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图的着色

点着色

(讨论的是无自环无向图)

对无向图顶点着色,且相邻顶点不能同色。若 G 是 \(k\)- 可着色的,但不是 \((k-1)\)- 可着色的,则称 k 是 G 的色数,记为 \(\chi(G)\)

对任意图 G,有 \(\chi(G) \leq \Delta(G) + 1\),其中 \(\Delta(G)\) 为最大度。

Brooks 定理

设连通图不是完全图也不是奇圈,则 \(\chi(G) \leq \Delta(G)\)

证明

证明

\(|V(G)|=n\),考虑数学归纳法。

首先,\(n\leq 3\) 时,命题显然成立。

接下来,假设对于 \(n-1\) 时的命题成立,下面我们要逐步强化命题。

不妨只考虑 \(\Delta(G)\)- 正则图,因为对于非正则图来说,可以看作在正则图里删去一些边构成的,而这一过程并不会影响结论。

对于任意不是完全图也不是奇圈的正则图 G,任取其中一点 v,考虑子图 \(H:=G-v\),由归纳假设知 \(\chi(H)\leq\Delta(H)=\Delta(G)\),接下来我们只需证明在 H 中插入 v 不会影响结论即可。

\(\Delta:=\Delta(G)\),设 H 染的 \(\Delta\) 种颜色分别为 \(c_1,c_2,\dots,c_{\Delta}\),v 的 \(\Delta\) 个邻接点为 \(v_1,v_1,\dots,v_{\Delta}\)。不妨假设 v 的这些邻接点颜色两两不同,否则命题得证。

接下来我们设所有在 H 中染成 \(c_i\)\(c_j\) 的点以及它们之间的所有边构成子图 \(H_{i,j}\)。不妨假设任意 2 个不同的点 \(v_i\)\(v_j\) 一定在 \(H_{i,j}\) 的同一个连通分量中,否则若在两个连通分量中的话,可以交换其中一个连通分量所有点的颜色,从而 \(v_i\)\(v_j\) 颜色相同。

这里的交换颜色指的是若图中只有两种颜色 a,b,那么把图中原来染成颜色 a 的点全部染成颜色 b,把图中原来染成颜色 b 的点全部染成颜色 a。

我们设上述连通分量为 \(C_{i,j}\),那么 \(C_{i,j}\) 一定只能是 \(v_i\)\(v_j\) 的路。因为 \(v_i\) 在 H 中的度为 \(\Delta-1\),所以 \(v_i\) 在 H 中的邻接点颜色一定两两不同,否则可以给 \(v_i\) 染别的颜色,从而和 v 的其他邻接点颜色重复,所以 \(v_i\)\(C_{i,j}\) 中邻接点数量为 1,\(v_j\) 同理。然后我们在 \(C_{i,j}\) 中取一条 \(v_i\)\(v_j\) 的路,令其为 P,若 \(C_{i,j}\ne P\),那么我们沿着 P 顺次给路上的点染色,设遇到的第一个度数大于 2 的点为 u,注意到 u 的邻接点最多只用了 \(\Delta-2\) 种颜色,所以 u 可以重新染色,从而使 \(v_i\)\(v_j\) 不连通。

然后我们不难发现,对任意 3 个不同的点 \(v_i\)\(v_j\)\(v_k\)\(V(C_{i,j})\cap V(C_{j,k})=\{v_j\}\)

到这里我们对命题的强化工作就已经做完了。

接下来就很简单。首先,如果 v 的邻接点两两相邻,那么命题得证。不妨设 \(v_1\)\(v_2\) 不相邻,在 \(C_{1,2}\) 中取 \(v_1\) 的邻接点 w,交换 \(C_{1,3}\) 中的颜色。得到的新图中,\(w\in V(C_{1,2})\cap V(C_{2,3})\),矛盾。

