矩阵树定理

Kirchhoff 矩阵树定理（简称矩阵树定理）解决了一张图的生成树个数计数问题。

本篇记号声明

本篇中的图，无论无向还是有向，都允许重边，但是不允许自环。

无向图情况

设 \(G\) 是一个有 \(n\) 个顶点的无向图。定义度数矩阵 \(D(G)\) 为：

设 \(\#e(i,j)\) 为点 \(i\) 与点 \(j\) 相连的边数，并定义邻接矩阵 \(A\) 为：

定义 Laplace 矩阵（亦称 Kirchhoff 矩阵）\(L\) 为：

记图 \(G\) 的所有生成树个数为 \(t(G)\)。

有向图情况

设 \(G\) 是一个有 \(n\) 个顶点的有向图。定义出度矩阵 \(D^{out}(G)\) 为：

类似地定义入度矩阵 \(D^{in}(G)\)

设 \(\#e(i,j)\) 为点 \(i\) 指向点 \(j\) 的有向边数，并定义邻接矩阵 \(A\) 为：

定义出度 Laplace 矩阵 \(L^{out}\) 为：

定义入度 Laplace 矩阵 \(L^{in}\) 为：

记图 \(G\) 的以 \(r\) 为根的所有根向树形图个数为 \(t^{root}(G,r)\)。所谓根向树形图，是说这张图的基图是一棵树，所有的边全部指向父亲。

记图 \(G\) 的以 \(r\) 为根的所有叶向树形图个数为 \(t^{leaf}(G,r)\)。所谓叶向树形图，是说这张图的基图是一棵树，所有的边全部指向儿子。

定理叙述

矩阵树定理具有多种形式。其中用得较多的是定理 1、定理 3 与定理 4。

定理 1（矩阵树定理，无向图行列式形式） 对于任意的 \(i\)，都有

其中记号 \(L(G)\binom{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}\) 表示矩阵 \(L(G)\) 的第 \(1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\) 行与第 \(1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\) 列构成的子矩阵。也就是说，无向图的 Laplace 矩阵具有这样的性质，它的所有 \(n-1\) 阶主子式都相等。

定理 2（矩阵树定理，无向图特征值形式） 设 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{n-1}\) 为 \(L(G)\) 的 \(n - 1\) 个非零特征值，那么有

\(t(G) = \frac{1}{n}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_{n-1}\)

定理 3（矩阵树定理，有向图根向形式） 对于任意的 \(k\)，都有

因此如果要统计一张图所有的根向树形图，只要枚举所有的根 \(k\) 并对 \(t^{root}(G,k)\) 求和即可。

定理 4（矩阵树定理，有向图叶向形式） 对于任意的 \(k\)，都有

因此如果要统计一张图所有的叶向树形图，只要枚举所有的根 \(k\) 并对 \(t^{leaf}(G,k)\) 求和即可。

BEST 定理

定理 5（BEST 定理） 设 \(G\) 是有向欧拉图，那么 \(G\) 的不同欧拉回路总数 \(ec(G)\) 是

注意，对欧拉图 \(G\) 的任意两个节点 \(k, k'\)，都有 \(t^{root}(G,k)=t^{root}(G,k')\)，且欧拉图 \(G\) 的所有节点的入度和出度相等。

定理证明

前置知识：LGV 引理

定义 \([n]=\{1,2,\cdots,n\}\)，矩阵 \(A\) 的子式 \(A_{[S],[T]}\) 为选取 \(A_{i,j}\pod{i\in S,j\in T}\) 的元素得到的子矩阵。

定义一条边 \(e\) 的权值为 \(\omega(e)\)。

以下的内向也指根向，表示有向边的方向指向根。

引理 1（Cauchy-Binet） 给定 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\) 和 \(m\times n\) 的矩阵 \(B\)，则有

