拆点

拆点是一种图论建模思想，常用于网络流，用来处理 点权或者点的流量限制 的问题，也常用于 分层图。

结点有流量限制的最大流

如果把结点转化成边，那么这个问题就可以套板子解决了。

我们考虑把有流量限制的结点转化成这样一种形式：由两个结点 \(u,v\) 和一条边 \(\left\langle u,v \right\rangle\) 组成的部分。其中，结点 \(u\) 承接所有从原图上其他点的出发到原图上该点的边，结点 \(v\) 引出所有从原图上该点出发到达原图上其他点的边。边 \(\left\langle u,v \right\rangle\) 的流量限制为原图该点的流量限制，再套板子就可以解决本题。这就是拆点的基本思想。

如果原图是这样：

拆点之后的图是这个样子：

分层图最短路

分层图最短路，如：有 \(k\) 次零代价通过一条路径，求总的最小花费。对于这种题目，我们可以采用 DP 相关的思想，设 \(\text{dis}_{i, j}\) 表示当前从起点 \(i\) 号结点，使用了 \(j\) 次免费通行权限后的最短路径。显然，\(\text{dis}\) 数组可以这么转移：

\(\text{dis}_{i, j} = \min\{\min\{\text{dis}_{from, j - 1}\}, \min\{\text{dis}_{from,j} + w\}\}\)

其中，\(from\) 表示 \(i\) 的父亲节点，\(w\) 表示当前所走的边的边权。当 \(j - 1 \geq k\) 时，\(\text{dis}_{from, j}\)=\(\infty\)。

事实上，这个 DP 就相当于把每个结点拆分成了 \(k+1\) 个结点，每个新结点代表使用不同多次免费通行后到达的原图结点。换句话说，就是每个结点 \(u_i\) 表示使用 \(i\) 次免费通行权限后到达 \(u\) 结点。

「JLOI2011」飞行路线

题意：有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，你可以选择 \(k\) 条道路以零代价通行，求 \(s\) 到 \(t\) 的最小花费。

参考核心代码：

C++
struct State {    // 优先队列的结点结构体
  int v, w, cnt;  // cnt 表示已经使用多少次免费通行权限

  State() {}

  State(int v, int w, int cnt) : v(v), w(w), cnt(cnt) {}

  bool operator<(const State &rhs) const { return w > rhs.w; }
};

void dijkstra() {
  memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
  dis[s][0] = 0;
  pq.push(State(s, 0, 0));  // 到起点不需要使用免费通行权，距离为零
  while (!pq.empty()) {
    const State top = pq.top();
    pq.pop();
    int u = top.v, nowCnt = top.cnt;
    if (done[u][nowCnt]) continue;
    done[u][nowCnt] = true;
    for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
      int v = edge[i].v, w = edge[i].w;
      if (nowCnt < k && dis[v][nowCnt + 1] > dis[u][nowCnt]) {  // 可以免费通行
        dis[v][nowCnt + 1] = dis[u][nowCnt];
        pq.push(State(v, dis[v][nowCnt + 1], nowCnt + 1));
      }
      if (dis[v][nowCnt] > dis[u][nowCnt] + w) {  // 不可以免费通行
        dis[v][nowCnt] = dis[u][nowCnt] + w;
        pq.push(State(v, dis[v][nowCnt], nowCnt));
      }
    }
  }
}

int main() {
  n = read(), m = read(), k = read();
  // 笔者习惯从 1 到 n 编号，而这道题是从 0 到 n - 1，所以要处理一下
  s = read() + 1, t = read() + 1;
  while (m--) {
    int u = read() + 1, v = read() + 1, w = read();
    add(u, v, w), add(v, u, w);  // 这道题是双向边
  }
  dijkstra();
  int ans = std::numeric_limits<int>::max();  // ans 取 int 最大值为初值
  for (int i = 0; i <= k; ++i)
    ans = std::min(ans, dis[t][i]);  // 对到达终点的所有情况取最优值
  println(ans);
}

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