三维计算几何基础
三维几何的很多概念与 二维几何 是相通的，我们可以用与解决二维几何问题相同的方法来解决三维几何问题。
基本概念
点，向量，直线这些概念和二维几何是相似的，这里不再展开。
平面
我们可以用平面上的一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量）\(\mathbf{n}\) 来表示一个平面。
因为 \(\mathbf{n}\) 垂直于平面，所以 \(\mathbf{n}\) 垂直于该平面内的所有直线。换句话说，设 \(\mathbf{n}=(A,B,C)\)，则该平面上的点 \(P(x,y,z)\) 都满足 \(\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{PP_0} = 0\)。
根据向量点积的定义，上式等价于：
整理后得到：
令 \(D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)\)，则上式变成 \(Ax+By+Cz+D=0\)。我们称这个式子为平面的 一般式。
基本操作
直线、平面之间的夹角
运用空间向量的知识，空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出。
对于两条异面直线 \(a\)，\(b\)，过空间中一点 \(P\)，作 \(a' \parallel a\)，\(b' \parallel b'\)，则 \(a'\) 与 \(b'\) 所成的锐角或直角被称为 \(a\) 和 \(b\) 两条 异面直线所成的角。
对于直线 \(a\) 和平面 \(\alpha\)，若 \(a\) 与 \(\alpha\) 相交于 \(A\)，过 \(a\) 上一点 \(P\) 引平面 \(\alpha\) 的垂线交 \(\alpha\) 于 \(O\)，则 \(a\) 与 \(PO\) 所成的角被称为 直线与平面所成的角。特别地，若 \(a \parallel \alpha\) 或 \(a \subset \alpha\)，则它们之间的夹角为 \(0^\circ\)。
对于两个平面 \(\alpha\)，\(\beta\)，它们的夹角被定义为与两条平面的交线 \(l\) 垂直的两条直线 \(a,b\)（其中 \(a \subset \alpha\)，\(b \subset \beta\)）所成的角。
两直线夹角定义与关系充要条件
- 两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角。
有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线 \(l_1, l_2\)，它们的方向向量分别是 \(s_1 (m_1, n_1, p_1)\)，\(s_2 (m_2, n_2, p_2)\)，设 \(\varphi\) 为两直线夹角，我们可以得到 \(\cos \varphi = \dfrac{\left | m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 \right |}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}\).
-
\(l_1 \perp l_2 \iff m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 = 0\)
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\(l_1 \parallel l_2 \iff \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{p_1}{p_2}\).
三维向量与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 \(\varphi\)（\(\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}]\)）称为直线与平面的夹角。
设直线向量 \(s(m, n, p)\)，平面法线向量 \(f(a, b, c)\)，那么以下命题成立：
-
角度的正弦值：\(\sin\varphi = \dfrac{\left | am + bn + cp \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}\)
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直线与平面平行 \(\iff am+bn+cp = 0\)
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直线与平面垂直 \(\iff \dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}\)
点到平面的距离
直线与平面的交点
直接联立直线方程和平面方程即可。
立体几何定理
三正弦定理
设二面角 \(M－AB－N\) 的度数为 \(\alpha\)，在平面 \(M\) 上有一条射线 \(AC\)，它和棱 \(AB\) 所成角为 \(\beta\)，和平面 \(N\) 所成的角为 \(\gamma\)，则 \(\sin\gamma = \sin\alpha\cdot\sin\beta\)。
三余弦定理
设 \(O\) 为平面上一点，过平面外一点 \(B\) 的直线 \(BO\) 在面上的射影为 \(AO\)，\(OC\) 为面上的一条直线，那么 \(\angle COB，\angle AOC，\angle AOB\) 三角的余弦关系为：\(\cos\angle BOC=\cos\angle AOB\cdot\cos\angle AOC\)（\(\angle AOC\)，\(\angle AOB\) 只能是锐角）。
参考资料
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