植树问题的三种基本模型

关键量关系：总长 = 间隔距离 × 段数

2. 实际问题的数学建模

• 转化方法：将非植树问题转化为间隔模型。

典型场景：

• 楼梯层数 = 台阶段数 +1（楼层从1开始）；
• 敲钟时间间隔数 = 敲击次数 -1；
• 队列人数 = 间隔数 +1。

示例：锯木头问题（锯5段需4次，耗时=次数×每段用时）。

3. 公式扩展与灵活应用

• 封闭路线（如环形、方形）：棵数 \(60 \div6=10\) 棵。
• 复杂问题：分区域分类计算，结合不同模型。

二、重点与难点

三、典型例题与解析

例题1：两端都种

• 题目：在一条80米长的路旁植树，每隔5米种一棵，两端都种，共需多少棵树？ 解析： 段数=80 ÷5 =16，棵数=16 +1 =17（两侧需乘2，共34棵）。

例题2：锯木头问题

• 题目：将木头锯成4段需9分钟，每锯一次时间相同，锯成7段需多久？ 解析：4段需锯3次 → 每次3分钟；7段需6次 → 耗时18分钟。

例题3：封闭路线

• 题目：广场圆形花坛周长120米，每隔8米放一盆花，共需多少盆？ 解析：封闭路线，棵数=段数=120 ÷8 =15盆。

四、实践性与开放性问题

1. 校园绿化规划师

• 任务：根据学校操场长度和树种间距要求，设计两种不同种植方案（如两侧植树或单侧环形），计算总成本。

2. 活动队列策划

• 问题：运动会开幕式需排列30米长的队伍，学生间隔1.5米，若两端需留出3米放置道具，最多可站多少人？

3. 家庭节能优化

• 背景：楼道声控灯每次点亮2分钟后关闭，若每层间隔4秒响应，分析12层楼的电路循环机制优化方案。

五、易错点与学习建议

1. 常见错误：
2. 混淆“段数”与“棵数”（如锯木头段数=次数+1)；
3. 未区分开放路线与封闭路线的公式差异。
4. 学习建议：
5. 画图辅助：用线段图或实物模拟演示间隔关系；
6. 生活建模：测量教室桌椅摆放、楼道灯光等真实场景练习公式应用。

六、考纲能力要求

1. 模型思想：识别实际问题的数学模型；
2. 应用意识：灵活运用公式解决复杂情境问题；
3. 推理能力：通过逻辑分析推导多步骤问题结论。

附：知识结构导图

1
2
3
4

植树问题 → 基本模型 → 实际转化 → 公式应用  
               ↗ 两端种  
              → 一端种 → 多场景分析  
               ↘ 两端不种  

总结：通过分层递进练习与真实场景模拟，深化对间隔问题的理解，建议以校园活动策划、家庭装修等为背景设计生活化题目，提升数学实践能力。

人教版五年级数学上册第七单元《数学广角——植树问题》练习卷

满分：100分 时间：60分钟

一、基础过关（30分）

1. 填空题（每空2分，共12分）
2. 在一条长60米的直路一侧植树，每隔5米种一棵，两端都种需要__棵；若只种一端需要____棵。
3. 将一根木料锯成6段需要锯__次，每次耗时4分钟，总耗时____分钟。
4. 圆形池塘周长为80米，每隔10米种一棵柳树，共需______棵。
5. 判断题（每题2分，共8分）
6. （ ）若在封闭路线上植树，棵数一定等于段数。
7. （ ）两端都不种树时，棵数比段数少1。
8. （ ）每层楼梯有12级台阶，从1楼走到5楼共需走48级台阶。
9. （ ）广场挂灯笼（两端都挂）共20盏，相邻间距为5米，总长100米。
10. 选择题（每题3分，共15分）
11. 两栋楼相距72米，中间每隔8米放一个垃圾桶（两端不设），需要（ ）个。 A. 8 B. 9 C. 7 D. 10
12. 将绳子剪4次可以分成（ ）段，每剪一次耗时2秒，总耗时（ ）秒。 A. 5段，8秒 B. 4段，8秒 C.5段，10秒 D.4段，6秒
13. 一个方阵队列，每边站10人，四角各重叠1人，总人数为（ ）。 A.40 B.36 C.32 D.30
14. 敲钟6下需10秒（间隔相等），敲钟12下需（ ）秒。 A.20 B.22 C.24 D.26
15. 一条路的一侧安装路灯（两端都装），总间隔数为15，则路灯有（ ）盏。 A.15 B.16 C.14 D.17