至此命题证明完毕。

Welsh—Powell 算法

Welsh—Powell 算法是一种在 不限制最大着色数 时寻找着色方案的贪心算法。

对于无自环无向图 G,设 \(V(G):=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\) 满足。

\(\deg(v_i)\geq\deg(v_{i+1}),~\forall 1\leq i\leq n-1\)

按 Welsh—Powell 算法着色后的颜色数至多为 \(\max_{i=1}^n\min\{\deg(v_i)+1,i\}\), 该算法的时间复杂度为 \(O\left(n\max_{i=1}^n\min\{\deg(v_i)+1,i\}\right)=O(n^2)\)

过程

  1. 将当前未着色的点按度数降序排列。
  2. 将第一个点染成一个未被使用的颜色。
  3. 顺次遍历接下来的点,若当前点和所有与第一个点颜色 相同 的点 不相邻,则将该点染成与第一个点相同的颜色。
  4. 若仍有未着色的点,则回到步骤 1, 否则结束。

示例如下:

Orignal

(由 Graph Editor 生成)

我们先对点按度数降序排序,得:

次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
点的编号 4 5 0 2 9 1 3 6 10 12 7 8 11
度数 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 1
\(\min\{\deg(v_i)+1,i\}\) 1 2 3 4 5 4 4 4 4 4 3 3 2

所以 Welsh—Powell 算法着色后的颜色数最多为 5。

另外因为该图有子图 \(C_3\), 所以色数一定大于等于 3。

  • 第一次染色:

    Colored 1

    4 9 3 11 号点。 - 第二次染色:

    Colored 2

    5 2 6 7 8 号点。 - 第三次染色:

    Colored 3

    0 1 10 12 号点。

证明

证明

对于无自环无向图 G,设 \(V(G):=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\) 满足

\(\deg(v_i)\geq\deg(v_{i+1}),~\forall 1\leq i\leq n-1\)

\(V_0=\varnothing\), 我们取 \(V(G)\setminus\bigcup_{i=0}^{m-1} V_i\) 中的子集 \(V_m\), 其中的元素满足

  1. \(v_{k_m}\in V_m\), 其中 \(k_m=\min\{k:v_k\notin\bigcup_{i=0}^{m-1} V_i\}\)
  2. \(\{v_{i_{m,1}},v_{i_{m,2}},\dots,v_{i_{m,l_m}}\}\subset V_m,~i_{m,1}<i_{m,2}<\dots<i_{m,l_m}\)

    \(v_j\in V_m\) 当且仅当

    1. \(j>i_{m,l_m}\)
    2. \(v_j\)\(v_{i_{m,1}},v_{i_{m,2}},\dots,v_{i_{m,l_m}}\) 均不相邻

显然若将 \(V_i\) 中的点染成第 i 种颜色,则该染色方案即为 Welsh—Powell 算法给出的方案,显然有

  • \(V_1\neq\varnothing\)
  • \(V_i\cap V_j=\varnothing\iff i\neq j\)
  • \(\exists \alpha(G)\in\Bbb{N}^*,\forall i>\alpha(G),~s.t.~ V_i=\varnothing\)

我们只需要证明:

\(\bigcup_{i=1}^{\alpha(G)} V_i=V(G)\)

其中

\(\chi(G)\leq\alpha(G)\leq\max_{i=1}^n\min\{\deg(v_i)+1,i\}\)

上式左边的不等号显然成立,我们考虑右边。

首先我们不难得出:

\(v\notin\bigcup_{i=1}^mV_i\),则 v 与 \(V_1,V_2,\dots,V_m\) 中分别至少有一个点相邻,从而有 \(\deg(v)\geq m\)

进而

\(v_j\in\bigcup_{i=1}^{\deg(v_j)+1}V_i\)

另一方面,基于序列 \(\{V_i\}\) 的构造方法,我们不难发现

\(v_j\in\bigcup_{i=1}^j V_i\)