证明：考虑建出有向无环图 \(G(V,E)\)，\(V=L\cup R\cup D\)，
\(L=\{l_1,l_2,\cdots,l_n\}\)，\(R=\{r_1,r_2,\cdots,r_n\}\)，
\(D=\{d_1,d_2,\cdots,d_m\}\)，\(E=E_L\cup E_R\)，
\(E_L=\{(l_i,d_j)\mid i\in[1,n],j\in [1,m]\}\)，\(E_R=\{(d_i,r_j)\mid i\in[1,m],j\in[1,n]\}\)，
\(\omega(l_i,d_j)=a_{i,j}\)，\(\omega(d_i,r_j)=b_{i,j}\)。

与 「NOI2021」路径交点 的模型相同，容易发现上式左右两侧计算的都是 \(L\) 到 \(R\) 的不相交路径组中，交点个数为偶数的方案数减去奇数的方案数，其中 \(S\) 表示路径组经过的 \(D\) 中的点。

性质 1 Laplace 矩阵 \(L\) 的所有代数余子式 \(C_{i,j}\) 的值都相等。

证明：删去第 \(i\) 行后，设列向量是 \(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2,\cdots,\boldsymbol r_n\)，则有 \(\sum\boldsymbol r_i=\boldsymbol 0\)。

将余子式 \(M_{i,j}\) 中除了 \(\boldsymbol r_k\) 之外的所有 \(\boldsymbol r_i\) 都加到 \(\boldsymbol r_k\) 上，得到 \(A=[\boldsymbol r_1,\cdots,\boldsymbol r_{j-1},\boldsymbol r_{j+1},\cdots,\boldsymbol r_{k-1},-\boldsymbol r_j,\boldsymbol r_{k+1},\cdots,\boldsymbol r_n]\)。

将 \(-\boldsymbol r_j\) 取反并通过交换两列移动到 \(\boldsymbol r_{j+1}\) 左边，得到 \(|A|=M_{i,k}=(-1)^{1+(k-1)-(r+1)+1}M_{i,j}\)，所以 \(C_{i,j}=C_{i,k}\)。

同理，删去第 \(i\) 列后行向量之和为 \(\boldsymbol 0\)，得到 \(C_{j,i}=C_{k,i}\)。

定理 1（Kirchhoff's Matrix Tree） 对于带边权的简单无向图 \(G(V,E)\)，若 \(T(V,E_T)\) 是 \(G\) 的生成树，定义 \(\omega(T)=\prod_{e\in E_T}\omega(e)\)，\(\mathcal T\) 是 \(G\) 所有生成树的集合，则 \(G\) 的 Laplace 矩阵的所有代数余子式的值等于 \(\sum_{T\in\mathcal T}\omega(T)\)。

证明：根据性质 1，只需证明 \(C_{1,1}=\sum_{T\in\mathcal T}\omega(T)\)。对于一条边 \(e=(u,v)\)，定义 \(\zeta(e,u)=v\)，\(\zeta(e,v)=u\)。

定义 \(u_i<u_j\iff i<j\)，\(E=\{e_1,e_2,\cdots,e_{|E|}\}\)，构造关联矩阵：

容易发现 \(L=AA^T\)，定义 \(A\) 删去第一行得到 \(B\)，则 \(M_{1,1}=BB^T\)。代入 Cauchy-Binet 公式得到：

\(|B_{[n-1],[S]}|\) 的组合意义是对点 \(u_2,\cdots,u_n\)，分别选一条 \(S\) 中的边，且每条边都恰好被选一次。若 \(u_i\) 选择了 \(e_j\)，就看做有向边 \((u_i,\zeta(e_j,u_i))\)，所以也相当于给 \(S\) 中的边定向，使得 \(u_2,\cdots,u_n\) 的出度为 \(1\)。

对于存在环的方案，构造对合映射（满足 \(f(f(x))=x\) 的映射 \(f\)）：取环上点编号最小值最小的环（容易发现环的点不交，所以这样的环唯一），将这个环上的边反向。

若环长为奇数，则排列奇偶性不变，关联矩阵中系数符号变化了奇数个；若环长为偶数，则排列奇偶性改变，关联矩阵中系数符号变化了偶数个。所以贡献值相反，出现环的权值都被两两抵消，对行列值没有贡献。

