可持久化平衡树

前置知识

OI 常用的可持久化平衡树 一般就是 可持久化无旋转 Treap 所以推荐首先学习 无旋转 Treap。

思想/做法

对于非旋转 Treap，可通过 Merge 和 Split 操作过程中复制路径上经过的节点（一般在 Split 操作中复制，确保不影响以前的版本）就可完成可持久化。

对于旋转 Treap，在复制路径上经过的节点同时，还需复制受旋转影响的节点（若其已为这次操作中复制的节点，则无需再复制），对于一次旋转一般只影响两个节点，那么不会增加其时间复杂度。

上述方法一般被称为 path copying。

「一切可支持操作都可以通过 Merge Split Newnode Build 完成」，而 Build 操作只用于建造无需理会，Newnode（新建节点）就是用来可持久化的工具。

我们来观察一下 Merge 和 Split，我们会发现它们都是由上而下的操作！

因此我们完全可以 参考线段树的可持久化操作 对它进行可持久化。

可持久化操作

可持久化 是对 数据结构 的一种操作，即保留历史信息，使得在后面可以调用之前的历史版本。

对于 可持久化线段树 来说，每一次新建历史版本就是把 沿途的修改路径 复制出来

那么对可持久化 Treap（目前国内 OI 常用的版本）来说：

在复制一个节点 $X_a$（$X$ 节点的第 $a$ 个版本）的新版本 $X_{a+1}$（$X$ 节点的第 $a+1$ 个版本）以后：

• 如果某个儿子节点 $Y$ 不用修改信息，那么就把 $X_{a+1}$ 的指针直接指向 $Y_a$（$Y$ 节点的第 $a$ 个版本）即可。
• 反之，如果要修改 $Y$，那么就在 递归到下层 时 新建 $Y_{a+1}$（$Y$ 节点的第 $a+1$ 个版本）这个新节点用于 存储新的信息，同时把 $X_{a+1}$ 的指针指向 $Y_{a+1}$（$Y$ 节点的第 $a+1$ 个版本）。

可持久化

需要的东西：

• 一个 struct 数组 存 每个节点 的信息（一般叫做 tree 数组）；（当然写 指针版 平衡树的大佬就可以考虑不用这个数组了）

• 一个 根节点数组，存每个版本的树根，每次查询版本信息时就从 根数组存的节点 开始；

• split() 分裂 从树中分裂出两棵树

• merge() 合并 把两棵树按照随机权值合并

• newNode() 新建一个节点

• build() 建树

Split

对于 分裂操作，每次分裂路径时 新建节点 指向分出来的路径，用 std::pair 存新分裂出来的两棵树的根。

split(x,k) 返回一个 std::pair;

表示把 ${}_x$ 为根的树的前 $k$ 个元素放在 一棵树 中，剩下的节点构成在另一棵树中，返回这两棵树的根（first 是第一棵树的根，second 是第二棵树的）。

• 如果 $x$ 的 左子树 的 $key\ge k$，那么 直接递归进左子树，把左子树分出来的第二颗树和当前的 $x$ 右子树 合并。
• 否则递归 右子树。

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static std::pair<int, int> _split(int _x, int k) {
  if (_x == 0)
    return std::make_pair(0, 0);
  else {
    int _vs = ++_cnt;  // 新建节点（可持久化的精髓）
    _trp[_vs] = _trp[_x];
    std::pair<int, int> _y;
    if (_trp[_vs].key <= k) {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[1], k);
      _trp[_vs].leaf[1] = _y.first;
      _y.first = _vs;
    } else {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[0], k);
      _trp[_vs].leaf[0] = _y.second;
      _y.second = _vs;
    }
    _trp[_vs]._update();
    return _y;
  }
}

Merge

merge(x,y) 返回 merge 出的树的根。

同样递归实现。如果 x 的随机权值>y 的随机权值，则 merge(x_{rc},y)，否则 merge(x,y_{lc})。

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static int _merge(int _x, int _y) {
  if (_x == 0 || _y == 0)
    return _x ^ _y;
  else {
    if (_trp[_x].fix < _trp[_y].fix) {
      _trp[_x].leaf[1] = _merge(_trp[_x].leaf[1], _y);
      _trp[_x]._update();
      return _x;
    } else {
      _trp[_y].leaf[0] = _merge(_x, _trp[_y].leaf[0]);
      _trp[_y]._update();
      return _y;
    }
  }
}

例题

就是 普通平衡树 一题的可持久化版，操作和该题类似。

只是使用了可持久化的 merge 和 split 操作。

推荐的练手题

1. 「Luogu P3919」可持久化数组（模板题）

2. 「Codeforces 702F」T-shirt

3. 「Luogu P5055」可持久化文艺平衡树

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