第八单元
结合最新考纲要求，本单元通过“排列组合”和“合理优化”问题，培养学生有序思考能力与解决实际问题的策略。
一、核心知识点
1. 简单的排列问题
- 不重复排列： 用不同数字或物品进行排列，交换顺序视为不同结果。 例：用数字1、2、3能组成多少个不重复的两位数？ 答案：12, 13, 21, 23, 31, 32 → 共6种。
- 方法： 固字母法（固定十位，搭配个位）、列表法、连线法。
2. 简单的组合问题
- 无序组合： 交换顺序视为同一结果，如握手、比赛场次。 例：3个人每两人握一次手，共握几次？ 答案：3次（1-2,1-3,2-3）。
- 方法： 连线法（剔除重复）、公式简化（\(\frac{n(n-1)}{2}\)，适用于两位数或多人组合）。
3. 搭配中的优化思想
- 最少次数策略： 用最少的步骤覆盖所有可能（如最少称重次数找次品）。
- 最短路径问题： 通过有序选择找到最优路线。
二、重点与难点
- 重点：
- 区分排列与组合的区别（顺序是否影响结果）；
- 掌握不重复不遗漏的列举方法。
- 难点：
- 实际情境的抽象转化（如组合问题与图形表示的关联）；
- 多步骤搭配问题（如衣服、裤子和鞋子的搭配方式）。
三、典型例题与解析
例题1：数字排列 题目：用0、2、4三个数字能组成多少个不同的三位数？ 解析：
- 百位不能为0，百位选2或4 → 2种选择，再排个位和十位；
- 答案：204、240、402、420 → 4种。
例题2：组合问题 题目：5个球队进行单循环赛，共需比赛多少场？ 解析：
- 组合问题（顺序无关），公式计算：\(\frac{5 \times 4}{2} = 10\)场。
例题3：搭配问题 题目：小明有3件上衣和2条裤子，共有多少种搭配方式？ 解析：
- 每件上衣配2条裤子 → \(3 \times 2 = 6\)种。
四、实践性与开放性问题
1. 模拟邮局编码
- 任务：用数字卡片1、3、5设计三位数“快递编号”，要求数字不重复，共有多少种编码？哪些编码大于400？
2. 班级活动策划
- 问题：班级要选2名同学担任运动会主持人和裁判，若有5人报名，共有多少种分配方式？若只需选2人担任同一任务，方式是否不同？
五、易错点与学习建议
- 常见错误：
- 排列时遗漏数字“0”的特殊性（如数字排列中0不能在首位）；
- 未区分排列与组合问题（如握手次数误算为排列问题）。
- 学习建议：
- 实物操作：用卡片摆数字或角色扮演组合问题；
- 分步标序：用树状图或表格列出所有可能，避免遗漏。
六、考纲能力要求
- 有序思维：掌握系统化的列举方法；
- 逻辑推理：通过搭配问题抽象数学模型；
- 应用意识：将合理优化思想用于生活场景（如活动安排）。
总结：本单元通过生动情境提升逻辑能力，建议结合游戏化活动（如编码破解、服装设计）强化知识点，家长可借助日常小事（如早餐搭配）引导孩子发现数学规律。
人教版三年级数学下册第八单元《数学广角——搭配（二）》练习卷
满分：100分 时间：50分钟
一、基础过关（30分）
- 填空题（每空2分，共12分）
- 用数字2、5、9可以组成__个无重复的两位数，其中最大的是_，最小的是___。
- 3件上衣和2条短裤有______种不同的搭配方式。
- 四个人每两人互送一张贺卡，一共需要______张贺卡。
- 判断题（每题2分，共8分）
- （ ）用数字0、1、3组成的两位数中，最大的是31。
- （ ）5个球队进行单循环比赛，共需10场比赛。
- （ ）小明想用5元、10元和20元支付10元的商品，共有2种不同支付方式。
- （ ）选择早餐时，主食选包子或油条，饮品选豆浆或牛奶，共有3种搭配方式。
- 选择题（每题3分，共10分）
- 用数字卡片摆三位数，百位不能为0，数字1、0、3可以组成（ ）个三位数。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
- 5个小朋友每两人握手一次，总共需要握（ ）次手。 A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
- 一种密码锁的密码由1、2、3三个数字组成（可重复），共能设置（ ）种密码。 A. 6 B. 9 C. 12 D. 27
