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可持久化字典树

引入

可持久化 Trie 的方式和可持久化线段树的方式是相似的，即每次只修改被添加或值被修改的节点，而保留没有被改动的节点，在上一个版本的基础上连边，使最后每个版本的 Trie 树的根遍历所能分离出的 Trie 树都是完整且包含全部信息的。

大部分的可持久化 Trie 题中，Trie 都是以 01-Trie 的形式出现的。

例题 最大异或和

对一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\) 维护以下操作：

  1. 在数组的末尾添加一个数 \(x\)，数组的长度 \(n\) 自增 \(1\)。
  2. 给出查询区间 \([l,r]\) 和一个值 \(k\)，求当 \(l\le p\le r\) 时，\(k \oplus \bigoplus^{n}_{i=p} a_i\) 的最大值。

过程

这个求的值可能有些麻烦，利用常用的处理连续异或的方法，记 \(s_x=\bigoplus_{i=1}^x a_i\)，则原式等价于 \(s_{p-1}\oplus s_n\oplus k\)，观察到 \(s_n \oplus k\) 在查询的过程中是固定的，题目的查询变化为查询在区间 \([l-1,r-1]\) 中异或定值（\(s_n\oplus k\)）的最大值。

继续按类似于可持久化线段树的思路，考虑每次的查询都查询整个区间。我们只需把这个区间建一棵 Trie 树，将这个区间中的每个树都加入这棵 Trie 中，查询的时候，尽量往与当前位不相同的地方跳。

查询区间，只需要利用前缀和和差分的思想，用两棵前缀 Trie 树（也就是按顺序添加数的两个历史版本）相减即得到该区间的 Trie 树。再利用动态开点的思想，不添加没有计算过的点，以减少空间占用。

C++
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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 600010;
int n, q, a[maxn], s[maxn], l, r, x;
char op;

struct Trie {
  int cnt, rt[maxn], ch[maxn * 33][2], val[maxn * 33];

  void insert(int o, int lst, int v) {
    for (int i = 28; i >= 0; i--) {
      val[o] = val[lst] + 1;  // 在原版本的基础上更新
      if ((v & (1 << i)) == 0) {
        if (!ch[o][0]) ch[o][0] = ++cnt;
        ch[o][1] = ch[lst][1];
        o = ch[o][0];
        lst = ch[lst][0];
      } else {
        if (!ch[o][1]) ch[o][1] = ++cnt;
        ch[o][0] = ch[lst][0];
        o = ch[o][1];
        lst = ch[lst][1];
      }
    }
    val[o] = val[lst] + 1;
    // printf("%d\n",o);
  }

  int query(int o1, int o2, int v) {
    int ret = 0;
    for (int i = 28; i >= 0; i--) {
      // printf("%d %d %d\n",o1,o2,val[o1]-val[o2]);
      int t = ((v & (1 << i)) ? 1 : 0);
      if (val[ch[o1][!t]] - val[ch[o2][!t]])
        ret += (1 << i), o1 = ch[o1][!t],
                         o2 = ch[o2][!t];  // 尽量向不同的地方跳
      else
        o1 = ch[o1][t], o2 = ch[o2][t];
    }
    return ret;
  }
} st;

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &q);
  for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i), s[i] = s[i - 1] ^ a[i];
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    st.rt[i] = ++st.cnt, st.insert(st.rt[i], st.rt[i - 1], s[i]);
  while (q--) {
    scanf(" %c", &op);
    if (op == 'A') {
      n++;
      scanf("%d", a + n);
      s[n] = s[n - 1] ^ a[n];
      st.rt[n] = ++st.cnt;
      st.insert(st.rt[n], st.rt[n - 1], s[n]);
    }
    if (op == 'Q') {
      scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
      l--;
      r--;
      if (l == 0)
        printf("%d\n", max(s[n] ^ x, st.query(st.rt[r], st.rt[0], s[n] ^ x)));
      else
        printf("%d\n", st.query(st.rt[r], st.rt[l - 1], s[n] ^ x));
    }
  }
  return 0;
}
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