二、进阶应用（30分）

1. 实际计算（15分）
2. 道路绿化：在一条750米长的步行街两侧植树（两端都种），每隔15米种一棵银杏树，每棵树苗50元，总费用为多少？
3. 楼梯问题：小明的家住在9楼，每层楼有18级台阶，他从1楼到家共需走多少级台阶？若电梯每上升一层需5秒，他在电梯里需等待多久？
4. 建模与分析（15分）
5. 花坛设计：社区欲在周长为120米的正方形花坛每边均匀种花（四个角必须种），每边计划种8株： ① 相邻两株的间距是多少米？ ② 总数量是否正确？若不正确，实际需要多少株？

三、开放探究（25分）

1. 校园队列策划师（15分） 任务：学校运动会需将280名学生排成方阵，要求每个方阵边长为整数且人数相等。
2. 列出可能的方阵边长（如每边15人，总225人→不足）；
3. 优化建议：若允许分多个方阵，如何使总数匹配且有观赏性？
4. 社区路灯优化（10分） 背景：某小区道路长300米，需安装路灯（双侧），原计划每20米一盏。 任务：
5. 计算总路灯数及费用（每盏灯200元）；
6. 开放分析：若预算为5000元，如何调整间距（要求仍为整数米）？提出两种合理方案。

四、跨学科综合（15分）

1. 环保与数学（15分）

背景：某城市计划沿河岸每50米设置一个垃圾分类点（河岸总长5千米）：

• 计算需要多少个分类点；
• 若改为每800米设置资源回收站（两端必须设），最多可节约多少米间距？
• 开放设计：利用“植树问题”模型，为社区设计雨天积水监测点布置方案。

参考答案与解析

一、基础过关

1. 答案
2. 13，12  5，20  8
3. 答案
4. ✅ ✅ ×（5楼需走1至9楼→8层×12=96级） ×（间隔19段×5=95米）
5. 答案
6. A（72÷8=9段→两端不设：9−1=8） A B（每边10−2=8人×4+4角=36） B（6下5间隔→2秒/间隔→12下11间隔=22秒） B

二、进阶应用

1. 解析
2. 单侧棵数：750÷15+1=51棵→双侧51×2=102棵→费用102×50=5100元；
3. 台阶数：9楼需走8层→8×18=144级；电梯时间：8层×5秒=40秒。
4. 解析
5. ① 每边长120÷4=30米，每边两端种花，间隔数=8−1=7段→间距30÷7≈4.29米；
6. ② 每边8株→四边共8×4=32株，但角部重复计算→实际需（8−1）×4 +4=32株（原题无错误）。

三、开放探究

1. 示例答案
2. 可能边长：17人（17²=289接近280）→不匹配；实际可用16×16=256分3个方阵（剩余24人调整）；
3. 优化方案：分4个方阵（如14×14=196 + 余84→2个9×9），保证观赏性。
4. 解析
5. 原计划单侧间距=20米→棵数=300÷20+1=16盏→总32盏→费用32×200=6400元；
6. 调整方案： ① 改为25米间距→棵数=（300÷25+1）×2=26盏→费用5200元； ② 30米间距→（300÷30+1）×2=22盏→费用4400＜5000，满足预算。

四、跨学科综合

1. 解析
2. 分类点数量：5000÷50+1=101个（两端都设）；
3. 回收站间距：5000÷(n-1)=800→n≈7→节约50−800/6≈- 需重新建模；
4. 示例设计：每200米设监测点（含两端），共5000÷200+1=26个，实时监控积水。

评分标准

• 开放题：逻辑完整（50%）、数据合理（30%）、创新性（20%）；
• 计算题：步骤明确（50%）、结果正确（50%）。

总结：通过道路绿化、队列设计等实践任务，深化对植树问题本质的理解，培养结构化思维和实际应用能力。建议家长配合学生测量小区步道长度，用数学知识规划家庭活动布局。

本页面的全部内容在 小熊老师 - 莆田青少年编程俱乐部 0594codes.cn 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用