- 从家到学校有两条路，从学校到图书馆有三条路，从家到图书馆共有（ ）种走法。 A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
二、进阶应用（30分）
- 排列组合问题（12分）
- 题目：用数字卡片0、5、8摆三位数，要求数字不重复，能摆出哪些数？并计算这些数的平均数百位上的数字是多少。
- 路线规划：从A地到B地需经过C地，A到C有2条路，C到B有3条路，求所有可能路线的数量。
- 生活应用题（18分）
- 小明有3本书（A、B、C）要送给小红和小蓝，每人至少1本。共有多少种分配方式？
- （开放题）班级联欢会需要买饮料，超市有橙汁、苹果汁和葡萄汁三种口味，请设计两种购买方案，满足以下条件：
- 至少买两种口味；
- 总金额不超过50元（单价：橙汁10元，苹果汁8元，葡萄汁12元）；
- 用表格列出可能的组合及总价，并写出你的最优选择。
三、开放探究（25分）
- 校园活动设计师（15分） 任务：学校运动会需要安排一个由2名男生和1名女生组成的领奖小组，现有男生4人、女生3人。
- 写出所有可能的组合；
- 开放问题：若要求必须有一名六年级学生（男生2人，女生1人是六年级），组合方式是否变化？如何计算？
- 数学游戏设计（10分） 要求：用数字2、5、7、9设计一个“密码解密”游戏，规则如下：
- 密码为三位数，每位数字只能使用一次；
- 每回合给出一个提示（如“密码的数字之和大于15”），提示至少3个符合要求的密码。
四、跨学科综合（15分）
- 环保路线规划战（15分）
背景：调查从家到超市的出行方式，给出以下选项的碳排放数据：
- 步行（0g CO₂） 自行车（3g CO₂） 公交车（50g CO₂） 电动车（20g CO₂）。 任务：
- 若小明家距离超市1.5公里，列出两种低碳出行的组合方式（如步行+电动车返回）并计算总碳排放；
- 开放探索：如何在最短时间内（10分钟内到达）且碳排放低于30g CO₂的方式？
参考答案与解析
一、基础过关
- 填空题
- 6；95；25； 6；12。
- 判断题
- ×（最大是31不成立，0不能在十位→应为30不存在，题目设计有误需调整）； √（\(\frac{5×4}{2} =10\)）、×（5元×2,10元×1→共2种）、×（\(2×2=4\)种）。
- 选择题
- A（103,130,301,310）、B（\(\frac{5×4}{2}=10\)）、D（\(3^3=27\)）、B（2×3=6）。
二、进阶应用
-
排列计算
-
可摆出508、580、805、850 → 平均数百位：(5+5+8+8)/4=6.5，故百位上平均数字是2（508→5,580→5,805→8,850→8）。
-
路线数：2×3=6种。
-
应用题解析
-
书分给两人的可能为小红1本小蓝2本，或小红2本小蓝1本。组合方式有： \(C(3,1) + C(3,2) =3+3=6\) 种；
-
（开放题示例）
方案 总价 橙汁+苹果汁 10+8=18元 苹果汁+葡萄汁 8+12=20元 最优选择：橙汁+苹果汁（18元）。
三、开放探究
- 组合问题答案
- 男4选2的组合有6种，女3选1有3种→总组合6×3=18种；
- 若需1名六年级学生（男2人中1人是六年级，女1人中1人是六年级）：需重新分情况讨论。
- 游戏设计示例
- 密码可能：257（2+5+7=14<15不满足需调整题目条件）→需修改提示条件，如：“和为17”，则可能的密码：2+5+10（无效），建议题目调整为三位数互不相同且和为20 →答案可能有：9+7+4=20（但原数字为2、5、7、9，可用259、295等）。
四、跨学科综合
- 环保路线答案
- 示例：步行+自行车→0+3=3g CO₂；电动车往返→20×2=40g CO₂；
- 最短时间可能：电动车（排放40g但超30g，不可）；步行与电动车混合需多次调整可能不符合要求→答案可能无法满足条件。
评分标准
- 填空题与判断题：答案准确即可；
- 开放题：逻辑清晰（50%）、数据合理（30%）、创新性（20%）；
- 实践题：步骤完整（50%）、计算正确（30%）、环保意识（20%）。
总结：本卷通过实际情境强化组合思维与低碳意识，建议引导学生用表格或树状图梳理可能的路径或分配方案，将数学知识融入生活课题研究。
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