于是只用考虑不存在环的情况，此时有向图只能是以 \(1\) 为根的内向树，此时定向方案唯一（确定了边集和根），也就是每个点选择的出边都唯一，所以 \(|B_{[n-1],[S]}|^2\) 即为该树的边权积，求和就得到 \(\sum_{T\in\mathcal T}\omega(T)\)。

性质 2 设 Laplace 矩阵的特征值为 \(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_{|V|}\)，则 \(\lambda_{|V|}=0\)。

证明：因为 \(L=AA^T\)，所以 \(L\) 是半正定矩阵，特征值都非负。而 \(|M|=0\)，所以必定有 \(\lambda=0\)。

定义 \(k\)- 生成森林 是图的一个生成子图 \((V,E)\)，使得这个子图有 \(k\) 个连通分量且无环。

定理 2 定义 \(\mathcal T_k\) 表示无向图 \(G\) 的 \(k\)- 生成森林的集合，\(Q(T)\) 表示森林 \(T\) 的每个连通分量的点数之积，\(L\) 的特征多项式为 \(P(x)\)，则有

证明：考虑 \(P(x)=\det(xI-L)\)，枚举排列行列式时，贡献到 \([x^k]\) 相当于选择相同编号的 \(k\) 行 \(k\) 列删去，这些就是每个连通分量的根，其他点选择出边连到这些根（类似定理 1 的证明），\((-1)^{|V|-k}\) 表示将负号去掉。

推论 \(F_1=\prod_{i=1}^{|V|-1}\lambda_i\) 是生成树个数的 \(n\) 倍。

定理 3 内向生成树计数（见上）

证明：发现定理 1 的证明中用到了两个关联矩阵，于是我们考虑使用两个不同的关联矩阵 \(A,B\) 承担不同的功能。

与定理 1 中不同的是，关联矩阵 \(B\) 限制了只有边的起点能选择这条边，剩下的讨论均与定理 1 相同。

实现

一个无向图的生成树个数为邻接矩阵度数矩阵去一行一列的行列式，可以使用 Gauss-Jordan 消元法。

例如，一个正方形图的生成树个数

可以用高斯消元解决，时间复杂度为 \(O(n^3)\)。

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#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MOD 100000007
#define eps 1e-7

struct matrix {
  static const int maxn = 20;
  int n, m;
  double mat[maxn][maxn];

  matrix() { memset(mat, 0, sizeof(mat)); }

  void print() {
    cout << "MATRIX " << n << " " << m << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      for (int j = 0; j < m; j++) {
        cout << mat[i][j] << "\t";
      }
      cout << endl;
    }
  }

  void random(int n) {
    this->n = n;
    this->m = n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
      for (int j = 0; j < n; j++) mat[i][j] = rand() % 100;
  }

  void initSquare() {
    this->n = 4;
    this->m = 4;
    memset(mat, 0, sizeof(mat));
    mat[0][1] = mat[0][3] = 1;
    mat[1][0] = mat[1][2] = 1;
    mat[2][1] = mat[2][3] = 1;
    mat[3][0] = mat[3][2] = 1;
    mat[0][0] = mat[1][1] = mat[2][2] = mat[3][3] = -2;
    this->n--;  // 去一行
    this->m--;  // 去一列
  }

  double gauss() {
    double ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      int sid = -1;
      for (int j = i; j < n; j++)
        if (abs(mat[j][i]) > eps) {
          sid = j;
          break;
        }
      if (sid == -1) continue;
      if (sid != i) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
          swap(mat[sid][j], mat[i][j]);
          ans = -ans;
        }
      }
      for (int j = i + 1; j < n; j++) {
        double ratio = mat[j][i] / mat[i][i];
        for (int k = 0; k < n; k++) {
          mat[j][k] -= mat[i][k] * ratio;
        }
      }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) ans *= mat[i][i];
    return abs(ans);
  }
};

int main() {
  srand(1);
  matrix T;
  // T.random(2);
  T.initSquare();
  T.print();
  double ans = T.gauss();
  T.print();
  cout << ans << endl;
}

例题

注释

根向树形图也被称为内向树形图，但因为计算内向树形图用的是出度，为了不引起 in 和 out 的混淆，所以采用了根向这一说法。

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