两式结合即得证。

边着色

对无向图的边着色,要求相邻的边涂不同种颜色。若 G 是 k- 边可着色的,但不是 \((k-1)\)- 边可着色的,则称 k 是 G 的边色数,记为 \(\chi'(G)\)

Vizing 定理

设 G 是简单图,则 \(\Delta(G) \leq \chi'(G) \leq \Delta(G) + 1\)

若 G 是二部图,则 \(\chi'(G)=\Delta(G)\)

\(n\) 为奇数(\(n \neq 1\))时,\(\chi'(K_n)=n\); 当 \(n\) 为偶数时,\(\chi'(K_n)=n-1\)

二分图 Vizing 定理的构造性证明

证明

按照顺序在二分图中加边。

我们在尝试加入边 \((x,y)\) 的时候,我们尝试寻找对于 \(x\)\(y\) 的编号最小的尚未被使用过的颜色,假设分别为 \(l_x\)\(l_y\)

如果 \(l_x=l_y\) 此时我们可以直接将这条边的颜色设置为 \(l_x\)

否则假设 \(l_x<l_y\), 我们可以尝试将节点 \(y\) 连出去的颜色为 \(l_x\) 的边的颜色修改为 \(l_y\)

修改的过程可以被近似的看成是一条从 \(y\) 出发,依次经过颜色为 \(l_x,l_y,\cdots\) 的边的有限唯一增广路。

因为增广路有限所以我们可以将增广路上所有的边反色,即原来颜色为 \(l_x\) 的修改为 \(l_y\),原来颜色为 \(l_y\) 的修改为 \(l_x\)

根据二分图的性质,节点 \(x\) 不可能为增广路节点,否则与最小未使用颜色为 \(l_x\) 矛盾。

所以我们可以在增广之后直接将连接 \(x\)\(y\) 的边的颜色设为 \(l_x\)

总构造时间复杂度为 \(O(nm)\)

一道很不简单的例题 uoj 444 二分图

本题为笔者于 2018 年命制的集训队第一轮作业题。

首先我们可以发现答案下界为度数不为 k 倍数的点的个数。

下界的构造方法是对二分图进行拆点。

\(degree \bmod k \neq 0\), 我们将其拆为 \(degree/k\) 个度数为 k 的节点和一个度数为 \(degree \bmod k\) 的节点。

\(degree \bmod k = 0\), 我们将其拆为 \(degree/k\) 个度数为 k 的节点。

拆出来的点在原图中的意义相同,也就是说,在满足度数限制的情况下,一条边端点可以连接任意一个拆出来的点。

根据 Vizing 定理,我们显然可以构造出该图的一种 k 染色方案。

删边部分由于和 Vizing 定理关系不大这里不再展开。

有兴趣的读者可以自行阅读笔者当时写的题解。

色多项式

\(P(G,k)\) 表示 G 的不同 k 着色方式的总数。

\(P(K_n, k) = k(k-1)\cdots(k-n+1)\)

\(P(N_n, k) = k^n\)

在无向无环图 G 中,

  1. \(e=(v_i, v_j) \notin E(G)\),则 \(P(G, k) = P(G \cup e, k)+P(G\setminus e, k)\)
  2. \(e=(v_i, v_j) \in E(G)\),则 \(P(G,k)=P(G-e,k)-P(G\setminus e,k)\)

定理:设 \(V_1\) 是 G 的点割集,且 \(G[V_1]\) 是 G 的 \(|V_1|\) 阶完全子图,\(G-V_1\)\(p(p \geq 2)\) 个连通分支,则:

\(P(G,k)=\frac{\Pi_{i=1}^{p}{(P(H_i, k))}}{P(G[V_1], k)^{p-1}}\)

其中 \(H_i=G[V_1 \cup V(G_i)]\)

参考资料

  1. Graph coloring - Wikipedia
  2. Welsh, D. J. A.; Powell, M. B. (1967), "An upper bound for the chromatic number of a graph and its application to timetabling problems", The Computer Journal, 10 (1): 85–86