欧拉图

本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。

定义

• 欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路
• 欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路
• 欧拉图：具有欧拉回路的图
• 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图

性质

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若 \(G\) 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。

判别法

1. 无向图是欧拉图当且仅当：
   • 非零度顶点是连通的
   • 顶点的度数都是偶数
2. 无向图是半欧拉图当且仅当：
   • 非零度顶点是连通的
   • 恰有 0 或 2 个奇度顶点
3. 有向图是欧拉图当且仅当：
   • 非零度顶点是强连通的
   • 每个顶点的入度和出度相等
4. 有向图是半欧拉图当且仅当：
   • 非零度顶点是弱连通的
   • 至多一个顶点的出度与入度之差为 1
   • 至多一个顶点的入度与出度之差为 1
   • 其他顶点的入度和出度相等

求欧拉回路或欧拉路

Fleury 算法

也称避桥法，是一个偏暴力的算法。

算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。

一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 \(\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)\)。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。

Hierholzer 算法

也称逐步插入回路法。

过程

算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。

实现

Hierholzer 算法的暴力实现如下：

性质

这个算法的时间复杂度约为 \(O(nm+m^2)\)。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。

如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m\log m)\)（计数排序或者基数排序可以优化至 \(\Theta(n+m)\)）。如果不需要排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m)\)。

应用

有向欧拉图可用于计算机译码。

设有 \(m\) 个字母，希望构造一个有 \(m^n\) 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 \(n\) 位对应长为 \(n\) 的符号串。转动一周（\(m^n\) 次）后得到由 \(m\) 个字母产生的长度为 \(n\) 的 \(m^n\) 个各不相同的符号串。

构造如下有向欧拉图：

设 \(S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}\)，构造 \(D=\langle V, E\rangle\)，如下：

\(V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}\)

\(E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}\)

规定 \(D\) 中顶点与边的关联关系如下：

顶点 \(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}\) 引出 \(m\) 条边：\(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m\)。

边 \(a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}\) 引入顶点 \(a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}\)。

这样的 \(D\) 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 \(m\)），所以 \(D\) 是有向欧拉图。

任求 \(D\) 中一条欧拉回路 \(C\)，取 \(C\) 中各边的最后一个字母，按各边在 \(C\) 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。

例题

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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;

struct edge {
  int to;
  bool exists;
  int revref;

  bool operator<(const edge& b) const { return to < b.to; }
};

vector<edge> beg[505];
int cnt[505];

const int dn = 500;
stack<int> ans;

void Hierholzer(int x) {  // 关键函数
  for (int& i = cnt[x]; i < (int)beg[x].size();) {
    if (beg[x][i].exists) {
      edge e = beg[x][i];
      beg[x][i].exists = 0;
      beg[e.to][e.revref].exists = 0;
      ++i;
      Hierholzer(e.to);
    } else {
      ++i;
    }
  }
  ans.push(x);
}

int deg[505];
int reftop[505];

int main() {
  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    beg[i].reserve(1050);  // vector 用 reserve 避免动态分配空间，加快速度
  }

  int m;
  scanf("%d", &m);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    beg[a].push_back((edge){b, 1, 0});
    beg[b].push_back((edge){a, 1, 0});
    ++deg[a];
    ++deg[b];
  }

  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    if (!beg[i].empty()) {
      sort(beg[i].begin(), beg[i].end());  // 为了要按字典序贪心，必须排序
    }
  }

  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    for (int j = 0; j < (int)beg[i].size(); ++j) {
      beg[i][j].revref = reftop[beg[i][j].to]++;
    }
  }

  int bv = 0;
  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    if (!deg[bv] && deg[i]) {
      bv = i;
    } else if (!(deg[bv] & 1) && (deg[i] & 1)) {
      bv = i;
    }
  }

  Hierholzer(bv);

  while (!ans.empty()) {
    printf("%d\n", ans.top());
    ans.pop();
  }
}

习题

• 洛谷 P1341 无序字母对

• 洛谷 P2731 骑马修栅栏

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